第4章图形的轴对称 单元卷 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦“图形的轴对称”，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）覆盖核心知识，融合文化情境、实践操作与模型应用，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、角平分线性质、垂直平分线应用|以校徽图案考对称美（文化传承），直尺作角平分线（实践操作）| |填空题|6/18|等腰三角形分类、角平分线面积比、距离相等点位置|第14题结合公路交线考距离相等点（实际应用）| |解答题|8/72|轴对称作图、等腰三角形证明、将军饮马模型|24题将军饮马问题（模型思想），22题等边三角形动态探究（推理能力）|

第4章 图形的轴对称(解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意． 2、已知中，AD为的内角平分线，，F为线段AC上一点，且，则（　　） A B. C. D. 不能确定DE、DF大小关系 【答案】A 【详解】解：如图，点D作于G， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，根据尺规作图痕迹，判断△BCD的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 20 D. 26 【答案】C 【详解】解：由图可知，该线为的垂直平分线， ， ，， 的周长为：， 4、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 5、如图，在中，E，F分别是，上的点，且，是的平分线，分别交，于点H，D，则、和之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ∵、分别是和的外角，平分， ∴①， ， 则②， 把②代入①，得， 整理，得，即，故D正确． 6、如图，△ABC中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为（ ） A. 16 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】B 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴的周长为24. 7、如图，△ABC和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③连接，，则．其中结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：如图： ， 由轴对称的性质可得：①直线m是线段的垂直平分线，故正确； ②直线m不会被线段垂直平分，故错误； ③连接，，则，故正确； 综上所述，正确的有：①③， 8、如图，是△ABC的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵是△ABC的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 9、如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,△ABC的面积为18，的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（ ） A. 10 B.9 C. 8 D. 7 【答案】B 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长即为的最小值，即的最小值为9， 10、如图，点C在上，作线段的同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD、BE相交于点与交于点与交于点N，连接，下列结论：，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【详解】解：等边△ABC和等边， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 为等边三角形， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ，故③正确． 综上所述，①②③④正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则底边长是_________． 【答案】2或8 【详解】解：当腰长为8时，底长为：18-8×2=2；2+8＞8，能构成三角形； 当底长为8时，腰长为：（18-8）÷2=5；5+5＞8，能构成三角形． 故底边长是8或2． 故答案为：2或8． 12、如图，在△ABC中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是_____________． 【答案】 【详解】解：由题意知：是线段的中垂线，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13、如图，在△ABC中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则________． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14、三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处． 【答案】4 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，    ∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处． 故答案为：4． 15、如图，在△ABC中，，，，平分交BC于点D，在AB上截取，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵是的平分线， ∴， 在△ADE和中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的周长 ． 故答案为：． 16、 如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足E，则以下结论：①AD=BF；②CD=CF；③AC+CD=AB；④AD=2BE．正确的是________． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE， ∴∠ACB=∠BED=∠BCF=∠FEA=90°， ∴∠F+∠FBC=90°，∠F+∠DAC=90°， ∴∠FBC=∠DAC， 在△BCF和△ACD中， ， ∴△BCF≌△ACD（ASA）， ∴AD=BF，CD=CF；①②正确； ∵△BCF≌△ACD， ∴AD=BF， ∵AE平分∠BAF，AE⊥BF， ∴∠BEA=∠FEA=90°，∠BAE=∠FAE， 在△BEA和△FEA中， ， ∴△BEA≌△FEA， ∴AB=AF，BE=EF， ∴AD=BF=2BE，④正确； ∵△BCF≌△ACD， ∴CD=CF， ∴AC+CD=AF， 又∵AB=AF， ∴AC+CD=AB．③正确； 综上，①②③④都正确， 故答案为：①②③④ 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题10分，18-21，每题8分, 22-23，每题9分，24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、在正方形网格中，△ABC和直线如图所示． (1)在网格中作出△ABC关于直线对称的△DEF，点的对应点分别为点； (2)结合所画图形，在直线上作出点，使最短； (3)若每一个小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【解析】（1）解：轴对称的原理：对称点连线垂直轴，对称点与轴等距，画图如下： 则△DEF即为所求． （2）解：点A关于的对称点，连接，交于点P， 则点P即为所求． （3）根据题意，得△ABC的面积为：． 18、 如图，在△ABC中，，边BC上有一个点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交两边于E、F，且AE=AF，求证：DE=DF． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19、在△ABC中，，点在边所在的直线上，点在射线上，且，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20、如图，与相交于点，连接、并延长，相交于点，连接、，，，．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【详解】证明：在△AOB与中， ， ∴， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 21、如图，在△ABC中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，求的周长． （2）连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】（1）8 （2）5 【小问1详解】 解：∵ ，分别垂直平分和， ∴ ，， ∴ 的周长； 【小问2详解】 解：连接、、， ∵ 的周长为18， ∴ ， ∵ ， ∴． ∵ 、分别垂直平分和， ∴，， ∴ ， ∴. 22、在等边△ABC中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】DB＝AE，理由见解析 【详解】解：，理由如下： 过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 即． 23、如图，在△ABC中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M． （1）求的度数． （2）证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【小问1详解】 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，是边上的中线， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵的垂直平分线交于F，交于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 24、综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 图形的轴对称(原卷版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2、已知中，AD为的内角平分线，，F为线段AC上一点，且，则（　　） A B. C. D. 不能确定DE、DF大小关系 3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，根据尺规作图痕迹，判断△BCD的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 20 D. 26 4、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 5、如图，在中，E，F分别是，上的点，且，是的平分线，分别交，于点H，D，则、和之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 6、如图，△ABC中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为（ ） A. 16 B. 24 C. 28 D. 30 7、如图，△ABC和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③连接，，则．其中结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8、如图，是△ABC的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 9、如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,△ABC的面积为18，的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（ ） A. 10 B.9 C. 8 D. 7 10、如图，点C在上，作线段的同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD、BE相交于点与交于点与交于点N，连接，下列结论：，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则底边长是_________． 12、如图，在△ABC中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是_____________． 13、如图，在△ABC中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则________． 14、三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处． 15、如图，在△ABC中，，，，平分交BC于点D，在AB上截取，则的周长为______． 16、 如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足E，则以下结论：①AD=BF；②CD=CF；③AC+CD=AB；④AD=2BE．正确的是________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题10分，18-21，每题8分, 22-23，每题9分，24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、在正方形网格中，△ABC和直线如图所示． (1)在网格中作出△ABC关于直线对称的△DEF，点的对应点分别为点； (2)结合所画图形，在直线上作出点，使最短； (3)若每一个小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 18、 如图，在△ABC中，，边BC上有一个点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交两边于E、F，且AE=AF，求证：DE=DF． 19、在△ABC中，，点在边所在的直线上，点在射线上，且，，求的度数． 20、如图，与相交于点，连接、并延长，相交于点，连接、，，，．求证：垂直平分． 21、如图，在△ABC中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，求的周长． （2）连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 22、在等边△ABC中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 23、如图，在△ABC中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M． （1）求的度数． （2）证明：是等边三角形． 24、综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $