上海市卢湾高级中学2024-2025学年第二学期高三期中数学试卷

**基本信息** 卢湾高级中学2024高三期中数学卷注重基础与创新结合，覆盖集合、复数、三角、立体几何等核心知识，通过动态几何（如直杆滑动面积范围）、函数新定义等题考查数学眼光、思维与语言，适配高三期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合、复数、三角、数列、立体几何、解析几何|第11题直杆滑动结合平面几何与函数最值，考查动态问题解决能力| |选择题|4/18|函数性质、统计回归、三角形与函数零点、球与三棱锥|第16题球与二面角综合，考查空间观念与体积轨迹推理| |解答题|5/78|函数奇偶性、立体几何线面关系、概率期望、椭圆、导数|第21题导数证明不等式，体现逻辑推理与数学表达能力|

卢湾高级中学2024学年高三期中数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分. 2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息. 3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 4. 用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，集合，那么 . 2. 已知复数（为虚数单位），则 . 3. 在中，，，，则的外接圆半径为 . 4．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 ． 5．已知，则 ． 6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为 ．（结果中保留） 7．已知等差数列的公差为，前n项和为，若，则使得成立的的最大值为 ． 8．已知函数，记，若，则的最小值为 ． 9．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，若，则该双曲线的离心率为 ． 10. 将四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为_______． 11. 两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 . 12. 如图所示，已知满足，为所在平面内一点．定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A. B. C. D. 14．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为 ，则下列说法错误的是（ ） A．变量、之间呈正相关关系 B．可以预测当时，的值为 C． D．由表格中数据知样本中心点为 15．已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16. 三棱锥 各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角 的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积为 ；② 点形成的轨迹长度为. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数，其中． （1）求证：是奇函数； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． (1) 设平面与直线相交于点，求证：； (2) 若，，， 求直线与平面所成角的大小． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分 某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1) 计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2) 若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3) 已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点不过点． （1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； （2）若，求直线的方程； （3）若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点．　 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i）满分6分，（ii）满分8分） 已知函数(为常数)，记． (1) 若函数在处的切线过原点，求实数a的值； (2) 对于正实数t，求证：； (3) 时，求证： ． 参考答案及评分标准 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 2 . 3. 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. B 14. C 15. B 16. A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【解】（1）证明:函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 　因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解． 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为． 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）  18．解：（1）因为底面为菱形，所以， 因为直线在平面上，而直线不在平面上， 所以平面 ． ……3分  又平面平面，所以． ……6分 （2）解法1：取中点，连接、, 由于四边形为菱形，且，， 所以,， ……8分 由于平面，平面，所以, 又平面,所以平面, 故即为直线与平面所成角， ……12分 因为，为的中点，所以，则． 所以，则． 即直线与平面所成角的大小． ……14分 解法2：如图建系，由题可得：， 则，，，，，……8分 所以，，， 设平面的法向量为， 由，得，解得， 取，可得平面的一个法向量为. ……12分 设直线与平面所成角的大小为， 则，解得, 所以，直线与平面所成角的大小为. ……14分 19． 解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件， 甲乙丙各自闯关成功的概率分别为，，，每人能否闯关成功相互独立， 解法1： 解法2： ． ……4分 （2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人， 所需派出的人员数目的可能取值是1、2、3， ，，， 所以的分布是： ， ……7分 所以． ……10分 （3）若先派丙，再派乙，最后派甲， 所需派出的人员数目的分布是： ， 则， 所以， ……13分 所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小． ……14分 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为， 设点，则 ． （2）设，由已知可得，， 由得，化简得 代入可得， 联立解得 由得直线过点，， 所以，所求直线方程为. （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得．　 由韦达定理，得．，． 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点． 21. (1)因为，所以，所以．……2分 又因为，所以在处的切线方程为：． 点代入切线方程可得． ……4分 (2)设函数 ， ，. . ……6分 令，得：． 在上严格递增；在上严格递减； 的最小值为，即总有：． ……8分 而 ∴． ……10分 (3)当时，即证，（） 由于，故，只需证， ……12分 令，只需证明. 而， ……14分 因为，所以，令得：，令得：， 所以在处取得极大值，也是最大值， ……16分 所以， 故在上恒成立，结论得证. ……18分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $