2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷01（安徽省适用）

**基本信息** 高三开学数学练习卷，综合检测复数、向量、函数等核心知识，通过分层设计与真实情境题（如脂肪含量与年龄统计），考查空间观念、推理能力与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/32分|复数几何意义、向量垂直、函数周期性、三角函数平移、双曲线离心率|基础概念辨析，如第4题结合周期与对称性考查三角函数图像变换| |多选|3题/15分|立体几何命题判断、抛物线性质、解三角形|第9题通过多个假命题辨析空间线面关系，强化推理意识| |填空|3题/15分|函数切线、数列求和、概率期望|第14题以抽球模型考数学期望，体现数据观念| |解答|5题/58分|统计回归、立体几何证明与夹角、数列递推与求和、轨迹方程、导数零点|15题用科研数据考相关系数与残差，19题导数零点证明与不等式，综合考查数学思维与表达|

2026-2027学年高三数学上学期开学练习卷（1）答案 一、单选题 1．若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先求出复数在复平面内对应点的坐标，再结合象限的坐标特征判断点的位置。 【详解】复数，在复平面内对应点的坐标为， 该点位于第四象限. 2．已知向量，，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．3 D．1 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，解得. 3．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得的图象关于直线对称，由解析式可得在上单调递增，进而可得结论． 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即． 4．已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的图象和性质，先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再由所得图象关于y轴对称即可求得. 【详解】由函数的最小正周期为π，得，所以， 将的图象向左平移个单位长度，得 ， 由于图象关于y轴对称，那么 , ,故的一个值是. 5．若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又因为，故. 7．设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 【答案】C 【分析】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，据此可判断选项正误；对于BC，由题设可得直线系表示圆：的全体切线，据此可得答案；对于D，由BC分析结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，令，又令，故此时两直线的交点为，将其代入方程得：，而此式不是恒成立的，故所求的定点不存在，故A错误； 对于BC，注意到到直线：距离为，则该直线系表示圆的全体切线，则圆内部所有点均未在M中的任一条直线上，故B错误； 又对于任意整数，该圆存在外切正边形，满足其所有边均在M中的直线上，故C正确； 对于D，如下图，与均可构成正三角形，但显然正三角形面积不等，故D错误.    8．已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式可化为，通过求导证明在上单调递增，从而得到，令，求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立，即， 令，不等式可化为， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即在恒成立， 令，即， 又因为， 由可得在上单调递减， 由可得在上单调递增， 所以最小值为，即， 所以实数的最大值为． 二、多选题 9．，，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（     ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【详解】对A，根据面面平行的性质定理，A正确； 对B，根据面面平行的判定定理，条件中缺少直线，相交，没有这个条件，不能得到，故B错误； 对C，因为，所以平面与平面无公共点，又，所以与平面无公共点，即.故C正确； 对D，仅，，，无法得到.比如在时，也可以有，，.故D错误. 10．设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． 【答案】ABD 【分析】对A，由抛物线定义判断；对B，由抛物线焦点弦中通径最短可判断；对C，由判断；对D，设直线，先联立抛物线得到，求出点，再将距离平方配方因式分解，借助韦达定理整体代换化简乘积，最后由利用单调性得到最小值 . 【详解】对于A：由抛物线的定义可知，A正确； 对于B：抛物线过焦点的弦中通径最短，由抛物线方程可得焦点， 由得或，所以通径长为，所以，B正确； 对于C：当直线斜率不存在时，，由选项B分析可知，， 此时，即与垂直； 若直线斜率存在，设，则 由得， 设，则， 所以， 由，得，即， 所以 ，所以此时与垂直； 综上，C错误； 对于D：设过的直线 方程为 ，交抛物线于 ， 由 得：，由韦达定理得， 过 且垂直于 的直线斜率为 ，方程为 。 在准线 x上，代入得 ， 因此 ， 根据两点间距离公式： ， 因为 在 上，，因此 ， 所以， 同理可得：， 因此， 因为 所以 因为 ，所以 ，因此： ， 当且仅当 （即 垂直 轴）时，等号成立，故 成立，D正确.    11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为钝角三角形 D．若的面积为3，则 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，然后根据三角函数的性质及基本不等式可得，可判断AB；利用余弦定理可得为最大边，求判断C；利用三角形面积公式判断D. 【详解】由于， 由正余弦定理可知， 整理得，， 由于， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，所以，AB正确； 由于，， 根据余弦定理，，得， 为最大边，，则， 所以为锐角三角形，C错误； 若的面积为3，即， 所以，则，D正确. 三、填空题 12．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】 【详解】变形为,斜率是,设切线的斜率为, 因为切线与直线垂直，所以,所以, ，则，所以，所以. 13．若点在曲线上，记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】根据等比数列的定义判断数列为等比数列，利用等比数列的前项和化简求解即可. 【详解】由点在曲线上，则，所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 14．一个不透明的袋中有分别标有数字，，，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望__________． 【答案】 【详解】单次抽3个球时，某特定小球没被抽到的概率为， 因此两次都没被抽到的概率为， 可得，即 . 四、解答题 15．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． (1)计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； （2）参考数据：，． 【答案】(1)0.98，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 (2)，1.24 【分析】（1）先求出，然后根据相关系数公式求出，再根据的值即可对该成对样本数据的线性相关程度做出判断； （2）根据回归直线过样本点的中心求出，进而得到回归直线方程，将代入回归直线方程求出，即可求出残差. 【详解】（1），          ，                         ，                      由相关系数，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强； （2）由回归方程可知， 因为回归直线过样本点的中心，即，解得，           所以y关于x的线性回归方程为，           将代入上式可得，     所以年龄为60岁时的残差为． 16．已知正方体的棱长为2，为棱的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)设，则为的中点， 连接，因为为棱的中点，则， 且平面，平面，则平面， 又因为平面，平面平面，所以. (2)0 【分析】（1）作辅助线，可证平面，结合线面平行的性质定理分析证明； （2）分析可知平面与平面夹角为，利用勾股定理可知，即可得结果. 【详解】（1）(1)设，则为的中点， 连接，因为为棱的中点，则， 且平面，平面，则平面， 又因为平面，平面平面，所以.（2）连接，，，则，， 且为的中点，则，，可知平面与平面夹角为， 在中，，，，则， 可知，平面与平面夹角余弦值为. 17．已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1) 因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. (2) 由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. (3) 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【详解】（1）因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. (2)由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 两边同乘得，故数列前项的和. 18．已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 【答案】(1) (2)（i） （ⅱ） 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）连接，由题意知， 则， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，. 所以，，所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，所以， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ⅱ）因为，所以为的角平分线，所以. 因为，所以， 由，，得，解得. 不妨设，则，． 所以的面积. 19．已知函数. (1)证明：在上恰有两个零点； (2)已知点，的坐标为，. （i）证明：当时，的图象位于线段下方； （ii）设的两个零点为，，证明：. 【解】(1)因为函数的定义域为，且， 令，可得， 又因为，则，解得， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 因为，， 则， ， 且，， 可知函数在，内均存在唯一零点，所以在上恰有两个零点. (2)（i）由题意可知直线的方程为，即， 令，， 则，可知在内单调递增， 因为， 令，，则， 可知在内单调递减，则，可得，， 且，可得，即； 又因为， 注意到在内单调递增，则， 即，可得； 可知在内存在唯一零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 则在内恒成立，即，， 所以当时，的图象位于线段下方； （ii）不妨设，由（1）可知：，， 则， 设，， 则，当且仅当时，等号成立， 可知在定义域内单调递增，且， 当时，，可得； 当时，，可得； 综上所述：当，时，. 可得，即， 令，，则， 可知在内单调递增，则， 则，，可得， 则， 可得，则， 所以. 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理分析判断即可； （2）（i）可得直线的方程为，构建，，利用导数分析的单调性，结合单调性分析证明即可；（ii）不妨设，由（1）可知：，构建函数证明即可证明结论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期开学练习卷（1） （安徽省适用） 一、单选题 1．若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．3 D．1 3．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 8．已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．，，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（     ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． 11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为钝角三角形 D．若的面积为3，则 三、填空题 12．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 13．若点在曲线上，记数列的前项和为，则__________． 14．一个不透明的袋中有分别标有数字，，，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望__________． 四、解答题 15．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． (1)计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；（2）参考数据：，． 16．已知正方体的棱长为2，为棱的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 18．已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 19．已知函数. (1)证明：在上恰有两个零点； (2)已知点，的坐标为，. （i）证明：当时，的图象位于线段下方； （ii）设的两个零点为，，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $