精品解析：上海市卢湾高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

卢湾高级中学2025学年第一学期期中考试 高三年级 试卷 考试时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 已知集合，，则_____． 2. 不等式的解集是______． 3. 设，其中为虚数单位，则的虚部为______. 4. 已知，则______． 5. 的二项式展开式中的系数为______． 6. 已知函数的表达式为，则的解集为_________. 7. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 8. 今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 10. 某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001） 11. 已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为______. 12. 已知空间单位向量，，，，，则的最大值是________． 二、单选题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 设，则是的（ ）条件． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在一次试验中，随机事件，满足，，则（ ） A. 事件，一定互斥 B. 事件，一定不互斥 C. 事件，一定互相独立 D. 事件，一定不互相独立 16. 已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，存在正整数，当时， 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在直三棱柱中，已知，，． （1）求三棱柱的体积； （2）求直线与平面所成的角的大小． 18. 已知函数. （1）求的最小正周期和严格增区间; （2）若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径. 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间小于70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； （2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求、、的值． 20. 已知椭圆为坐标原点； （1）求的离心率； （2）设点，点在上，求的最大值和最小值； （3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 21. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卢湾高级中学2025学年第一学期期中考试 高三年级 试卷 考试时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 已知集合，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】已知集合，，则. 故答案为：. 2. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3. 设，其中为虚数单位，则的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则化简，进而根据虚部的定义求解即可. 【详解】由，则的虚部为. 故答案为：. 4. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 5. 的二项式展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，求得， 可得展开式中项的系数为. 故答案为： 6. 已知函数的表达式为，则的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式得到或，解得即可. 【详解】因为，对于不等式， 则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 7. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 8. 今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】三人值班的天数分别为、、，先确定值班天的人，有种选择， 再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为种. 故答案为：. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意得到相关线段关于的表达式，再利用勾股定理建立关于方程，进而求得，从而得解. 【详解】设，由知在双曲线的右支上，可得，， 所以，，又由，知， 所以在中，由勾股定理可得， 解得或（舍去），又，则， 所以，， 所以的面积为. 故答案为：. 10. 某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001） 【答案】1.172 【解析】 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 11. 已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据等比数列的求和公式，由题中条件，得到，讨论为奇数和为偶数两种情况，分别判定其单调性，得出最大值和最小值，进而可求出结果. 【详解】因为等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为， 所以， 当为奇数时，，显然单调递减， 因为，所以， 又，所以； 当为偶数时，，显然单调递增， 因为，所以， 又，所以， 综上，对任意的，都有， 所以，，则， 所以，即， 因此对任意的，都有； 为使对任意的，均有恒成立， 只需，， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据等比数列的求和公式求出后，利用分类讨论的方法，根据的单调性，求的最值，进而即可求解. 12. 已知空间单位向量，，，，，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意在球中讨论，结合空间向量数量积的应用可求出最值. 【详解】因为空间向量，，，是单位向量， 所以把向量，，，平移到以为起点，终点在半径为的球面上，如图： 由，得，所以，同理， 令，则，， 根据，两边同时平方解得，， 所以绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面， 因为， 所以，则， 观察图形得当旋转到平面内时，向量与的夹角最小， 令此最小角为，则， 则， ， 所以的最大值是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，解答本题的关键点是将这四个单位向量转化到球中去，结合图形更易判断，求出向量间的夹角，最后结合两角差的余弦值可求得最终结果. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 14. 设，则是的（ ）条件． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取，则，；当时，，根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】设，，取，则，， 所以得不到； 当时，即， ， 所以能得到, 综上所述：是的必要不充分条件. 故选：B 15. 在一次试验中，随机事件，满足，，则（ ） A. 事件，一定互斥 B. 事件，一定不互斥 C. 事件，一定互相独立 D. 事件，一定不互相独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念判断即可得出答案. 【详解】根据题意， 根据互斥事件的概念可知，事件不是互斥事件，选项A错误，选项B正确； 由事件的概率不能确定事件的相互独立关系，选项C，D错误. 故选：B. 16. 已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，存在正整数，当时， 【答案】D 【解析】 【分析】构建，结合导数分析的单调性和大小关系，利用递推法分析数列的单调性和取值范围，结合选项即可判断. 【详解】设，可知在内单调递增， 构建，则， 可知在内单调递减，且 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可得的函数图象，如图所示： 对于选项AC：若，则， 且，可得， 若，则， 且，可得， 依此类推，可得， 可知数列单调递增，且， 即不存在正整数，当时，，故AC错误； 对于选项BD：若，则， 且，可得， 若，则， 且，可得， 依此类推，可得， 可知数列单调递减，且， 所以存在正整数，当时，（只需即可），故B错误，D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建，分析两个函数的单调性从而得到大小关系，结合图象分析数列性质. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在直三棱柱中，已知，，． （1）求三棱柱的体积； （2）求直线与平面所成的角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，可知，求出的长，可求出的面积，然后利用柱体的体积公式可求得三棱柱的体积； （2）取的中点，连接，则，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而得出为直线与平面所成的角，最后在中，由，即可求出. 【小问1详解】 取线段的中点，连接， 因为，，则， 且， 所以，， 在直三棱柱中，， 故. 【小问2详解】 如图所示： 取的中点，连接，则， 又平面，平面，则， 而，且平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 在中，， 在中， ， 所以，得. 即直线与平面所成的角的大小为. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期和严格增区间; （2）若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径. 【答案】（1）的最小正周期；严格增区间 （2）1或2 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据周期公式求最小正周期，根据正弦函数的单调性求单调增区间. （2）已知和的值，可以先求出的值，再根据正弦定理（为外接圆半径）求出. 【小问1详解】 ， 由两角差的正弦公式得. 所以， 展开得，即. 再根据辅助角公式得. 根据周期公式得， 因为的单调增区间是. 令，则， 解得， 所以的严格增区间是. 【小问2详解】 已知. 因为是三角形内角，即，则. 所以，或，解得，或. 已知，根据正弦定理. 当，，则，解得. 当，，则，解得 则三角形的外接圆半径为1或2. 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间小于70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； （2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求、、的值． 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）分别算出第一种与第二种生产方式中优秀的概率相乘即可； （3）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解. 【小问1详解】 40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为，所以第75百分数为； 【小问2详解】 由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. 【小问3详解】 依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，，. 20. 已知椭圆为坐标原点； （1）求的离心率； （2）设点，点在上，求的最大值和最小值； （3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2）的最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率； （2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解； （3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得，再联立直线与椭圆方程得到关于的表达式，进而化简得到与的关系，由此得解. 【小问1详解】 设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，则，所以. 【小问2详解】 依题意，设，则，，故， 则， 所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 【小问3详解】 设，又， 易得，则直线为，即 ， 而， ， ， 联立，消去，得 则，得， 所以， 故 ， 所以， 故存在，使得恒成立. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值. 【详解】（1）由题意得： ， 曲线在处切线为：，即 （2）由（1）知： 当时，；当时， 在上单调递减，在上单调递增 又，， 由零点存在定理知：在上有一个零点 在上单调递增 该零点为上的唯一零点 （3）由题意得： 为的两个极值点，即为方程的两根 ， ，又，解得： 令， 则 在上单调递减 即 即实数的最大值为： 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $