2.3.1 有理数的乘方 第 1 课时 课时同步练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用层层递进，通过“概念辨析-运算巩固-实际建模-方法迁移”路径强化有理数乘方理解，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|乘方意义、概念辨析、符号规律等单一知识点|以选择、填空、基础计算题为主，如乘方实际意义（细胞分裂）巩固抽象能力| |提升训练|乘方与绝对值、非负性综合，规律探究及实际应用|设置代数式比较、对折规律探究等题型，培养推理意识与模型意识| |综合运用|错位相减法求乘方和高阶方法|通过阅读材料迁移解题方法，发展创新意识与数学思维|

2.3.1 有理数的乘方 第 1 课时 课时同步练习 （总分：100 分 时间：45分钟） 【一、基础过关（共 40 分）】 一、选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1．【考点：乘方的意义】 可表示为（ ） A． B． C． D． 2．【考点：乘方的概念辨析】下列说法正确的是（ ） A． 的底数是 B． 读作 “负 2 的 5 次幂” C． 与 的意义完全相同 D． 3．【考点：乘方的符号规律】一个有理数的平方是正数，那么这个数的立方（ ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．正数或负数 D．一定是奇数 4．【考点：负数的乘方运算】 的计算结果是（ ） A． B． C． D． 5．【考点：带负号的乘方辨析】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 6．【考点：乘方的实际意义】某种细胞每过 30 分钟由 1 个分裂成 2 个，经过 2 小时，1 个这种细胞分裂后的数量可表示为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 4 分，共 8 分） 7．【考点：连乘改写乘方形式】把 写成幂的形式是 ，其中底数是 ，指数是 。 8．【考点：计算器计算乘方】用计算器计算： （1） ；（2） 。 三、计算题（共 8 分） 9．【考点：乘方的基础运算】计算下列各题： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 【二、提升训练（共 40 分）】 一、选择题（每小题 6 分，共 18 分） 10．【考点：乘方的数值比较】下列各组数中，数值相等的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 11．【考点：含乘方的代数式大小比较】若 ，，，则下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 12．【考点：乘方的规律探究】一根绳子对折 1 次得到 2 段，对折 2 次得到 4 段，对折 n 次后得到的段数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 6 分，共 12 分） 13．【考点：乘方与绝对值的综合求值】已知有理数 满足 ，，且 ，则 的值为 。 14．【考点：平方的非负性应用】若 ，则 的值为 。 三、解答题（共 10 分） 15．【考点：乘方的实际应用】有一张厚度为 0.1 毫米的纸，若将它连续对折。 （1） 对折 3 次后，纸的厚度是多少毫米？ （2） 对折多少次后，纸的厚度会超过 10 毫米？ 三、综合运用（共 20 分） 16．【考点：错位相减法求乘方和】阅读下面的解题过程，再解答问题。 例：计算 解：设 ① 则 ② ②①，得 ，所以 请你用上述方法计算： （1） （10 分） （2） （，n 为正整数）（10 分） 【参考答案与解析】 一、基础过关 1．答案：C 【解析】根据乘方的定义， 表示 n 个相同因数 a 相乘，因此 。 A 选项是乘法的意义，B 选项是 3 个 4 相乘，D 选项是加法的意义，均不符合乘方定义。 【核心知识点】乘方的概念：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方。 2．答案：D 【解析】A 选项： 表示 的相反数，底数为 3，而非 −3，表述错误； B 选项： 应读作 “2 的 5 次幂的相反数”，其底数为 2，并非 “负 2 的 5 次幂”，表述错误； C 选项： 表示 2 个 −4 相乘， 表示 的相反数，二者意义不同，表述错误； D 选项：，，二者数值相等，表述正确。 【易错点】注意区分带括号与不带括号的乘方的底数差异，避免混淆读法与意义。 【核心知识点】乘方的底数定义，乘方的符号意义。 3．答案：C 【解析】正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此平方为正数的有理数可能是正数也可能是负数。正数的立方是正数，负数的立方是负数，因此这个数的立方可能是正数也可能是负数。 【核心知识点】有理数乘方的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。 4．答案：D 【解析】。 【易错点】注意负数的奇次幂结果为负，避免漏掉负号。 【核心知识点】负数的乘方运算。 5．答案：B 【解析】A 选项：，计算错误； B 选项：，计算正确； C 选项：，计算错误； D 选项：，计算错误。 【易错点】 与 的运算顺序不同，前者先算乘方再取相反数，后者先取相反数再算乘方。 【核心知识点】带负号的乘方运算规则。 6．答案：B 【解析】2 小时包含 4 个 30 分钟，即细胞会分裂 4 次，每次数量变为原来的 2 倍，因此最终数量为 。 【核心知识点】乘方的实际意义，用乘方表示倍增问题。 7．答案：；； 【解析】4 个 相乘，写成幂的形式为 ，其中相同的因数 是底数，相同因数的个数 4 是指数。 【核心知识点】乘方的书写形式，底数与指数的定义。 8．答案：（1） ；（2） 【解析】结合乘方符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 （1） （2） 【核心知识点】计算器计算乘方，乘方的符号规律。 9．答案：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 【解析】（1） （2） （3） （4） 【易错点】注意运算顺序，分数乘方要分子分母分别乘方；不带括号的负号乘方，负号不属于底数。 【核心知识点】有理数乘方的基础运算规则。 二、提升训练 10．答案：A 【解析】A 选项：，，数值相等，符合题意； B 选项：，，数值不相等； C 选项：，，数值不相等； D 选项：，，数值不相等。 【核心知识点】乘方的运算与数值比较，区分带括号与不带括号的乘方结果。 11．答案：C 【解析】先分别计算 a、b、c 的值： 比较大小：，即 。 【易错点】注意运算顺序，有括号先算括号内的，乘方优先级高于乘法。 【核心知识点】含乘方的有理数混合运算，有理数大小比较。 12．答案：C 【解析】对折 1 次： 段；对折 2 次： 段；对折 3 次： 段，以此类推，对折 n 次后段数为 。 【核心知识点】乘方的规律探究，倍增问题的数学模型。 13．答案： 或 【解析】由 得 或 ； 由 得 或 ； 由 可知 x、y 异号，分两种情况： ① 当 ， 时，； ② 当 ， 时，。 综上， 的值为 10 或 −10。 【易错点】注意平方为正的数有正负两个解，不要漏解；结合异号条件分类讨论。 【核心知识点】绝对值的性质，乘方的性质，有理数的减法运算。 14．答案： 【解析】因为平方数和绝对值都具有非负性，即 ，，二者相加为 0，只能各自为 0：，解得 ；，解得 。 则 ，因此 。 【核心知识点】平方与绝对值的非负性，1 的奇次幂运算。 15．答案：（1） 0.8 毫米；（2） 7 次 【解析】（1） 每对折 1 次，纸的厚度变为原来的 2 倍。 对折 3 次后，厚度为 （毫米）。 答：对折 3 次后纸的厚度是 0.8 毫米。 （2） 设对折 n 次后厚度超过 10 毫米，即 ，化简得 。 计算得：，，因此 n 最小为 7。 答：对折 7 次后，纸的厚度会超过 10 毫米。 【核心知识点】乘方在实际问题中的应用，估算乘方的数值。 三、综合运用 16．答案：（1） ；（2） 【解析】（1） 设 ① 则 ② ② −①，得 ， 因此 。 （2） 设 ① 则 ② ② −①，得 ， 因为 ，所以 。 【解题思路】错位相减法：对于等比数列求和，将原式乘以公比后与原式错位相减，消去中间项，得到简化的求和公式。 【核心知识点】乘方的运算，错位相减法的数学思想，从特殊到一般的规律推导。 学科网（北京）股份有限公司 $