1.2 菱形的性质与判定(2) 同步练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以“菱形的判定”为核心，通过三级分层设计（A级双基、B级提升、C级拓展），构建从概念回顾到综合应用的知识巩固路径，适配新授课教学，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|菱形判定定理直接应用|选择、填空、简单证明，如第4题判定条件辨析，夯实基础| |B级|菱形与平行四边形、矩形综合|结合折叠（第14题）、面积计算（第11题），提升推理能力| |C级|菱形判定与三角形综合|综合证明与计算（第15题），融入垂直平分线等知识，发展应用意识|

第一章 特殊平行四边形 第二节 菱形的性质与判定(2) 今日复习 菱形的判定定理： (1)四条边都相等的 是菱形； (2)对角线互相垂直的 是菱形； (3)一组邻边 的平行四边形是菱形； (4)对角线 的四边形是菱形. 名师点拨 菱形的判定方法： (1)平行四边形+一个菱形的独有特征⇒菱形； (2)平行四边形的判定条件+一个菱形的独有特征⇒菱形. 课时三级达标 A级 双基过手 1.(2024·自贡)如图,以点 A 为圆心,适当的长为半径画弧，交∠A 两边于点M，N，再分别以点 M，N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点 B，连接MB，NB.若∠A=40°,则∠MBN= . 2.(2026·编写)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC, DE∥AC交AB 于点E, DF∥AB 交AC 于点 F.若AF=8,则四边形AEDF 的周长是 . 3.(2026·编写)如图,已知线段AB=8,分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点 P，Q，作直线 PQ，连接PA,PB,QA,QB.若AP=5,则四边形 APBQ的面积为 . 4.(2026·编写)已知平行四边形ABCD,有下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有 .(填序号) 5.(2023·襄阳)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD 是菱形的是 ( ) A. AC=BD B.∠ADB=∠CDB C.∠ABC=∠DCB D. AD=BC 6.(2026·武侯)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是对角线BD,AC的中点.若四边形 EGFH是菱形，则四边形 ABCD 应满足的条件是 ( ) A. AC=BD B. AB=CD C. AC⊥BD D. AB=AD 7.(2023·遂宁)如图,在△ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,DF∥AC.增加下列条件能判定四边形 AFDE 为菱形的是( ) A.点 D在∠BAC的平分线上 B. AB=AC C.∠A=90° D. D为BC 的中点 8.(2026·编写)如图,在∠MON 的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点 A,B 为圆心,OA 长为半径作弧,两弧交于点 C;连接 AC,BC,AB,OC.若 AB=2cm,四边形OACB 的面积为4cm²,则OC的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 9.(1)(2026·编写)如图,在四边形 ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB 的中点,连接CE.求证:四边形 AECD为菱形. (2)(2026·金牛)如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE,过点 B 作BF∥DE,且 BF=DE,连接EF.求证:四边形BDEF 是菱形. 10.(2023·西安)如图,在▱ABCD中,CE|平分∠BCD,交 AD 于点 E,DF 平分∠ADC,交 BC于点F,CE与DF 交于点P,连接EF,BP. (1)求证:四边形 CDEF 是菱形; (2)若AB=2,BC=3,∠A=120°,求BP|的长. B级 能力提升 11.(2023·达州)如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=5,AC=6,E是直线AB,CD之间任意一点,连接AE,BE,CE,DE,则△EAB 和△ECD 的面积和等于 . 12.(2026·编写)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,∠BAD的平分线分别交 BD,BC于点O,E.若 EC=3,CD=4,则 BO 的长为 . 13.(2023·天府新区)如图,在□ABCD 中, ∠D = 60°,CD=DA=4,E为四边形内部一点,且 AE =2,连接CE,F 为 CE 中点,连接BF,取 BF中点G,连接AG,则 AG的最大值为 . 14.(2025·金牛)如图1,在矩形ABCD中,点 E,F 分别在 AD,BC 上,将矩形ABCD 沿直线EF 折叠,点 C落在AD上的一点 H 处,点 D 落在点G 处,EF 与HC 交于点O,连接CE. (1)求证:四边形CFHE 是菱形; (2)如图2,当AB=4,BC=8,点 H 与点A 重合时,求OF 的长. C级 综合拓展 15.(2026·编写)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC 交AC 于点 D,EF 垂直平分BD,分别交AB,BC,BD于点E,F,G,连接DE,DF. (1)求证:四边形BEDF 是菱形; (2)若∠BDE=15°,∠C=45°,DE=2,求CF 的长. 【今日复习】 (1)四边形 (2)平行四边形 (3)相等 (4)互相垂直平分 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.40°2.32 3.24 4.①③ 5. B 6. B 7. A 8. C 9.(1)【证明】∵E为AB 的中点, ∴AB=2AE=2BE. ∵AB=2CD,∴CD=AE. 又∵AE∥CD,∴四边形 AECD是平行四边形. ∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠EAC. ∵AB∥CD,∴∠DCA=∠EAC, ∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD. 又∵四边形AECD是平行四边形， ∴四边形AECD是菱形. (2)【证明】∵AB=AC,∴∠C=∠ABC. ∵D,E分别是边AB,BC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥AC,∴∠DEB=∠C, ∴∠ABC=∠DEB,∴DE=DB. ∵BF∥DE,BF=DE, ∴四边形 BDEF 是平行四边形. 又∵DE=DB,∴四边形 BDEF 是菱形. 10.(1)【证明】∵四边形 ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠EDF=∠DFC. ∵DF平分∠ADC,∴∠EDF=∠CDF, ∴∠DFC=∠CDF,∴CD=CF.同理可得CD=DE, ∴CF=DE,且CF∥DE, ∴四边形CDEF 为菱形. (2)【解】如图,过点 P 作PG⊥BC于点G. ∵AB=2,BC=3,∠A =120°,且四边形 CDEF 为菱形， ∴CF =EF =CD=AB=2, ∴△CEF为等边三角形， ∴CE=CF=2, 在Rt△BPG中，由勾股定理可得. B级(能力提升) 11.12 12.2 14.(1)【证明】在矩形ABCD中,AD∥BC, 即 HE∥CF,∴∠HEF=∠EFC. 由翻折可知,∠EFC=∠HFE, ∴∠HEF=∠HFE,∴HE=HF. ∵FC=FH,∴HE=CF. 又∵HE∥CF, ∴四边形 CFHE是平行四边形. ∵CF=FH, ∴四边形CFHE 是菱形. (2)【解】当点 H 与点 A 重合时,设 BF=x,则 AF=FC=BC-BF=8-x. 在Rt△ABF中, 解得x=3, ∴CE=AF=8-x=5. ∵CD=AB=4, 如图,过点 F 作 FM⊥AD 于点M,得矩形ABFM,矩形 CDMF. ∴AM=BF=3,MF=AB=4. ∴ ME = AD - AM - DE =8-3-3=2. 在 Rt△EMF 中,由勾股定理,得 C级(综合拓展) 15.(1)【证明】∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC, ∵EF垂直平分BD. ∴BE=DE,BF=DF, ∴∠EBD=∠EDB,∠FBD=∠FDB, ∴∠EBD=∠BDF,∠EDB=∠DBF, ∴BE∥DF,DE∥BF, ∴四边形 DEBF 是平行四边形,且BE=DE, ∴四边形 BEDF 是菱形. (2)【解】如图,过点D作DH⊥BC于点H. ∵四边形 BEDF 是菱形, ∴BF=DF=DE=2, ∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°, ∴∠DFH=30°,且DH⊥BC, ∵∠C=45°,DH⊥BC, ∴∠C=∠CDH=45°, ∴DH=CH=1, 学科网（北京）股份有限公司 $