安徽省蚌埠市2026-2027学年高三上学期开学自测题（三）

**基本信息** 高三开学数学自测卷，涵盖集合、复数、函数等知识，通过基础题、综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、复数运算、三角函数求值|基础巩固与概念辨析，如第5题排列组合结合限制条件考查逻辑思维| |填空题|3题15分|多项式展开、正四棱台体积、函数零点概率|空间想象与运算能力，第14题结合概率考查函数零点分析| |解答题|5题77分|三角函数图象变换、立体几何证明与体积、椭圆综合、导数零点证明|综合应用与逻辑表达，如第19题导数零点讨论及证明，体现高考对数学思维的考查趋势|

参考答案 题号 y 2 3 6 8 9 10 11 答案 C 0 B C D C A A ABD ABD BCD C 【详解】因为集合S={al≤a≤3，集合T={-l,012,34} 所以SnT=L,2,3},所以SnT中元素的个数为3 2.D 【详解】由题意可得：z-i=,10 10 101-3列）_10(1-3列0）-1-3i =1+3i而1+3i1+3i)01-30 1+9 故2=i+(1-31)=1-2i 3.B 【详】已如a+-7,m =1，代入得： tan a+1 =7 4 1-tan a 解方程：tana+1=70-tana,整理得8tang=6,即ana3 4, 2sina cosa 2tana sin 2a=2sina cosa= sin2a+cos2a分子分母同除以cos2u,得： sin 2a= 1+tan2a, 3 2× 3 代入 3得sin2a= 4 224 )2 25 25 tan a=- 1+ 4 4 16 4.C 【详解】由题意可知：圆r+少=a(a>0)的圆心为(0,0），半径r=a, 因为M在圆内，且不为圆心，则0<行+片<a2 则圆心到直线 t+y=a2的距离为d= =a Vx好+好 所以直线ox+%y=α与该圆的位置关系为相离 5.D 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有A=24种： 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有AAA=36种。 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有24+36=60种. 6.C 【详解】因为F是线段DE的中点，所F=(D+) 亚酒+正西+c-亚而亚D+西和0 7 4 2 28 17 所以 1711 ○，∠4入十三人一 288. 7.A a2,放c3 【详解】由题意，椭圆离心率e=C=V5 0，又g2=h+c心，得-02 4 1=2日1041 31 D 椭圆方程为4+y=1,焦点F(-5,0,FN3,0). H中位线定，理1 OWH-IPBI,,又QNPF, 100HONI+N0=0P1+1P5D=a=2,故点Q在圆2+y=4上. 设0x,),则F·Q=(-V5-x5-x)+(←y-)=x2+y2-3=4-3=1 8.A 【详解】解：8()=)&-1川有三个零点，则)-1 有三个不相等的根， 即函数 (：与yk-1有三个不同的交点. 当k>0时， ①当<0时，f)=-2x,y司-1=1-，联立方程为： -2x=1-→(k-2)x=1 1 该方程在x<0有解的条件是：k-2 <0→0<k<2时，有1个解：k≥2时，x<0无 解； 1 ②当x≥0时，f(x)=x2,分0≤x< 和七之 k讨论： 1 当0≤x<元时：方程为X=1-:→X2+:-1=0，判别式△=2+4>0，两根乘积 为-1<0， 因此有且仅有】个正根，且正根x=k+V+4 2 22=} 2 k2+4+k k2+kk+kk 恒成立，方程有1个解： 1 当x≥时：方程为2=-1今X2-在+1=0， 0<k<2,则判别式△=k2-4<0,方程无实根， 此时可知，函数的总零点个数为2个，不符合要求： 若k=2,方程为2-2x+1=0,得x-1小 k, 此时仅有1个重根，函数的总零点个数为2个，不符合要求： 若k>2,A=k2-4>0 ,方程有两个不相等正根，且最小根 x=k-VR2-4.2 、21 一> 2 k+Vk2-4k+kk’ 1 因此两个根都满足七之 k,即有2个解： 此时函数的总零点个数为3个，符合三个零点的要求； 当k<0时y=-1与y=-2x<0)有-个交点， y=-+1分别与y=-2x(x<0,y=(x≥0)各有一个交点，需满足k<-2: 即y-1川在x<0区间与y=-2x有2个交点，故k<-2, 综上所述，实数k的取值范围是（一0，-2U(2,+0) 9.ABD 【架1造发，P代4+R动-，老A0=片，月PR动=1号 22,A正确 选项B,若A,B相互独立，则P(AB)=P(AP(B)=x1 236,根据和事件概率公式 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=11-12 2363,B正确 选项C,P(AB)=PAB P(B) ,PBA①=PAB P(A)若P(B)=P(BA),可得 P(AB)_PAB)◆P(AB) P(B)P(A) =0时，则4B互尿，P八0=PB)=)时，此时等武两边为0，等成 P(A)≠P(B),推不出 (A)=PB),C错误 选项D,P(AB)=P(A)-P(AB),P(AB)=P(B)-P(AB)-已知P(AB)=P(AB), 代入得 PA-PAB)=P(B-P(1B),消去P(AB)后得P()=P(B),D正确 10.ABD 【详解】由S,=3,可知S,}是首项为1，公比为3的等比数列 1-31-243-121,放A正确： 对于选项A,{S}前5项和为1-3一-2 对于选项B,S1=3”,=(3Y=32”,SnS2=3-1.31=32m 可得S1=S,S2,故B正确； 对于选项C,当n=1时，4==1 当n≥2时，an=Sn-Sn1=3m-1-3”-2=2×3m-2 n=1 时不满足该式，通项需分段表示，故C错误： 对于选项D,4=142=2 当n≥2时，各项构成公比为3的递增等比数列，且a,>a, 因此aH>a,neN),故D正确， 11.BCD 【详解】选项A,过焦点F的弦AB,根据抛物线定义：MF等于A到准线的距高，BF等 于B到准线的距离， [AF+BF 因此4B中点到准线的距离为 2 2，即以4B为直径的圆与准线相切， 准线上的点M要么在圆上，此时∠AMB=90,要么在圆外，此时∠MMB<90,不存在 点M使得∠AMB为钝角， 故A选项错误 选项B,设A(),B(:),中点横坐标为4，则x+为=8， 设直线I的方程为y=c+b,联立抛物线方程得，kx+(2kb-4)x+b2=0, 4-2kb 由韦达定理，+=k,=只， 4-2kb 因为+x2= H k2 2=8,解每b=2- k B 4B=V1+k2+x)-4x b2 31 代入x+x=8和x5套，化简得，M84√4+定， 今=点e>0）,则hM8=4N++4, 3 5 y=-u+3+4的最大值在“=2时取得，因此，4B=4×)=10, 故B选项正确 选项C,设P(,%)在抛物线上，由抛物线定义PF=+1, H点坐标(-1,0)，则PH=V(x+1)}+y2, PH_V(x+1)2+4x 代入y=4r得，P时 x+1 =h+ V(x+1)2, o高e叭小 当x=1时，（取得最大值1， PH 因此PFm =+I=2 故C选项正确 选项D,四边形APBF为平行四边形，则对角线AB与PF互相平分， +龙=+，乃+业=0 即中点相同：22， 22，得x=X+x3-1,0=片+y2。 因为P(,%)在抛物线上，所以=4，代入得：(+2》=4(：+-1)， 片=4x,片=4，所以4=-2. 设直线'的方程为x=四W+n,联立抛物线方程得广-4my-4n=0, 由韦达定理2=4n=-2,解得”=2， 因此直线/的方程为x=my+。 6,恒过定点0 故D正确 12.-47 【详解】因为(a+x+(2r-l)=ax+a,2+,x2+a,x+a,x, 所以Ca+C(-1)=0,即a-1=0,解得a=士1. 又a=C4a°+Cg24(-1)}=-79,a=C925.(-1)°=32， 所以04+0=-79+32=-47 28V2 13. 3 【详解】设4B=A4=a,则AB=2a, 由正棱台的结构特征可知四边形4BB,4,ACC,A均为等腰梯形。 图，在等腰梯形ABB,A中，过点A作AE⊥AB于点E,MAE、 所以由勾股定理知4E= D -a A 由该正四棱台的侧面积为125，得4x20x5。 -X =12W3, 22 B 解得a=2,则4B=A4=2,AB=4 连接1C,AC,在等腰梯形1CCA中，过点A作4F1AC于点F,则4F为该正四棱台 的H5-×(4c-4G)-(42-2)=5 所以4F=VA-AF=42=V2,则该四筱台的体积P=号× (2+V2x4+4kV2-28N2 3 14.6 【详解】函数f)=r-3ar+b的定义域为R,求导得 f'(x)=3x2-3a=3x+Va)x-Va), 由f'()>0,得<-或x>a:由f'(<0,得Va<x<a, 函数f()在(-0，-Va,(Wa,+o）上单调递增，在（-Va,Va上单调递减， 函数f()在x=-Va处取得极大值f(-√@)=b+2ava,在x=Va处取得极小值 f(Ja)=b-2ava 由a,b∈N,得f(-V@)>0,因此函数f()恰有三个零点，当且仅当f(N@)<0,即 0<b<2ava 由4，beN,a≤6，b≤6，得有序实数对(a,b)共有6=36对， 当a=l时，b=l:当a=2时，beL23,45:当a∈8,45,6时，b∈23,45,6， 因此满足函数田恰有三个零点的有序实数对a,)共有1+5+4×6=30对， 305 所以函数f(x)恰有三个零点的概率为366： 15.【详解】(1) ()-+2ncosox+2sinxco 1+tan @x cos @x+sin @x 7元 -3cos2ox+sin2ox-2sin2x 12 1 3 工-7元元-→T=元，又T=2@ 2π 而2=12122 得：0=1 ②n知，f)=2n2x+引.g)=nx+爱引.f2g特 2如2+2in(x+ π sinx+ ≥0 sinx+ ≤0 6 6 cosx+π1或 π） 1 6 ≤ 6 解得： 2≤x+元s2km+T2km+元≤x+T≤2km+ 5π 6 3或 6 3，k∈Z, 得： 2km-元≤x≤2m+元2m+5亚≤x≤2km+3T 6 6或1 6 2,k∈Z, 所以f(x)≥g(x)的解集为： w-5x2+看或2m+sx≤2a+keZ 6 16.【详解】(1)解法一：因为a=4,b+8cosB=2c,由余弦定理，得 b+8*+c-2-2x 2ac 整理得6+2-d2=bc,则osA=+c-心 2bc 2, 因为40， 解法二：因为a=4,b+8cosB=2c,所以b+2 a cos B=2c, 由正弦定理，得sinB+2 sin Acos B=2sinC, sin B+2sin A4cos B=2sin(+B)=2sin Acos B+2sin Bcos 4 整理，得sinB=2 sin Bcos A, 因为sB≠0，所以2cosA=1,即0sA 2, 因为10,2， (2)解法一：因为A.HB=BHc=HCA,所以HB(-HC)=0, HC·(HA-HB=0, 即HB:CA=0,HCBA=0,故H⊥C,Hc⊥BA」 所以H为△ABC的垂心. B 连接BH并延长交AC于点D,连接CH并延长交AB于点E,则BD⊥AC,CE⊥AB. 在四边形ADE中，由∠+∠D4什∠HEA+DHE=2,得DBs2双 3, 则<BHC= 2π 3, 在amC中，设∠Hca,ae0.则∠CB=a HC HB BC 485 由正弦定理，得sina sin 3e sin∠BHCV33, 2 所以HC=8V3 则SHBc= xHBx HCxsin BIC-sin a x sinax3 2 （3 3 2 163n-asina=10v3/ 1 3 3 2 cosa-sin sina =8sina cosa- 8 -sin'a =4sin 2a- 831-cos2a=4sim2a 3cs2a-468 -sin 2a+ +π43 3 32 33 63, 所以sin a引guma 即 面积的取值范围为 0 43 △HBC 3 解法二： 因为AB=HB.C=HcHA,所以HB(-HC)=0,Hc-(-)=0, 即HB.CA=0,HCBA=0,故HB⊥CA,HC⊥BA 所以H为△ABC的垂心. 连接BH并延长交AC于点D,连接CH并延长交AB于点E,则BD⊥AC,CE⊥AB. 在四边形ADHE中，由∠A+∠HDA+∠HEA+∠DHE=2π， 得<DHE= 3,则<BHC=2π 3, 在△HBC中，由余弦定理，得 BC2=HB2+HC2-2HB·HC.cos∠BHC 所以16=HB2+HC2+HB.HC≥3HBHC 餐、HBC<华当且仅当B=C= 3时，等号成立， 所以5.度号C∠BHC=5形C≤4 。43 又SAC>0,故△HBC面积的取值范周为 △HBC ，3 17.【详解】()取PB的中点为G,连接1G,G ,因为N是PC的中点， 所以GNIIBC,GN=BC 因为四边形MBCD为菱形，所以BC1/AD,BC=AD, 又M是AD的中点，所以AM/GN,4M=GN,所以四边形MNG为平行四边形， 所以MNIIAG,又AGC平面PAB,而MN不在平面PAB内， 所以MNII平面PAB. ()②①因为PAL平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以PA LAB,.PALAD 因为4B1D,所以以4为原点，以1B,1D,1所在直线为，2轴建立空间直角华标 系，则A(0,0,0),P(0,0,2)D(02,0),B(20,0),M(0,10),N(1,11) 所以PD=(02,-2),BM=(-21,0),BN=(-11,1） BM·m=0 设平面BMN的一个法向量为m=(x,y,z),则有BN·m=0, -2x+y=0 即-x+y+2=0,令x=1'则y=2,z=-1，所以m=(L,2,-) 所以直线PD与平面BMW所成角的正弦值为 PD.m cos(PD,m)= 6 3 D PDm2V2×62· 延长BM交CD的延长线于点E,连接NE交PD于点F, EF 2 =2,EF=2EN 易知NF13， 11 :小=Vr-cDM=-scE-V-ne=3×2父2X4- -×2×4- 24210 23399。 2c=2 18.【详解】(1)设椭圆的半焦距为，依题意得了c√2，解得 c=1 G a 2 a=v2 所以b=√a2-c2=1,所以椭圆G的方程为2 +x2=1 (2)(i)依题意设4(m,m）,则B(m,-),其中m>0,n>0. 由F(0,),B(m,-川)可得直线BF的方程为'=一m +0x,y=0,得% +n n 又直线01的方程为少=m,联立方程少= -m 及y=m，解得o2n+1· x+1 m 因为BC=DF及B,C,D,F其线，所以-x=x。-x, m √2 所以2n+1 1+n,解得n= 2，所以AB=V2. y=n- x+1 m (ⅱ)联立直线 与椭圆 的方程得 ，消去， 得 AF G 2+x2s1 (2m2+n2-2n+1)x2+2m(n-1)x-m2=0 n2 因为4在椭圆G上，所以2 +m2=1,所以(6-2mx2+2m(n-0x-m2=0. -m2 m 由根与系数的关系得·m3-2m,解得w2n-3.同理可得w=-2m-3. m S.MOE -MF.NF ul.y3-2n3+2n 1 因为∠MFN=∠AFB所以3AFF司m m 9-4n2. mn 又8r2nm=m所以八wrg- m.u5w9g-a9 mn mn 2mn S、 2mm=2 因为2 当且仅当18m=,即m= 0,m=35 10， 5时，等号成立. 2 综上，AMNF面积的最大值为6· 19.【降1者a=2,则)=2，了)-1+是 可得f()=0,f'()=0, 所以曲线y=f(x)在点(，f(》处的切线方程y=0. (②)由题意可知：函数f()的定义域为(0，+∞），且/()=1+是=-ar+1 x2 x x2 对于方程-ax+1=0,则△=2-4， 因为x>0,若a≤0，则r-+1≥0，若△≤0，即-2≤a≤2，则-m+1≥0， 当a≤2时，则x2-ax+1≥0，即f'(x)≥0， 可知函数f()在定义域(0，+切)内单调递增， 且f(0)=0,所以函数f()有且仅有1个零点： 当a>2时，则4>0：可知2-心+1=0有2个不相等的实数根m=8-公-4 2 n=atva2-4 2 且mn=1,则m<1<n, 若m<x<n,则x2-ax+1<0,即f'(x)<0; 若0<x<m或x>n,则x2-ar+1>0,即"()>0， 可知函数(x)在(0，m）,(m,+∞)内单调递增，在(m,川内单调递减， 则f(m)>f()>f(n),且f(0)=0,即f(m)>0>f(m), 因为f得)+2ana=a日a+2naj, 可go)a(6)内6说则o小水g2=g+2n20,可 f日)Fga)0, 为e)=d-2aa=ga+2naj=g回>0 所以函数f()有3个零点： 综上所述：当Q≤2时，函数f()有且仅有1个零点： 当a>2时，函数f()有3个零点 (3)若f()有3个零点，，(：<为<)， 由(2)可知：=1,0<x<1<, 因为-÷aon-回 网*-0：周2-=0,0，周号 所议++与=*号1>251= 安徽省蚌埠市高三第一学期开学自测题（三） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 5．现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 6．在平行四边形中，是边上的点，，是线段的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆E上，P是椭圆E上的动点，以为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则（   ） A．1 B． C．2 D．3 8．已知函数，有三个零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 9．已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，则 D．若，则 10．已知数列的前项的和为，则（     ） A．数列前5项的和为121 B． C． D． 11．已知抛物线：的焦点为F，的准线与x轴的交点为H，直线与C交于A，B两点，P是C上一点，则下列结论正确的是（   ） A．若直线过点F，则的准线上存在点M使得为钝角 B．若线段的中点横坐标为4，则的最大值为10 C．的最大值为 D．若四边形为平行四边形，则直线l过定点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知多项式（），__________． 13．在正四棱台中，，该正四棱台的侧面积为，则该正四棱台的体积为____________． 14．设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答卷上写出必要的解题步骤。 15．(13分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 16．(15分）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)若点H在所在平面内，且满足，求面积的取值范围． 17．(15分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积. 18．(17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为． （ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求； （ⅱ）直线、分别交于另一点、，求△面积的最大值． 19．(17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若有3个零点，，，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $