1.3 矩形的性质与判定(2) 同步练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从矩形判定定理直接应用到综合情境问题解决，梯度合理，适配新授课知识巩固与思维能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|矩形判定定理直接应用|填空、选择及基础解答题，巩固双基，培养推理意识| |B级|性质与判定综合应用|中点四边形、动点问题，提升几何直观与空间观念| |C级|复杂情境综合探究|多问证明与计算，发展创新意识与模型观念|

第一章特殊平行四边形 第三节 矩形的性质与判定(2) 今日复习 矩形的判定定理： (1)有三个角是 的四边形是矩形； (2)对角线相等的 是矩形； (3)有一个角是直角的 是矩形. 名师点拨 矩形的判定方法： (1)平行四边形+一个矩形的独有特征⇒矩形； (2)平行四边形的判定条件+一个矩形的独有特征⇒矩形. 课时三级达标 A级 双基过手 1.(2026·编写)如图,在平行四边形ABCD中,延长AD 到点E,使 DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件 ,可使四边形 DBCE 是矩形. 2.(2026·编写)如图,已知▱ABCD,有下列条件:①AC=BD,②AB=AD,③∠1=∠2,④AB⊥BC,其中能说明□ABCD 是矩形的有 .(填序号) 3.(2026·编写)如图,连接四边形 ABCD各边的中点,得到四边形 EFGH,还要添加条件： ，才能保证四边形 EFGH 是矩形. 4.(2023·德州)如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF的最小值为 . 5.(2023·新都)如图，增加下列一个条件，可以使平行四边形ABCD 成为矩形的是( ) A.∠BAD=∠BCD B. AC⊥BD C.∠BAD=90° D. AB=BC 6.(2023·高新)如图,已知▱ABCD的对角线AC 与BD 相交于点O，下列结论中不正确的是 ( ) A.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形 B.当∠BAO=∠DAO时,四边形 ABCD是菱形 C.当OA=OB时,四边形ABCD 是矩形 D.当AB=AC时,四边形ABCD是菱形 7.(2024·泸州)已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列条件中，不能判定□ABCD为矩形的是 ( ) A.∠A=90° B.∠B=∠C C. AC=BD D. AC⊥BD 8.(2023·舟山)如图,在菱形 ABCD 中,AC=16,BD=12,E 是CD 边上一动点,过点 E 分别作EG⊥OD 于点G,EF⊥OC于点 F,连接FG,则FG的最小值为( ) A.4 B.4.8 C.5 D.6 9.(2023·贵州)如图,已知在菱形 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD. (1)求证:四边形AODE 是矩形; (2)若AB=6,∠BCD=120°,求四边形AODE 的面积. 10.(2023·内江)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB的延长线于点E，CF∥AE交AD 的延长线于点F. (1)求证:四边形AECF 是矩形; (2)若AE=4,AD=5,求AC的长. B级 能力提升 11.(2026·编写)如图,E,F,G,H 分别是BD,BC,AC,AD 的中点,下列结论:①EH=EF;②当AB=CD时,EG平分∠HGF;③当 AB⊥CD 时,四边形EFGH 是矩形.其中正确的结论序号是 12.(2026·成华)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,∠B =60°, BC=2AD=10,E,F分别是AB,BC的中点,连接 EF,DE,则线段 DE 的长是 13.(2026·编写)如图,在矩形 ABCD中,AD=1, ，M为线段BD 上一动点,MP⊥CD于点 P,MQ⊥BC于点Q,则PQ的最小值为 . 14.(2026·东部新区)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,AD上的动点,P是线段EF 的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H 为垂足,连接 GH.若 AB =10,AD=8,EF=8,求GH的最小值. C级 综合拓展 15.(2026·编写)如图 1,已知 AD∥BC,AB∥CD,∠B=∠C. (1)求证:四边形ABCD为矩形. (2)M 为AD 的中点,在 AB 上取一点N,使∠BNC=2∠DCM. ①如图2,若 N 为AB 的中点,BN=2,求CN的长; ②如图2,若CM=3,CN=4,求 BC的长. 【今日复习】 (1)直角 (2)平行四边形 (3)平行四边形 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1. EB=DC(答案不唯一) 2.①④ 3. AC⊥BD 5. C 6. D 7. D 8. B 9.(1)【证明】∵DE∥AC,AE∥BD, ∴四边形 AODE是平行四边形. ∵在菱形ABCD中,AC⊥BD,∴∠AOD=90°, ∴▱AODE是矩形. (2)【解】∵∠BCD=120°,AB∥CD, ∴∠ABC=180°-120°=60°. ∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形, ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形 AODE 的面积: 10.(1)【证明】∵四边形 ABCD是菱形,∴AD∥BC. ∵CF∥AE,∴四边形AECF是平行四边形. ∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°, ∴平行四边形AECF 是矩形. (2)【解】∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=AD=5,OA=OC,AC⊥BD. ∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°, ∴CE=BE+BC=3+5=8, B级(能力提升) 11.②③ 12.5 14.【解】如图,连接PA,PC,AC. ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=8,∠B=∠BCD=∠BAD=90°. 在 Rt△ABC中,由勾股定理,得 ∵PG⊥BC,PH⊥CD,∴∠PHC=∠PGC=90°, ∴四边形 PGCH 是矩形,∴GH=PC. ∵P 是线段EF 的中点, 在△APC中,∵PC≥AC-AP, ∴当A，P，C三点共线时，PC的值最小，即GH长的值最小，最小值为 C级(综合拓展) 15.(1)【证明】∵AD∥BC,AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°. ∵∠B=∠C,∴∠B=∠C=90°, ∴平行四边形 ABCD 是矩形. (2)【解】①如图,延长CM,BA 交于点E. ∵AN=BN=2,∴AB=CD=4. ∵AE∥DC,∴∠E=∠MCD. 在△AEM和△DCM中, ∠AME=∠DMC, AM=DM, ∴△AEM≌△DCM,∴AE=DC=4. ∵∠BNC=2∠DCM=∠NCD, ∴∠NCE=∠ECD=∠E, ∴CN=EN=AE+AN=4+2=6. ②如图,延长CM,BA交于点E. 由①可知,△AEM≌△DCM,EN=CN, ∴EM=CM=3,CE=6,EN=CN=4. 设BN=x,则 EB=BN+EN=x+4,BC²=CN²- 学科网（北京）股份有限公司 $