第3章分式单元测试 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

**基本信息** 青岛版八年级上数学分式单元卷，覆盖分式概念、运算及应用，通过基础题、能力题及创新情境题，培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|分式意义、性质、方程|基础巩固（分式有意义条件）| |填空题|5/15|最简公分母、分式条件|概念辨析（分式值为0条件）| |解答题|8/75|化简求值、方程应用、新定义|能力提升（分式方程增根）、创新应用（斐波那契分金问题、机器人搬运方案）|

2026-2027学年八年级上学期数学青岛版第3章分式单元测试 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1．要使分式有意义，则的取值应满足（     ） A． B． C． D． 2．下列各式：，，，，，其中分式共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若代数式的值是0，则实数的值是（     ） A．3 B． C．2 D． 4．将下列分式中a，b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 5．根据下列表格中的信息（*表示被覆盖的数字），代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 6．已知，则分式的值为（     ） A． B． C． D． 7．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 8．某服装厂要加工套校服，实际每天加工的套数比原计划增加了，结果提前天完成任务．设原计划每天加工套校服，可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果） 11．分式与的最简公分母是________． 12．已知，，则________． 13．若分式有意义，则应满足的条件是__________． 14．关于的分式方程有增根，则________． 15．对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 3、 解答题（共8小题，共75分.解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （8分） （1） 化简 （2） 先化简，然后从、、、中选取一个作为的值代入求值． 17．（8分）解分式方程： ． ． 18．（8分）以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________， 得① 去括号，得② 解得③ 检验：当时，…④ 所以，原分式方程的解为⋯⑤ (1)该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） (2)第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； (3)写出原分式方程正确的解答过程； 19．（9分）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数x的值． 20．（10分）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 21．（10分）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； （3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成． 据上述条件解决下列问题： ①规定期限是多少天？写出解答过程； ②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款? 22．（10分）某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 23．（12分）按要求完成下列题目． 求：的值． 对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成的形式，而，这样就把一项分裂成了两项． 试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出的值． 若 求：A、B的值： 求：的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年八年级上学期数学青岛版第3章分式单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B C D A C D 1．C 【分析】分式有意义的条件为分母不等于0，据此列出不等式求解即可 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0， ∴对于分式，可得， 解得． 2．B 【分析】分式的定义为：若A，B是整式，且B中含有未知数，则式子是分式． 【详解】解：的分母为常数2，分母为常数3，中是常数，都不是分式； 和的分母都含有未知数x，符合分式定义，是分式； ∴分式共有2个． 3．D 【分析】根据分式为0的条件是分子为0，分母不为0，据此即可解答． 【详解】解：令， 解得． 当时，，符合题意． 4．B 【分析】将扩大后的，替换原分式中的，，化简后与原分式比较，值相等的即为正确选项． 【详解】解：A、，分式值变为原来的，不符合要求； B、，与原分式值相等，符合要求； C、，分式值变为原来的倍，不符合要求； D、，分式值变为原来的倍，不符合要求． 5．B 【分析】根据分式的性质，分式值为0时满足分子为0且分母不为0，分式无意义时满足分母为0，结合表格给出的已知条件，逐一排除错误选项即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，时无意义，即分式的分母在时的值为， 选项A分母为，时，，排除A选项； 选项C分母为，时，，排除C选项； 又由表格得，时，即分式的分子在时为，且此时分母不为， 选项B分子为，时，，分母，满足，符合条件； 选项D分子为，时，，不满足，排除D选项． 6．C 【分析】根据已知的与的比值，用含的式子表示，代入所求分式，利用分式的基本性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 将代入分式得：． 7．D 【分析】分式方程无解的本质是解为增根，增根使原分式方程分母为0，先将分式方程化为整式方程，再根据增根计算m的值即可． 【详解】解：对原方程变形得， 方程两边同乘，得， 整理得， ∵原分式方程无解， ∴（分母为0的增根）， 代入得， 解得． 8．A 【分析】根据“原计划完成天数实际完成天数提前的天数”，分别表示出原计划和实际的工作天数即可列出方程. 【详解】解：设原计划每天加工套校服，总工作量为套， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天加工的套数比原计划增加， ∴实际每天加工套，实际完成任务的天数为， ∵结果提前天完成任务，即原计划天数比实际天数多天， ∴列方程得. 9．C 【分析】由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，即两次每人分得的钱数相等，正确用未知数表示两次每人分得的钱数即可列出方程． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人，则第一次每人分得元，第二次每人分得元， 根据题意，可列方程． 10．D 【分析】本题考查分式值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化规律，根据相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需满足分子为零且分母不为零，对于， 解得，当时，分母，分式无意义， 只能为，故A错误； B．分式的基本性质要求分子分母同乘同一个不为零的整式， 当时，，等式不成立，选项未说明，故B错误； C．当都扩大3倍后，新分式为， 分式值变为原来的3倍，故C错误； D．分子与分母没有公因式，在实数范围内不可分解， 该分式是最简分式，故D正确； 故选：D． 11． 【分析】确定最简公分母的方法为取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积，据此计算即可． 【详解】解：两个分式的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为． 12． 【分析】根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 13． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 14． 【分析】先把分式方程去分母得到整式方程，然后根据方程有增根的问题进行求解即可． 【详解】解：由方程去分母得：， ∵该方程有增根， ∴，即， ∴把代入得：， 解得：． 15． 【分析】按照新运算规则代入对应分式，再根据同分母分式的减法运算法则、因式分解、约分化简即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，令，代入运算得： ． 16（1）． 【详解】解：原式 ． （2）．，当时，原式 【分析】先根据分式运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件（分母不为）排除不可取的值，选取合适的代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ； ∵分式有意义时分母不能为， ∴，， 可得，，， 故可以取； 当时，原式． 17．（1） 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得． 经检验，是原分式方程的根． （2）．无解 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号整理得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18．(1)① (2) (3)正确解答过程： 整理： 两边同乘： 去括号 移项合并， 解得 检验：时， 所以，原分式方程的解为： 【详解】（1）解：该同学的解法从第①步开始出现错误； （2）解：第①步的横线上，应填写的最简公分母是； （3）略 19．(1)假分式 (2) (3)符合条件的负整数的值为，， 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ，，，， 符合条件的负整数的值为，，． 20．(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. （1）解分式方程时产生了增根，则据此求出这个增根即可； （2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可； （3）首先根据用含的式子表示出，然后根据关于的方程 有整数解，求出的值即可. 【详解】（1）解：解分式方程时产生了增根， ∴， 解得， 故答案为：； （2）， ， ． 将代入方程得：．不符合条件． 将代入方程得：． ． 综上所述，． （3）， ， ． ∵． ∴． ∵为整数， ∴， ∴． 综上所述，． 21．①规定期限20天；②方案（3）最节省 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，注意：分式方程的解必须检验． ①设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解． ②再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求． 【详解】解：①设规定期限x天完成，则有： ， 解得． 经检验得出是原方程的解； 答：规定期限20天． ②方案（1）：（万元） 方案（2）：（万元 ），但超过工期，不符合要求， 方案（3）：（万元）． 所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款． 所以方案（3）最节省． 22．(1)型每小时搬运材料，型每小时搬运材料 (2)有3种方案：方案1：购买2台型机器人，9台型机器人：方案2：购买4台型机器人，6台型机器人；方案3：购买6台型机器人，3台型机器人 【分析】（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意得： ， 整理得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：型每小时搬运材料，型每小时搬运材料； （2）解：设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得： ， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 23．；①； 【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解； （2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解； ②根据把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解． 【详解】解：（1）+++…+ =1-+-+-+…+- =1- =； （2）①∵+= =， ∴， 解得 ． ∴A和B的值分别是和-； ②∵=•-• =•（-）-（-） ∴原式=•-•+•-•+…+•-• =•-• =- =． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确理解=•-•是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $