2.3.1 有理数的乘方 同步练习 2026—2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 有理数的乘方同步练习通过三级难度分层（★☆☆/★★☆/★★★），实现从概念辨析到综合应用的知识进阶，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|乘方概念、基础运算|以选择、填空题考查底数指数辨析（如第1题）和直接计算（如第3题），夯实概念理解| |★★☆|符号运算、规律探究|通过比较大小（第7题）、新定义运算（第12题）及周期规律（第13题），发展推理意识| |★★★|综合应用、拓展创新|结合细胞分裂（第16题）、新定义“团结数”（第19题），培养模型观念与创新意识|

第二章 有理数的运算 2.3.1 有理数的乘方 难度：★☆☆ 1.关于−74的说法正确的是 （ ） A.底数是-7 B.表示4个-7相乘 C.底数是7，指数是4 D.幂为-28 2.下列各组数中，相等的一组数是（ ） A.−14与(−1)4 B.()2 C.(−2)3=−23 D.-(-1)与-|-1| 3.计算： (1)∣(−5)3∣= −(−4)3= (2)(−)4= − = (3)−23×()2= (4)−32×(−1)99= 4.已知 a2=3，b3=−8，则a4= ，b6= 。 5.平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ，平方等于它相反数的数是 ，立方等于它相反数的数是 。 6.计算： (1)−43+(−3)4 (2)(−1)4−2 (3)(−1)99−(−2)3÷4 (4)−15÷×(− )2 (5)33×(−)−24÷(− ) 难度：★★☆ 7.若a=−2×32，b=(-2×3)2，c=−(2×3)2，则a，b，c的大小关系是（ ） A. a<c<b B. c<a<b C. c<b<a D. a<b<c 8.已知a是任意有理数，下列说法正确的是（ ） A.(a+1)2的值总是正数 B.a2+1的值总是正数 C.−(a+1)2的值总是负数 D.a2+1的所有值中，最大值是1 9.已知a，b为有理数，若a99·b100<0，且a-b>0，则下列推断正确的是 （ ） A. a>0，b>0 B. a>0，b<0 C. a<0，b>0 D. a<0，b<0 10.一根1m长的小棒，第一次截去它的三分之一，第二次截去剩下的三分之一，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（ ） A.()5m B.[1−()5]m C.()5m D.[1−()5]m 11.若n是正整数，则1−(−1)n的值是 。 12.用“☆”“★”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a☆b=ab和a★b=ba，那么1★(-3☆2)= 。 13.观察下列等式： 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64…… (1) 填空：2n的个位数字随 n的变化呈 ______ 规律，周期为 ______。 (2) 22026 的个位数字是 ______。 (3) 满足 2n 的个位数字为 8的最小正整数 n 为 ______。 14.阅读下列各式：(a×b)2=a2×b2，(a×b)3=a3×b3，(a×b)4=a4×b4，(a×b)5=a5×b5⋯⋯回答下列问题。 (1)猜想：(a×b)n= (2)请用我们学过的知识说明上式成立的理由。 (3)请计算：①(− )1000×41000 ②(−0.125)2023×22022×42021 15.一张厚度为 0.1 mm 的纸，对折一次后厚度为 0.2 mm，对折两次后为 0.4mm…… (1) 对折 n 次后，厚度是多少毫米？（用乘方表示） (2) 对折 30 次后，厚度约为多少千米？ 难度：★★★  16.某种细胞每过 1 小时，一个细胞会分裂成 2 个细胞（每个细胞再各自独立分裂）。假设最初有 1 个细胞： (1) 24 小时后（即分裂 24 次后），细胞数量约为多少？（用科学记数法表示） (2) 若每个细胞的直径约为 10−5m，则 24 小时后所有细胞排成一行，总长度约为多少米？（用科学记数法表示） (3) 若某种细菌每 20 分钟分裂一次，4 小时后细菌数量是同质量细胞（每1小时分裂一次）的多少倍？ 17.已知m≥2，n≥2，且m，n均为正整数，如果将mn进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ） ①25的“分解”结果是15和17两个数。 ②在4²的“分解”结果中最大的数是9。 ③若m3的“分解”结果中最小的数是23，则m=5。 ④若3ⁿ的“分解”结果中最小的数是79，则n=5。 A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 18.阅读材料，解决问题：由31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为3100=34×25，所以3100的个位数字与3⁴的个位数字相同，应为1；因为3365=34×91+1，所以3365的个位数字与31的个位数字相同，应为3. (1)请你仿照材料，分析求出799的个位数字及899的个位数字； (2)请探索出2301+7301+8301的个位数字； (3)请直接写出82022−22022−32022的个位数字。 19.对于一个正整数m，将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“团结数”。例如：m=127，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1，4，49，它们的个位数字依次为1，4，9,那么127的“团结数”为149。若一个数的“团结数”等于它本身，那么这个数就叫做“团结一致数”。 (1)38的“团结数”是 ，2024的“团结数”是 ； (2)若一个三位正整数x的“团结数”是541，则满足条件的所有x的值为 ； (3)已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位数字均不为0且互不相同，求所有满足条件的两位“团结一致数”的和。 参 考 答 案 a1. C 2. C 3.(1)125 64 (2) - (3)-2 (4)9 4.9 64 5.0，1 -1，0，1 0，-1 0 6.(1)17 (2) (3)1 (4)-3 (5)23 7. B 解析：由题意，得a=-18，b=36，c=-36，所以c<a<b。 8. B解析：无论a是何值，a²是非负数，故a2+1一定是正数。 9. D 解析：因为a99⋅b100<0，所以a99<0，b100>0，所以a<0。因为a-b>0，所以b<0，故选D。 10. C 解析：由题意可得，第五次后剩下的小棒的长度是 5(m)。 11.0或2 解析：分两种情况：当n是正偶数时，1−(−1)n=1−1=0；当n是正奇数时，1−(−1)n=1−(−1)=1+1=2。所以当n是正整数时，1-(-1)n的值是0或2。 12.9 解析：−3☆2=(−3)2=9，1★9=91=9。 13.(1) 2，4，8，6循环，周期为 4 (2) 2026÷4=506⋯2，第二位是 4，个位为 4 (3) n=3（23=8） 14.(1)an×bn (2)理由： (3)①(− )1000×41000 = (− ×4)1000 =1 ②(−0.125)2023×22022×42021 =(− )2×(− )2021×2×22021×42021 = ×(− ×2×4)2021 =- 15. (1) 0.1×2n mm =10−1×2nmm (2) 0.1×230mm 16.(1) 224=16777216≈1.68×107 (2) 1.68×107×10−5=1.68×102=168m (3) 4小时 = 240分钟，每 20 分钟分裂一次：分裂 12 次，212=4096；每 1 小时分裂一次：分裂 4次，24=16；倍数 =4096÷16=256=28倍 17. B 解析：①在25的“分解”中，最小的数是25−1−1=15，最大的数是25−1+1=17，所以此叙述正确； ②在4²的“分解”中最小的数是1，则其他三个数为3，5，7，四个数的和为16，恰好为42，所以此叙述错误； ③若m等于5，由5³的“分解”结果中最小的数是21，则其余四个数为23，25，27，29，所以此叙述错误； ④若3n的“分解”中最小的数是：3n−1−2=79，则n=5，所以此叙述正确。故正确的有①④。故选B。 18.(1)由于71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，⋯，所以7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现。因为799=74×24+3，所以7⁹⁹的个位数字与7³的个位数字相同，应为3。由于81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，⋯，所以8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现，因为899=84×24+3，所以8⁹⁹的个位数字与8³的个位数字相同，应为2。 (2)由于21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，发现2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现，由此可知2301=24×75+1的个位数字与21相同，2301的个位数字是2，根据(1)可知7301的个位数字是7，8301的个位数字是8，2+7+8=17，所以2301+7301+8301的个位数字是7。 (3)根据前面的分析可知82022=8505×4+2与8²的个位数字相同，故82022的个位数字是4；22022= 2505×4+2与2²的个位数字相同，故22022的个位数字是4；32022=3505×4+2与3²的个位数字相同，故32022的个位数字是9，所以82022−22022−32022的个位数字是14-4-9=1。 19.(1)94 4046 (2)581，521，589，529 解析：因为数位上的数字平方后得到的数的个位数字为5的数只有5，数位上的数字平方后得到的数的个位数字为4的数有2和8，数位上的数字平方后得到的数的个位数字为1的数有1和9，所以满足条件的所有x的值为581，521，589，529。(3)因为数位上的数字平方后得到的数的个位数字等于它本身的数字有1，5，6（0不合题意），所以所有满足条件的两位“团结一致数”有：16，61，15，51，56，65，所以所有满足条件的两位“团结一致数”的和为 16+61+15+51+65+56=264。 学科网（北京）股份有限公司 $