第一章 作图技巧专题 特殊平行四边形中利用无刻度直尺作图&解题技巧专题 特殊平行四边形中的动点及最值问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

作图技巧专题 特殊平行四边形中利用无刻度直尺作图 题型① 在菱形中作图 (2)在(1)的条件下，连接AF,CE.求证：四 1.如图，在菱形ABCD中，P是BC的中点.请 边形AECF是菱形. 仅用无刻度的直尺按要求画图（不写画法， 保留画图痕迹). (1)如图①，∠B=60°.请画出线段AB的垂 直平分线. (2)在图②中的对角线AC上取两个点E, F,使AE=CF 图① 图② 2.如图，BD是菱形ABCD的对角线，过点D 作DE⊥BD,交BC的延长线于点E.请仅 用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留 作图痕迹，不写作法) (1)如图①，作出△BDC的中线BM. (2)如图②，作出△CDE的高CN. 题型③ 在正方形中作图 4.已知正方形ABCD的边长为4个单位长度， E是CD的中点.请仅用无刻度直尺按下列 要求作图（保留作图痕迹，不写作法）. 图① 图② (1)在图①中，将直线AC绕着正方形AB 题型② 在矩形中作图 CD的中心顺时针旋转45°. 3.如下图，在矩形ABCD中，AC是对角线， (2)在图②中，将直线AC向上平移1个单位 (1)请用无刻度的直尺和圆规，作线段AC 长度 的垂直平分线，垂足为O,与边AB,CD分 别交于点E,F(不写作法，保留作图痕迹) 图① 图② 18 九年级数学BS版 解题技巧专题 特殊平行四边形中的动点及最值问题 题型① 菱形中的动点问题 题型② 矩形中的动点问题 1.如下图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB 2.如图①，已知矩形ABCD的一条边AD=8, =23cm,BD与AC交于点O,过点D作 E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕 BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从 AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P 点B出发，沿BD方向以2cm/s的速度向 处，PC=6. 点D匀速运动，同时，点E从点H出发，沿 (1)AB的长为 HD方向以1cm/s的速度向点D匀速运 (2)如图②，擦去折痕AE,PE,连接PB,M 动.设点E,F的运动时间为ts,且O<t<3, 是线段PA上的一个动点（点M与点P,A 过点F作FG⊥BC于点G,连接EF, 不重合).N是AB延长线上的一个动点，并 (1)求证：四边形EFGH是矩形. 且满足PM=BN.过点M作MH⊥PB,垂 (2)连接FC,EC,在点F,E的运动过程中， △BFC与△DCE是否能够全等？若能，求 足为H,连接MN交PB于点F. ①若M是PA的中点，求MH的长； 出此时t的值；若不能，请说明理由. ②在点M,N在移动过程中，线段FH的长 度是否发生变化？若变化，说明理由；若不 变，请直接写出线段FH的长度。 图① 图② 上册第一章 19△ 题型③正方形中的动点问题 题型④特殊平行四边形中的最值问题 3.在正方形ABCD中，点O是对角线AC的 4.如图，在菱形ABCD中，AD=2,∠ABC= 中点，P是线段AO上的一个动点（不与点 120°，E是BC边上的动点，P为对角线AC A,O重合)，过点P作PE⊥PB,交边CD 上的一个动点，则PE+PB的最小值为 于点E. (1)如图①，PE与PB的数量关系为 (2)如图②，若正方形ABCD的边长为2，过 点E作EF⊥AC于点F,在点P运动的过 B C 程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试 第4题图 第5题图 求出PF的长；若变化，请说明理由. 5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC (3)直接写出线段PC,PA,EC之间的数量 8,点E,F分别在边AD,BC上.将纸片 关系 ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D'在 边BC上，点C的对应点为C',则DE的最 小值为 ,CF的最大值为 6.如下图，菱形ABCD的边长为4，∠B= 120°.P是对角线AC上一点（不与端点A 重合)，连接PD.求2AP+PD的最小值。 420 九年级数学BS版作图技巧专题特殊平行四边形中 利用无刻度直尺作图 1.解：(1)如图①，直线CF即为所求 图① (2)如图②，点E,F即为所求（答案不唯一） B 图② 2.解：(1)如图①，BM即为所求。 图① (2)如图②，CN即为所求」 图② 3.解：(1)如图，直线EF即为所求. E大 (2)证明：，四边形ABCD是矩形 .AB∥CD,.∠OCF=∠OAE. 在△COF和△AOE中， ∠OCF=∠OAE, OC=OA. ∠COF=∠AOE, ∴.△COF≌△AOE(ASA), ∴.CF=AE. 'CF∥AE, .四边形AECF是平行四边形 :EF是线段AC的垂直平分线， .四边形AECF是菱形. 4.解：(1)如图①，直线1即为所求. (2)如图②，直线a即为所求 解题技巧专题特殊平行四边形 中的动点及最值问题 1.解：(1)证明：EH⊥BC,FG⊥BC, ∴∠FGH=∠FGB=90°，EH∥FG. 由题意，得BF=2tcm,EH=tcm. ,在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴.∠CBD=30°， ∴rG-号BF=iem ∴.EH=FG, .四边形EFGH是平行四边形. :∠FGH=90, ∴.四边形EFGH是矩形 (2)△BFC与△DCE能够全等， ,在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=25cm, .∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=2√3cm,AB //CD. ∴.∠CBD=∠CDB=30°，∠DCH=∠ABC=60°. DH⊥BC, .∠CHD=90°， ∴.∠CDH=90°-60°=30°=∠CBF, 在R△CDH中，CH=2CD=Bcm, ∴.DH=√CD2-CH=√(23)2-(W3)2=3(cm). .EH=t cm, .∴.DE=(3-t)cm. 当△BFC≌△DEC时，BF=DE, ∴.2t=3-t,解得t=1. 2解，1图 (2)①如图①，过点A作AG⊥PB于点G,延长HM, 取MQ=MH,连接AQ. 由题意可知，PC=6,BC=8,∠C D =90° 在Rt△PBC中，根据勾股定理， Q 得PB=√BC+PC=√8+6 =10. 图① AP=AB.:.PG-BG=2PB=5. 在Rt△AGP中，根据勾股定理，得AG=√AP-PG ,M是PA的中点，∴.MP=MA. :∠PMH=∠AMQ,MQ=MH, ∴.△PMH≌△AMQ(SAS), ∴PH=AQ,∠Q=∠MHP,.AQ∥PB. AG⊥PB,MH⊥PB, ∴.MH∥AG, ∴.四边形AGHQ为平行四边形，.AQ=GH, .PH=GH,∴H是PG的中点， 1 上册详解详析 MH=7AG=×号 1、2010 3 ②线段FH的长度为5. 【解析】(I)设AB=x,则AP=CD=x,DP=CD-CP =x-6 在Rt△ADP中，根据勾股定理，得AD十DP =AP:, 即82+(x-6)2=x2,解得x= 即AB的长为经 25 (2)②在点M,N移动过程中，线段FH的长度不发生 变化. 作MI∥AN,交PB于点I,如图② AP=AB,∴∠APB=∠ABP. D P .MI∥AN,.∠ABP=∠MIP ∠IMF=∠N, ∴.∠APB=∠MIP,.MP=MI. BN=PM,∴.BN=IM. 图② ,MP=MI,MH⊥PI,.HI =PH. 在△MFI和△NFB中， ∠IFM=∠BFN, ∠IMF=∠N, MI=NB. △MFI≌△NFB(AAS.IF=BF=号1B。 .HF-HI+IF-P1+1B-PB-7X10 1 =5, ∴.在点M,N在移动过程中，线段FH的长度不发生 变化，长度为5. 3.解：(1)PE=PB (2)在点P运动的过程中，PF的长度不发生变化 如图①，连接OB. O是正方形ABCD对角线AC的 中点， .∴.OB⊥AC, ∴.∠AOB=90°， 图① ∴.∠OBP+∠BPO=90°. ∠BPE=90°， ∴.∠BPO+∠FPE=90°， ..∠OBP=∠FPE EF⊥AC, ∴.∠EFP=∠AOB=90°.由(1)可知，PB=PE 在△OBP和△FPE中， ∠BOP=∠PFE, {∠OBP=∠FPE, PB=EP, .△OBP≌△FPE(AAS), ∴.OB=PF 根据勾股定理，得AC=√AB2+BC=2√2， 20B-AC PF的长为√2 412 九年级数学BS版 (3)PC=PA+√2EC」 【解析】(1)证明：如图②，过点P作MN∥AD,交AB 于点M,交CD于点N. PB⊥PE,.∠BPE=90°， .∴.∠MPB+∠EPN=90°. 四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC =∠BCD=90°，∠ACD=45°. AD∥MN, ∴.∠BMP=∠BAD=90°，∠PNE=∠D=90°， ∴.∠MPB+∠MBP=90°，四边形BMNC是矩形， ∴.∠EPN=∠MBP,BM=CN.在Rt△PNC中， ∠PCN=45°， ∴.△PNC是等腰直角三角形，.PN=CN, ∴.BM=CN=PN.在△BMP和△PNE中， ∠PBM=∠EPN, BM=PN, ∠BMP=∠PNE, ∴.△BMP2△PNE(ASA),∴.PE=PB. 图② (3)如图②，，∠BAC=∠ACD=45°， ∴.△PCN,△AMP都是等腰直角三角形， ∴.PA=√2PM,PC=√2NC. 由(1)可知，PM=NE, .PA=√2NE, ∴.PC=√2NC=√2(NE+EC)=√J2NE+2EC=PA +√2EC. 4.√3【解析】如图，连接BD,连接DE交AC于点P', 连接BP'. 由题意可知，P'B=P'D, ..P'E+P'B=P'E+P'D=DE. 根据垂线段最短，当DE⊥BC时， DE的值最小， 即点P移动到点P'处时，PE十 PB的值最小. AD=2,∠ABC=120°， ..BC=DC=2,∠BCD=60° ∴△BCD为等边三角形，∴BD=2,BE=1, .DE=VBD-BE=√5， PE+PB的最小值为√3. 7 5.64 【解析】如图，过点E作EH⊥BC于点H,则 四边形ABHE是矩形， ..AB=EH=6..D'E>EH,.'.D'E 的最小值为6.由折叠的性质，得DE =DE,.DE的最小值为6.如图，连 接DF.由折叠的性质，得∠D'EF=B ∠DEF,DE=D'E,DF=D'F. ,AD∥BC,.∠DEF=∠D'FE,.∠D'FE=∠DEF, .D'E=DF,∴DE=DF.在Rt△CDF中，由勾股定理， 得CF=√DF-CD=√DF-36, ∴.当DF最大时，CF最大，即DE最大时，CF最大， ∴.当点D'与点B重合时，DE最大.设此时CF=x,则 BF=DF=8一x.根据勾股定理，得DF2=CF2十 DC,即(8-=2十6，解得=子∴CF的最大 你多好 6.解：如图，过点P作PE⊥AB于点 E,过点D作DF⊥AB于点F. ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠BAD+∠B=180°，AB=BC ∠B=120°， .∠CAB=30°，∠DAF=60°， PE=专AP,∠PDA=0, AF-AD-2..DF-/ADF-AFF-2/5. :安AP+PD=PE+PD, ∴.当D,P,E三点共线，即点E与点F重合时，PE十 DP的值最小，最小值为DF, ÷AP+PD的最小值为2。 章未对点导练 1.A2.D 3© 4 【解析】如图，取DE的中 点H,连接FH,过点C作CM⊥ AB,交AB的延长线于点M,连接 FB. :四边形ABCD是菱形，.AB=CD=BC=2,AB∥ CD,AD∥BC. F,H分别是CE,DE的中点，∴.FH∥CD,FH= CD=1,FH∥AB,∠AEG=∠FHG. 1 :E是AB的中点，AE=BE=1,AE=FH. ∠AGE=∠FGH,∴.△AEG≌△FHG(AAS), ..AG=FG. ,AD∥BC, ∴.∠CBM=∠DAB=60 在Rt△CBM中，∠BCM=90°一∠CBM=30°，∴.BM BC-1..CM-/B-BF- BE=BM. ,F是CE的中点， ∴BF-CM-g.FB/CM, ∴.∠EBF=∠M=90. 在Rt△AFB中，由勾股定理，得AF=√AB十BF= V(GF-AF 41 4.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,∴.∠ABD=∠BDC. :BD平分∠ABC,·∠ABD=∠DBC, .∠BDC=∠DBC,.BC=CD, .□ABCD是菱形. (2)由(1)可知，四边形ABCD是菱形， 1 BO=DO,∠DCA=∠BCA=2∠BCD,AC⊥BD, AB∥CD, ∴.∠BCD=180°-∠ABC=180°-70°=110°，∠DCE =∠ABC=70°， 1 ·∠ACD=2∠BCD=55, ∠ECM=15°， ∴.∠DCM=∠DCE-∠ECM=70°-15=55°， ∴.∠DCA=∠DCM. DF⊥CM,BD⊥AC, .DO=DF=√5， .BD=2D0=25. 5.C【解析】，∠ACB=90°，∠B=28°， ∠A=62°. :CD是斜边AB上的中线， ..CD=AD. ∴.∠ACD=∠A=62. 一题多解法《 :∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ..CD=BD. ∠DCB=∠B=28°， .∠ACD=∠ACB-∠DCB=62. 6.3【解析】·CD为Rt△ABC斜边AB的中线，CD= 5,∴.AB=2CD=10. :∠ACB=90°，AC=8,.BC=√AB-AC=6. E,D分别为AC,AB的中点，DE是△ABC的中 位线DE=BC=3. 7.A【解析】如图，连接OB.四边形D ABCD是矩形，.DC∥AB,∠DCB 90°，，∴.∠FCO=∠EAO.在△AOE和 ∠AOE=∠COF, △COF中，∠EAO=∠FCO, AE=CF. .△AOE≌△COF(AAS),.OE=OF,OA=OC. BF=BE,.BO⊥EF,∴∠BOF=90°.∠BEF 2∠BAC=∠BAC+∠AOE,.∠EAO=∠AOE, ∴.AE=OE=OF=CF=2.在Rt△BFO和Rt△BFC ,BF=BF·:RtA BFOS≌R△BFC(HL).BO 中，OF=CF, BC.在Rt△ABC中，AO=OC,∴.BO=AO=OC= 上册详解详析 13