1.2 空间向量基本定理（四大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学重点•题型讲义（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，以基底概念为核心，通过分层题型构建“概念辨析-向量表示-定理应用-综合拓展”的递进训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基底概念或辨析|8题（含多选）|选择为主，考查基底判定、共面性|从基底定义出发，强化空间向量不共面的本质理解| |用基底表示向量|8题（含填空）|结合空间四边形、长方体等模型|通过几何图形中向量分解，落实定理的直接应用| |基本定理及其应用|8题（含多选）|命题辨析、斜坐标转换|深化定理条件与推论，构建向量线性表示的逻辑链条| |综合应用|4题|结合外接球、四棱锥等复杂情境|整合空间几何与向量运算，发展数学应用意识|

专题1.2 空间向量基本定理 目录●重难点题型分布 重难点题型1 空间向量的基底概念或辨析 1．（25-26高二上·广东清远·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·青海·阶段检测）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高二上·四川南充·期中）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）（多选题）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 用空间基底表示向量 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南平顶山·期末）在平行六面体中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 7．（2026高一下·江苏镇江·专题练习）如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 8．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）在正四棱台中，，，，设，，，则______． 重难点题型3 空间向量的基本定理及其应用 1．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 2．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 3．（24-25高二上·江西萍乡·期末）若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南楚雄·期中）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 6．（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 7．（25-26高二上·安徽宣城·期末）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若向量与共线，与共线，则与共线 B．若G是四面体的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 8．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选题）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 重难点题型4 综合应用 1．（2025·河南·模拟预测）如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北雄安·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期中）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P满足，则由动点P构成的几何体的体积为______． 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，与的交点为. （1）设，则_____(用表示) （2）若，，则与所成角的余弦值为_____. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 空间向量基本定理 目录●重难点题型分布 重难点题型1 空间向量的基底概念或辨析 1．（25-26高二上·广东清远·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】以长方体为例，令，数形结合判断各项对应向量是否共面即可. 【详解】如下图示，令， 则，，，，，，，    A：由图，，不共面， B：由图，，不共面， C：由图，，不共面， D：由图，，共面. 故选：D 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间共面向量定理的推论及应用、判定空间向量共面 【分析】根据空间向量共面的定义逐项判断即可求解. 【详解】对于A选项，有，所以共面； 对于B选项，有，所以共面； 对于C选项，，所以共面. 对于D选项，假设共面，则有， 即，由此有共面，与已知条件矛盾， 所以不共面； 故选：D 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、用空间基底表示向量 【分析】利用基底将向量进行表示，利用基底将向量进行表示，通过向量建立的方程组，求解这个方程组即可得到的值，从而得到所求. 【详解】由题意可知，设， 所以， 解得，则， 则以为基底时的坐标是． 故选：D． 4．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以为共面向量， 所以不能作为基底，故A错误； 选项B，若共面， 则存在实数使得， 因为不共面，所以，解得， 所以存在实数使得， 即共面，所以不能作为基底，故B错误； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以共面， 所以不能作为基底，故C错误； 选项D，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量， 所以能作为基底，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·青海·阶段检测）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】根据空间基底的判定条件，逐一判断已知向量是否与选项中的向量共面，从而确定是否构成空间基底． 【详解】假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故A错误； ， 与共面，不能构成空间的一个基底，故B正确； 假设， 则，与矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故C错误； 假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故D错误． 故选：B． 6．（25-26高二上·四川南充·期中）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据三个不共面的空间向量基底可以构成空间的一组基底，逐项判断即可. 【详解】对于A，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底.所以选项A不正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则B不正确； 对于C，设，所以，x，y无实数解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，则C正确； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则D不正确． 故选：C. 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】推导出不共面，故能构成空间的一个基底，C错误，ABD选项向量均共面，不可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， 对于A选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 则，所以为共面向量， 故不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，无解，故不共面，故可构成空间的一个基底，故B错误； 对于C选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故故不能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D选项，假设共面， 则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故故不能构成空间的一个基底，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）（多选题）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 重难点题型2 用空间基底表示向量 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】由题意可知，， ， 则， 又因为，所以. 3．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 4．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解. 【详解】， 故选：B. 5．（25-26高二上·河南平顶山·期末）在平行六面体中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示 【分析】由空间向量的加减的几何意义用，，表示出，即可得. 【详解】    由， 所以. 故选：B 6．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】用空间基底表示向量 【详解】， ，，． 7．（2026高一下·江苏镇江·专题练习）如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】延长AM，交BC于点D，因为M为的重心，所以D为BC的中点，且， 则 . 8．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）在正四棱台中，，，，设，，，则______． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量、空间向量数量积的应用 【分析】根据正四棱台的性质得到与的关系，根据空间向量的线性运算求得，再运用模的计算公式求解，即得答案． 【详解】由正四棱台中，，，， 在侧面中得， 由，， 又， ， 故 ， 故：． 故答案为： 重难点题型3 空间向量的基本定理及其应用 1．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 2．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 3．（24-25高二上·江西萍乡·期末）若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设, 又， 所以，解得, 向量在基下的斜坐标为, 故选：A 4．（25-26高二上·云南楚雄·期中）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】由题意得，设在基底下的斜坐标为，则，化简并联立，可得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】由空间向量在基底下的斜坐标为，得， 设在基底下的斜坐标为， 则， 所以，解得， 所以空间向量在基底下的斜坐标为. 故选：C. 5．（多选题）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、正棱锥及其有关计算 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 6．（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、判定空间向量共面、空间向量共面求参数 【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，正确； 对于B，若，则是钝角或是，错误； 对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则存在不全为零的实数使得，整理得，因为是空间中的一组基底，所以线性无关，故，解得，所以假设不成立，也是空间的一个基底，正确； 对于D，因为，且，所以P，A，B，C四点共面，正确． 7．（25-26高二上·安徽宣城·期末）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若向量与共线，与共线，则与共线 B．若G是四面体的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共线的判定、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用向量共线、重心性质、四点共面条件及基变换等知识逐一判断每个选项即可. 【详解】选项A：若向量 ，则 与 共线， 与 共线，但 与 不一定共线，故A错误. 选项B：若 是 的重心，则 ，故B正确. 选项C：若 四点共面，则存在实数 使得 且 ，这里 ，故四点不共面，C错误. 选项D：已知 ，在基底 下，设 ，则： 所以，解得 ，故坐标为 ，D正确. 故选：BD 8．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选题）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间基底的定义和性质对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 重难点题型4 综合应用 1．（2025·河南·模拟预测）如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量数量积的应用、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，取为一组基底，利用空间向量数量积求出长方体的棱长，进而求出其外接球半径即可得解. 【详解】设，则，方向向右的单位向量为墙所在平面的法向量， 取为一组基底，显然两两垂直，由空间向量基本定理知， 存在唯一一组有序实数组，使得， 由点到墙面的距离分别为，得， 则，所以，而， 所以，即，解得， 则，长方体外接球半径， 所以其外接球的表面积. 故选：D 2．（25-26高二上·河北雄安·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数量积的应用、空间向量的加减运算、空间向量共面求参数 【分析】选作为基底表示出向量，根据向量共线和四点共面的充要条件得到，再求模长. 【详解】设， 则，且两两夹角为， 因此， 因为是的中点，所以， 同理， 又， 因为点在上，所以设， 所以， 又，，，四点共面， 所以存在唯一的实数对，使得， 故， 所以，解得， 所以， 所以 ， 故选：D 3．（25-26高二上·上海·期中）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P满足，则由动点P构成的几何体的体积为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】立体几何新定义、判定空间向量共面、锥体体积的有关计算 【分析】设，利用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】设，则，当时， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 当时，动点P构成的几何体是棱长为的正八面体， 所以动点P构成的几何体的体积. 故答案为： 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，与的交点为. （1）设，则_____(用表示) （2）若，，则与所成角的余弦值为_____. 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】（1）由 . （2）由（1）知，， 则 ， 所以， 而 ， 所以， 则与所成角的余弦值为. 故答案为：；. 1 学科网（北京）股份有限公司 $