江苏省常熟中学2025-2026学年高二上学期数学周测卷1

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何，通过单选（空间四边形向量表示）、多选（共面判定）及解答题（正四面体、直三棱柱模型）的梯度设计，考查运算能力与空间观念，适配高二周测阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量线性运算（第1题）、坐标运算（第3题）|基础巩固，强调向量表示的直观性| |多选|3/18|共面判定（第10题）、新定义向量运算（第11题）|能力提升，融合推理与创新理解| |填空|3/15|投影向量（第12题）、平行六面体交点（第14题）|情境创新，考查空间想象| |解答|5/77|正四面体向量表示（15题）、直三棱柱长度与夹角（18题）|综合应用，体现模型观念与运算能力|

2027届高二周测卷1（人A选必一范围： 1.1-1.3） 【答案】 1. B  2. D  3. D  4. A  5. A  6. C  7. C  8. D  9. ACD  10. BD  11. ABD  12.   13.   14.   15. 解：因为，，， 所以； 依题意，得，， 所以， ， 所以   16. 解：，， ； ，   17. 解：因为B，C，D三点共线，则，  又，  ，  有解得 因为A，B，C，D四点共面，则，  则 ，  有  解得，  所以 ，  当时，取到最大值   18. 解：直三棱柱，， 、CB、两两垂直，如图以C为原点建立空间直角坐标系， ，，M、N分别是、的中点． ，， ，，， ，，，，， 证明：，，，， ， ，即  19. 解：如图，连接AD，取AD中点为O，连接，   因为底面ABCDEF是正六边形， 所以，即， 所以， 又因为， 所以 由题知，， 根据， 可知， 因为底面是正六边形，所以所以， 所以ⅰ ⅱ因为， 所以 ， 所以   【解析】 1. 【分析】 本题考查了空间向量的加减运算，数乘运算的综合应用，属于基础题． 作图，从而化简得 【解答】 解：如图所示： 则 ， 故选 2. 【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题. 利用空间向量的线性运算即可求解. 【解答】 解：由题意，得 故选 3. 【分析】 本题考查了空间向量垂直，平行的条件，空间向量模长的求法，属于基础题. 先根据分别求出x，y，然后求出的坐标，再求模长即可. 【解答】 解：因为，则，解得，则， 因为，则，解得，即， 所以，，因此， 故选： 4. 【分析】 本题考查空间向量的数量积运算，属于中等题. 根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【解答】 解：在平行六面体中，取，，，，，， ，，，， 而， 则， 即，设， 则，由于与，共面，故存在实数x，y，使得， 故 解得：，故， 故选： 5. 【分析】 本题考查空间向量共面定理，属于中档题. 设，根据空间向量的坐标运算可得出关于x、y、z、m、n的等式组，消去m、n可得结果. 【解答】 解：在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为A、B、C、M四点共面，设， 即， 可得，消去m、n可得， 即， 故选： 6. 【分析】 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，空间向量的线性运算以及空间向量模的运算性质的运用，二面角的理解与应用，属于中档题. 由，两边平方后展开整理，即可求得答案. 【解答】 解：因为， 所以， 因为线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，则， 又， 所以 ， 则 故选 7. 【分析】 本题主要考查了空间向量运算的坐标表示，考查空间向量共线定理的应用，二次函数的最值，属于中档题. 依题意，可知存在实数使得，则有，进而可得，，则有，根据二次函数的性质可求出取得最小值时的值，进而可求Q点的坐标. 【解答】 解：由点Q在直线OP上可得：存在实数使得，则有， 所以，， 则 ， 根据二次函数的性质可得：当时，取得最小值，此时Q点的坐标为 ， 故选 8. 【分析】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于中档题. 连接AB，CD，交于O，连接EF，则EF经过点O，且EF垂直平面ABCD，以O为坐标原点，平行于AD，AB的直线为x，y轴，FE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，利用向量的数量积公式得出结论. 【解答】 解：连接AC，BD，交于O，连接EF，则EF经过点O，且EF垂直平面ABCD， 如图：以O为坐标原点，平行于AD，AB的直线为x，y轴，FE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为点M，N分别为BE、CE的中点， 所以，， 则，， 所以 故选： 9. 【分析】 本题主要考查空间向量运算的坐标表示，关于坐标轴对称的点的坐标，空间向量垂直的坐标表示，空间向量平行共线的坐标表示，属于基础题． 根据空间向量的坐标运算判断由对称点的性质判断B，由向量的数量积是否为0判断C，由向量平行的坐标表示求参判断D， 【解答】 解：由，， 得， 故A正确； 点A关于xOy平面对称的点的坐标为， 故B错误， 若，则， 所以，故C正确； 若且， 则，解得，故D正确． 故选： 10. 【分析】 本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，涉及到空间向量的基本定理和共面定理及其应用，属于中档题. 利用空间向量的基本定理和共面定理的应用逐项进行判定，即可求出答案. 【解答】 解：三个向量共面，所在直线不一定在一个平面，显然A错误; 令，，，，又G是底面的重心，所以，，，，，所以成立，故B正确; 因为，而，所以A，B，C，G四点不共面，故C错误; 在基底下的坐标为，则，故在基底下的坐标为，故D正确. 故选： 11. 【分析】 本题考查三角形面积公式，平面向量的新定义问题，向量的数量积的概念及其运算，棱柱的体积，属于中档题. 根据题意，对各项进行分析判断即可. 【解答】 解：对于A，  ，而 ，故  ，正确； 对于B，  ，当  ，  有意义 则  ，正确； 对于C，  ，  ，  ，  ，  ，错误； 对于D，  的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，  就是  在垂直于底面OACB的方向上的投影向量的模长即为高乘以底面的面积，即为体积，正确； 故选 12. 【分析】 本题考查空间向量的投影向量，属于基础题. 求出，利用投影向量的定义即可求解. 【解答】 解：由题意，得， 因为向量在向量上的投影向量是， 则， 则 故答案为： 13. 【分析】 本题考查空间向量共面定理，棱锥的体积，属于中档题． 由空间向量的共面定理可得点E，A，C，四点共面，从而将求的最小值转化为求点D到平面的距离d，再根据等体积法计算 【解答】 解： 已知正方体的棱长为1， 且满足， 所以由空间向量的共面定理可知， 点E，A，C，四点共面， 即点E在平面上， 所以的最小值转化为求点D到平面的距离d， 由正方体棱长为1， 可得是边长为的等边三角形， 则， ， 根据等体积法得，， 故， 故的最小值是 故答案为： 14. 解：设， 其中，E为AD的中点，， 故， 所以，， 因为四点共面，所以，解得， 故答案为： 15. 详细解答和解析过程见【答案】 16. 本题考查空间向量基本定理的应用，空间向量的加减运算以及数乘运算，属于基础题． 由即可求得结果； 根据空间向量的加减运算可得到，进而可求得结果． 17. 本题考查空间向量的共线定理和共面定理，属于基础题.  因为 B， C， D三点共线，则，  又，，可得求解即可得结果; 因为 A， B， C， D四点共面，则，  则 ，  有得，利用二次函数求最值求得结果. 18. 本题考查空间两点间距离公式，异面直线所成的角，空间向量垂直的坐标表示，属于中档题． 求出B点N点坐标，代入空间两点距离公式，即可得到答案； 分别求出向量，的坐标，然后代入两个向量夹角余弦公式即可； 求出向量，的坐标，代入向量数量积公式，判定其数量积为 19. 本题主要考查空间向量基本定理，空间向量的数量积运算，属于难题. 根据空间向量的加法、减法运算求解即可； 利用空间向量的数量积公式求解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高二周测卷1（人A选必一范围：1.1-1.3) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点， MG-B+D等于() 丽 B.3MG C.3GM D.2MG 2在三棱锥A-BCD中，点M在线段4B上，且M=2M丽，N为CD中点，设B=i,AC=6, AD=c,则=() a-6-c 1 1 11 --a+-b+-C A.3”22 B.3 2 2 2a-6- C.3”22 2a+6+ D.3 2 2 3设x、yeR,向量a=(x,,6=y),c=B-6,3)且a1c,万11e,则la+=() A.2② B.23 C.4 D.3 4在平行六面体ABCD-AB'CD'中，底面ABCD是正方形，∠AAB=∠AAD=60°，AB=2,AA=4, M是棱AB的中点，AC与平面AMD'交于点H,则线段AH的长度为() √2 22 3√2 A.2 B.3 c.2 D.2 3 5已知空间直角坐标系中，46.00.8Q2,0)、C0,0引点M(y,2)是空间中在意一点，若A, B,C,M四点共面，则 第1页，共1页 2x+3y+4z=6 B4x+2y+3z=6 c3x+y+2z=3 2x+2y+z=3 D. .60 &-1-B 6.已知大小为的二面角 楼上有两点A,A,ACca.ACL'.BDcB,BDL',若 AC=3 BD=3 CD=7 ,则AB的长为 B A.22 B.40 c210 D.V22 7已知01=1,23)，0丽=2,12)，0P=1,12),0为坐标原点，点2在直线0P上运动，则当 Q1:QB取得最小值时，点Q的坐标为） n a n 第2页，共1页 E-ABCD 8.已知八面体EABCDF由正四棱锥 与正四棱锥 F-1BCD构废知图.若4B=4E=2, AF=1 ,点MN分别为B、CB的中点，则网=() D A B F 5 c.2 > A.0 B.2 D.2 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 0-xyz A1,2,-2)B(0,1,1） 9.在空间直角坐标系 中，已知 ,下列结论正确的有() A.AB=(-1,-1,3) (1,-2,2) B.点A关于xOy平面对称的点的坐标为 c若m=(2,1）,则m1B D若i=a,之0，i/,则a=-2 第3页，共1页 () 10.下列说法正确的是 a b c A.若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B若G是四面体O18C的底面。MBC的重心，则OG=O1+O5+OC 3 c若0G=0O+30丽+0C,则1，A,C,G四点共面 5 5 5 p=m++k位(m,n,k)、币 ，{元，，} D.若向量 ,则称 为在基底 下的坐标，已知在单位正交基底 13 位6，码下的坐标为4,23)，则刀在恭底位-6，ā+5G下的坐标为223) 1一对不共线的向量a,万的夹角为0，定义x6为个向显，其模长x-问血0，共方向同时 与向量，6垂直如图1所示√在平行六面体01CB-0CB 中如图2所示，下列结论正确的是 ⊙ O A axb B 个8 A 图1 图2 第4页，共1页 Aas-oixo A080到时.o@0丽-o1o丽m408 B.当 c若0A=|0B=2,OA.OB=2,则oAx0-5 D.平行六面体O1CB-04Cg的体积'=00-(OA×OB》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量ā在向量6上的投影向量是2”，且6=0V2,-1),则ab= 13.己知正方体ABCD-AB,CD的楼长为1，且满足DE=xDA+DC+I-X-)DD,则D正1的最小 值是一 14如图，在平行六面体1BCD-4BCD中，B为AD的中点，4F=2F4.1C交平面BBP为G,则 AG AC,的值为一 D B B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15本小愿13分） 第5页，共1页 如图，已知正四面体O1BC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记O1=ā，OB=6, OC=c. M B 四用0,6，c表示向量4W, 2)求 16.本小题15分 如图，在长方 ABCD-AB,CD1中，O为AC的中点. 第6页，共1页 D C A B E D B 0化简：A0-AB-AD: ②设E是按p0,上的点，且DE号DD,若O=丽y而2，试求实数不、义：的宜。 3 17.本小题15分 已知a,6.c 是空间中不共面的向量，若B=2a-6+c,4C=ā+26-cMD-a+m6+心. () 若B,C,D三点共线，求L,n的值； (2) 若A,B,C,D四点共面，求n的最大值. 第7页，共1页 18本小慰17分） 如图，直三楼柱4BC-ABG,底面4BC中，CA=CB=L,∠BCA=90,棱M4=2,MN分别是 AB、A4的中点 0求B的长： 2)求os(⑧A·CB）的值： B)求证ABLCM. B: M A 第8页，共1页 19.本小题17分 如图，在六棱柱1 BCDEF-ABCDE5中，底面ABCDEF是正六边形，设AB=ā，AF=b,=. F E A D B 0用0,6，C分别表示4D,C (2)若eos∠Bi4=cos∠FA4= 4’AB=2,AA=4,求： （,)4C4D (m 第9页，共1页