1.2 空间向量基本定理 题型专练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，以基底概念辨析为起点，通过基底表示向量过渡到定理综合应用，形成“概念-表示-应用”递进式训练，培养抽象能力与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基底概念及辨析|9题|基底判定、共面性质辨析|从基底定义出发，通过反例与正例强化不共面本质| |空间基底表示向量|11题|几何体中向量线性表示|结合三棱柱、平行六面体等模型，训练基底表示的分解技巧| |空间向量基本定理及其应用|10题|共面判定、长度计算、投影问题|深化定理应用，关联空间位置关系与数量运算，发展推理能力|

1.2空间向量基本定理（题型专练）答案版 1．（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 4．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【知识点】空间向量的加减运算、判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 5．（2025高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③；利用基底的定义，结合反证法推理判断④即可. 【详解】对于①，当向量、同向时，， 则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在 使成立，②错误； 对于③，若 四点共面，则存在唯一 使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底，即存在不全为0的， 使得， 即，这与为空间的一个基底矛盾， 故假设不成立，所以构成空间的另一个基底，故④正确. 所以给定命题中不正确的个数为3. 6．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 7．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 8．（25-26高二下·江苏南通·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 【答案】ABD 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数量积的应用、空间向量基底概念及辨析 【详解】选项A：若，则，故A正确； 选项B：空间四点共面的充要条件是： 对空间任意一点，存在实数，使得，且， 所以，因此四点共面，故B 正确； 选项C：因为，所以为共面向量，因此不能作为基底，故C 错误； 选项D：若，且，则根据共线向量定理的推论，三点共线，故D正确. 9．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】空间向量的加减运算、判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 10．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）以下说法中，正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、空间向量基底概念及辨析 【详解】对于①，若，则，反向共线，充分性成立， 但当非零向量，同向共线时，不存在，必要性不成立， 则“”是“，共线”的充分不必要条件，故①正确； 对于②，当为零向量，不为零向量时，不存在，故②错误； 对于③，由，，则，， 不能得到，故③错误； 对于④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， 即不共面，构成空间的另一个基底，故④正确； 对⑤，，故⑤错误． 11．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 12．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 13．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 14．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量 【详解】由图可得，. 15．（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用、求投影向量 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 16．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）（多选）在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 17．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【详解】如图，， 又，则，所以. 18．（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 19．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【详解】， 是的中点，故， 故． 20．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 21．（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 22．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 23．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 【答案】证明见解析 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量基本定理及其应用 【详解】易得不共线．令， 则． 和不共线，，解得， ，∴A，B，C，D四点共面． 24．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 25．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】BD 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据共线向量的定义，可判定A错误，B正确；根据任意的两个向量共面，但三个向量不一定共面，可判定C错误；根据空间向量的基本定理，可判定D正确. 【详解】对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误； 对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反， 所以向量，一定不共线，所以B正确； 对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示， 但三个向量，，不一定共面，所以C错误； 对于D，若，，是空间中三个不共面的向量， 根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使，所以D正确. 26．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【知识点】正棱锥及其有关计算、空间向量基本定理及其应用 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 27．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】ACD 【知识点】判定空间向量共面、空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用 【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，正确； 对于B，若，则是钝角或是，错误； 对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则存在不全为零的实数使得，整理得，因为是空间中的一组基底，所以线性无关，故，解得，所以假设不成立，也是空间的一个基底，正确； 对于D，因为，且，所以P，A，B，C四点共面，正确． 28．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间基底的定义和性质对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 29．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 30．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求空间中两点间的距离、求空间向量的数量积、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 故选：C 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 2．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C 4．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 5．（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，， 由为平行四边形，与交于点， 所以为与的中点， 所以 ， 故选：D. 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 7．（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【详解】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 故选：B 8．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 9．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）（多选）已知空间中的三个非零向量则下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．可以作为空间的一个基底 【答案】BCD 【知识点】判定空间向量共面、空间向量数量积的概念辨析、空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】选项A根据向量数量积结合已知条件判断即可，根据向量数量积的运算律分析B、C即可，利用空间向量基本定理分析D选项即可. 【详解】因为， 又因为为非零向量， 所以，故A正确； 因为， 所以， 即， 又因为，所以或与的夹角为， 故B错误； 由表示与共线的向量， 表示与共线的向量， 所以它们不一定相等，故C错误； 因为， 所以向量共面， 所以不能作为空间的一个基底，故D错误. 故选：BCD. 10．（24-25高二上·重庆·阶段检测）（多选）已知是空间的一组基底，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．在上的投影向量为 D．一定能构成空间的一组基底 【答案】BCD 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】A选项，与共线，与共线，根据基底概念得到不共线，故A错误；B选项，假设x，y，z不全为0，推出矛盾，故假设不成立，B正确；C选项，根据投影向量的公式得到C正确；D选项，设，得到方程组，无解，故不共面，一定能构成基底. 【详解】A选项，与共线，与共线， 为一组基底，故不共线，故不可能成立，故A不正确； B选项，是空间的一组基底，故三个向量不共面且两两共面不共线， 假设x，y，z不全为0，不妨设，，此时有，故，矛盾； 不妨设，此时，故共线，矛盾； 若三者均不为0，即，此时共面，矛盾， 综上，假设不成立，故，B正确． C选项，在上的投影向量为，C正确． D选项，设，则， 即，无解， 故不共面，一定能构成空间的一组基底，D正确． 故选：BCD． 11．（24-25高二上·广东茂名·期中）（多选）若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，一定能构成空间的一个基底 【答案】ACD 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间的基底定义和空间向量基本定理，易判断A,C正确；通过举反例可排除B项；运用反证法思路，假设，，共面，经推理引出矛盾，说明假设的反面成立，即D正确. 【详解】对于A，由空间的基底定义，可知，，不可能共面，故A正确；    对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若 则显然有，，但，不满足，故B错误； 对于C，由空间向量基本定理，可知C正确； 对于D，假设，，共面， 则存在，使，则有， 显然方程组无解，即，，不共面， 故，，一定能构成空间的一个基底，D正确. 故选：ACD. 12．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基本定理及其应用 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 13．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【答案】 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量基本定理用表示后即得. 【详解】由题意， ， 又， 所以. 14．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）正四面体中棱长为2，为的中点，则________． 【答案】1 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用空间向量基本定理得到和，根据数量积运算法则进行求解， 【详解】为的中点，故， 又， 所以 . 故答案为：1. 15．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2) ， 所以． 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2）略 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 【答案】(1)， (2) 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据题意可以得到向量之间的线性关系，利用空间向量的基本定理及线性运算进行求解； （2）根据空间向量的模的性质及空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为 D是正四面体的棱的中点，， 所以， 所以 ， 所以 （2）由正四面体的棱长为4，可知，且两两夹角为. 由（1）知 . 17．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【详解】（1）由向量的线性运算法则可得， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 18．（24-25高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）如图所示， 连接，可得， 因为为的中点，， 所以， 所以 . （2）因为平面，平面，且平面，平面， 所以，所以， （i）. （ii）因为， 所以 ， 又因为， 所以， 所以. 19．（24-25高二上·北京·阶段检测）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】（1）利用空间向量的基本定理直接求解即可； （2）结合长度关系，利用线面垂直得出，即得为到直线的距离，进而求解即可； （3）设，表示出，即可求出所求的最小值. 【详解】（1）由题知，， 因为， 所以 ， 而， ， ， 所以， 即的长度为. （2）因为， 所以， 所以， 在中，， 所以， 即， 又因为， 所以平面， 而平面， 所以， 即为到直线的距离， 而， 所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设， 则 ， 当时，这时的最小，且为.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2空间向量基本定理 （题型专练）答案版 空间向量基底概念及辨析知识点01 1．（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 6．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 7．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高二下·江苏南通·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 9．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 空间基底表示向量知识点02 10．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）以下说法中，正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 11．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 16．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）（多选）在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 17．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    空间向量基本定理及其应用知识点03 21．（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 23．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 24．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 25．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 26．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 27．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 28．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 29．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 5．（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）（多选）已知空间中的三个非零向量则下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．可以作为空间的一个基底 10．（24-25高二上·重庆·阶段检测）（多选）已知是空间的一组基底，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．在上的投影向量为 D．一定能构成空间的一组基底 11．（24-25高二上·广东茂名·期中）（多选）若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，一定能构成空间的一个基底 三、填空题 12．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 13．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 14．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）正四面体中棱长为2，为的中点，则________． 四、解答题 15．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 17．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 18．（24-25高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 19．（24-25高二上·北京·阶段检测）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $