第1章 1 认识特殊平行四边形&2 菱形的性质与判定（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

1).CD⊥BG,FG⊥BG,.∠CDE=∠FGE=90°.易知∠CED=∠FEG,.△CDE∽ △FGE.是器即六62DE=6m答：D,E之间的距离为6n(任务2) 4 DE ,BD=456m,∴.BE=BD+DE=462m.AB⊥BG,CD⊥BG,.∠ABE=∠CDE= 90,:∠AEB=∠CED,△ABEn△CDE,8-=B,即4=462，AB=308m 6 答：电视塔AB的高为308m,4.解：(1)：二次函数的图象过点(0,0)，.设y关于t 的函数表达式为y=a十.将(1,27)，(2,48)代入，得1+b27; a+2b=48,解得 1a二3，：y关于t的函数表达式为y=-3+30t.(2)由(1)得y=一3+30t,当t= b=30. 4时，y=一3×4十30×4=72.答：汽车刹车4s后，行驶了72m.(3)该车在不变道的 情况下会撞到抛锚的车.理由如下：：y= -3t2十30t= -3(t-5)2十75，∴当t=5时， 汽车停下，行驶了75m,75>70,.该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车 新趋势题型拉分练（二）过程、依据补充、（半）开放性试题 1.四条边相等的四边形是菱形2.∠B=∠D(答案不唯一)3.一1（答案不唯一） 4.解：(1)BD对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线相等的平行四边形是 矩形(2)答案不唯一，如：由条件可知，AD=BD=CD,.∠A=∠DCA,∠B ∠DCB.又，∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°，∴.∠DCA+∠DCB=∠ACB=90 ∴.△ABC为直角三角形.5.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C.∠BDE十∠BED= 180°-∠B,∠BED+∠CEF=180°-∠DEF,∠DEF=∠B,.∠BDE=∠CEF. BD DE.BD CE 六△BDED△CEF.心CEEF∴DE一EF.(2)解：答案不唯一，如选择③作为条件， 求证①和②.证明如下：E是BC的中点，.BE=CE.由(1)知△BDEC∽△CEF, 80器票0票膘票'-票：∠B=∠C=∠DEF△BDE C∽△EDF,△CEF∽△EDF..∠BDE=∠EDF,∠CFE=∠EFD..DE平分∠BDF, FE平分∠DFC. 新趋势题型拉分练（三）数学文化、新定义试题 1.C2.453.154.解：(1)1(2)四边形ABCD是菱形，.AC=2AO,BD=2DO, AC⊥BD,AB=AD..∠BAD=60°，.△ABD是等边三角形..BD=AB.∴.DO= 号BD=2AB=合AD,∴A0=VAD-DO-9AB.∴AC=2A0=5AB.∴号 品酷-尽，即菱形ABCD的神似度为反5解：1点a+1,2a)是完芙 点”，.a2十1=2a,解得a1=a2=1.∴.a的值为1.(2)，某“完美函数”图象的顶点在直 线y=2x一3上，.x=2x一3，解得x=3..该“完美点”的坐标为(3,3)..设该“完美 函数”的表达式为y=a(x一3)2十3.，该“完美函数”与y轴的交点到原点的距离为4， .交点的坐标为(0,4)或(0，-4).将(0,4)代入y=a(x-3)2+十3，得4=9a十3，解得a 9心y=g(x-3)+3.将(0，-40代入y=a(x-3)2+3,得-4=90十3，解得a= 7 日心y=一日（x一3)+3.综上所述，该“完美函数”的表达式为y=号(x-3)+3 7 或y=一 x-3)+3. 新趋势题型拉分练（四）综合实践探究试题 1.解：(1)1.6十0.9=2.5(m),.点A的坐标为(3,2.5).由题意，得A(3,2.5)为上边 缘抛物线的顶点，.设上边缘抛物线的表达式为y=α(x一3)2十2.5.将H(0,1.6)代 入，得1.6=9a十2.5，解得a=-0.1.∴.上边缘抛物线的表达式为y=-0.1(x-3)2十 2.5.(2)设下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移bm得到的，则下边缘抛物线的 表达式为y=-0.1(x-3+b)2+2.5.将H(0,1.6)代入，得-0.1(-3十b)2+2.5= 1.6,解得b1=6,b=0(舍去)..b=6..下边缘抛物线的表达式为y=一0.1(x十3) 十2.5.当y=0时，-0.1(x十3)2十2.5=0，解得x1=2,x2=-8(舍去)..点B的坐标 为(2,0).(3)洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.理由如下：DE=2.2m, OD=2.8m,∴.OD>OB,OE=OD+DE=5m.EF=2m,∴点F的坐标为(5,2).在 y=-0.1(x-3)2+2.5中，当x=5时，y=-0.1×(5-3)2十2.5=2.1.2.1>2， '.洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.2.解：(1)①△ABB'∽△ACC.证明 如下：△ABCO△ABrC铝C,∠BAC=∠BAC.·0-把∠BAC ∠B'AC=∠B'AC'-∠B'AC,即∠BAB'=∠CAC.∴.△ABB'D△ACC'.②：∠BAC =90°，AB=3,BC=5,AC=VBC-AB=4.:△ABB∽△ACC,.B5=A5 ·CC=AC 连接AC:四边形ABCD为正方形，.AD=CD,∠ADC=90,2 ∴AC=VAD+CD=EAD.S=E.:AE=EF,∠AEF=90,∠EAF=45 AF=VAEF=EAE小能=E.6-银：∠EAF=∠CAD=45 ∴∠EAF-∠CAE=∠CAD-∠CAE,即∠CAF=∠DAE,△CAF△DAE.÷S器 100 随堂反馈答案 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 知识梳理 ①邻边直角邻边直角②相等互相平分两四 当堂练习 1.C2.B3.(4,-2)4.55°5.证明：四边形ABCD是正方形，.AB=CD,AD =BC,AB∥CD,∠BCD=∠BAD=90°.∴∠ABC=180°-∠BCD=90°=∠BCD. .AB=AD,.AB=BC CD.CE=DF,.BC+CE=CD+DF,BE=CF. .△ABE≌△BCF(SAS).∴AE=BF. 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①相等垂直②一半 当堂练习 1.C2.D3.A4.A5.号6.证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD,∠ABC =∠ADC.:∠ABC+∠CBE=180°，∠ADC+∠CDF=180°，.∠CBE=∠CDF.在 CB=CD, △CBE和△CDF中，J∠CBE=∠CDF,..△CBE≌△CDF(SAS).,.CE=CF. BE=DF, 第2课时菱形的判定 知识梳理 ②相等3垂直 当堂练习 1.A2.C3.ACEF(答案不唯一)4.证明：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD AB=CD,AB∥CD.∴.∠ABD=∠CDB.:AE∥CF,∴.∠AEF=∠CFE.∴.180° ∠AEF=180°-∠CFE,即∠AEB=∠CFD.∴.△ABE≌△CDF(AAS).AE=CF. .四边形AECF是平行四边形.：AC⊥BD,.四边形AECF是菱形. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①直角相等2一半 当堂练习 1.B2.C3.C4.20°5.解：O是BD的中点，E是边AB的中点，OE是 △ABD的中位线..AD=2OE=6.:四边形ABCD是矩形，∠A=∠BCD=90. BD=√AB+AD=10.:0是BD的中点，OC=BD=5, 第2课时矩形的判定 知识梳理 ②直角3相等 当堂练习 1.D2.D3.D4.∠A=90°（答案不唯一）5.证明：：∠1=2∠2，∠1=∠2 ∠OBC,.∠2=∠OBC...OB=OC..AD∥BC,.∠2=∠OAD,∠ODA=∠OBC ∴.∠OAD=∠ODA..OA=OD..OA=OC,.OB=OD..四边形ABCD是平行四边 形.易得AC=BD,.四边形ABCD是矩形. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 直角相等垂直平分 当堂练习 1.A2.A3.A4.22.5°5.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AB=CB, ∠ABD=∠CBD,即∠ABE=∠CBE.又.'BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS).(2)解： 四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD=90°，∠ADB=45°.：DE=DA,∴.∠DAE ∠DEA.∠DAE=号(180°-∠ADB)=61.5∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=2.5 第2课时正方形的判定 知识梳理 ①相等②互相垂直3直角④相等 当堂练习 1.A2.∠ABC=90°（答案不唯一）3.证明：四边形BEDF是菱形，，.OB=OD, OE=OF,BD⊥EF..·AE=CF= 号EF,∴.OE+AE=OF+CF,即OA=OC,AC= 101 2EF..四边形ABCD是平行四边形.BD⊥AC,.四边形ABCD是菱形.BD= 2EF,∴AC=BD..四边形ABCD是正方形.4.解：四边形OECF是正方形.理由如 下：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=AB,∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°.：OF ⊥DC,OE⊥BC,∴·∠OFD=∠OFC=∠OEB=∠OEC=90°.∴.四边形OECF是矩形. AO⊥BD,.DO=BO.,∴.△ODF≌△OBE(AAS)..OF=OE.∴.四边形OECF是正 方形. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①一个整式②常数项二次项系数一次项系数 当堂练习 1.D2.A3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x2十3x-1=0.它的二次 项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1.(2)去括号，得3x2十3x-2x-2=2x2+x. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2一2=0.它的二次项系数为1，一次 项系数为0，常数项为一2.4.解：(1)设这两个数中较小的数为x.根据题意，得x(x十 2)=120.化成一般形式为x2十2x-120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm.根据题 意，得(130-x)(80-x)=5000.化成一般形式为x2-210x十5400=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ①相等 当堂练习 1.C2.C3.-24.25.解：(1)-1334-0.010.363.33.4(2)方 程x2-3x一1=0的正数解约为3.3. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 知识梳理 ①-m十√n -m-√Jn②一半 当堂练习 1.B2.C3.A4.3(答案不唯一)5.解：(1)整理，得(x-1)2=9.两边开平方，得x -1=士3，即x-1=3,或x一1=-3.=4，=-2(2)配方，得2+8x十（号） =8+(受)，即(x十4)=24.两边开平方，得x+4=士26，即x十4=26，或x十4= -2√6.∴.x1=-4十2√6，x2=-4-2√6.(3)移项，得x2-3x=-2.配方，得x2-3x十 (侵)=-())=两边开方相一是生宁即子 /3、 3 名，或x-是=-分m=2=1 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 知识梳理 一半 当堂练习 1D2B31子1是年号9-9-1+-1汽4解： 2 2 1)两边都除以2，得+受=配方，得+受十()）=十（），即 (子)-品两边开平方，得x十=士，即x子=子，或x+子=- =号=-1.2)移项，得子2-6x=7.两边都除以号，得-12x=14.配方，得 -12x十62=14十62，即(.x-6)2=50.两边开平方，得x-6=士5√2，即x-6=5√2，或 x-6=-5√2.∴.x1=6+5√2，x2=6-5√2. 第3课时用公式法求解一元二次方程 知识梳理 ①≥ -b±B-4ac 2a ②不相等相等没有 当堂练习 1.A2.B3.A4.解：(1)这里a=1,b=-1,c=-3.:b2-4ac=(-1)2-4×1× (-3》=13>0,x=二（一》压-1生压，即1-1+压，=1压.(2)将 2×1 2 2 原方程化为一般形式，得2x2-x十2=0.这里a=2,b=-1,c=2.,-4ac=(-1)2 102第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 知识梳理 ①有一组 相等的平行四边形叫作菱形；有一个角是 的平行四边形叫作矩 形；有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形叫作正方形 ②菱形、矩形、正方形具有一般平行四边形的所有性质，即对角 ,对角线 ,且 它们都是轴对称图形，菱形、矩形都有 条对称轴，正方形有 条对称轴. 当堂练习 1.如图，在矩形ABCD中，∠A=90°.若AD=8,BD=10,则CD的长为 A.8 B.6√2 C.6 D.5 E B B (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在□ABCD中，若BD平分∠ABC,则四边形ABCD是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 3.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是(4,2)，则点B的坐标 是 4.如图，在矩形ABCD中，∠A=90°，连接BD,BE平分∠ABC,交CD于点E.若∠DBE 10°，则∠ADB的度数是 5.如图，在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，分别延长BC,CD至点E,F,且CE= DF,连接AE,BF.求证：AE=BF 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①菱形具有平行四边形所有的性质外，还具有特殊性质： 菱形的四条边 ;菱形的对角线互相 ②菱形的面积=底×高=两条对角线长的乘积的 当堂练习 1.如果菱形ABCD的边长为3cm,那么菱形的周长为 A.9 cm B.15 cm C.12 cm D.18 cm 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 A.内角和是360° B.对角相等 C.对边平行且相等 D.对角线互相垂直 3.菱形ABCD的两条对角线长分别为5和8，它的面积为 A.20 B.22 C.24 D.26 4.如图，在菱形ABCD中，连接AC,BD.若∠CDB=70°，则∠ACD的度数为 A.20° B.30° C.40° D.50° B (第4题图) (第5题图) 5.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M为AB的中点，连接OM.若AC=6, BD=8,则OM的长为 6.如图，四边形ABCD是菱形，点E,F分别在边AB,AD的延长线上，且BE=DF,连接 CE,CF.求证：CE=CF. D ·2 第2课时菱形的判定 知识梳理 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四边 的四边形是菱形， 3对角线互相 的平行四边形是菱形， 当堂练习 1.如图，已知口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件后能使口ABCD成为 菱形的是 A.AB-AD B.∠ABC=90° C.AC=BD D.AB⊥AD B B E (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD(接头部分忽略不 计).若∠B=50°，则∠DAC的度数为 A.50° B.60° C.65° D.70° 3.如图，在□ABCD中，过AC的中点O的直线分别交边BC,AD于点E,F,连接AE, CF.只需添加一个条件即可判定四边形AECF是菱形，这个条件可以是 4.如图，在菱形ABCD中，点E,F在对角线BD上，且AE∥CF,连接AF,CE.求证：四边 形AECF是菱形， ·3·