5.4二次函数与一元二次方程第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程 第1课时 学 习 目 标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；（重点） 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.（难点） 知识回顾 1.一元二次方程a+bx+c=0的根的判别式Δ= , 当Δ_____0时,方程有两个不相等的实数根; 当________时,有两个相等的实数根; 当________时,没有实数根.  ＞ Δ＝0 Δ＜0 2.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的 就是一元一次方程kx＋b＝0的根． 横坐标 情境引入 现在我们学习了一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？ 一个小球从地面被竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.你能从图象看出什么信息呢？ 新知探究 探究：二次函数与一元二次方程的关系 我们已经知道，竖直上抛物体运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(单位：m)是物体被抛出时的高度，v0(单位：m/s)是物体被抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛出，小球运动的高度h与运动的时间t之间的关系如图所示. (1)写出h与t之间的关系式. 解：（1）由图象可得h0＝0，v0＝40. ∴h与t的关系式为h＝－5t2＋40t. (2)小球经过多少秒落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 新知探究 （2）方法一：由图象可得小球经过8 s后落地. 方法二：令h＝0，得－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0， ∴ t(t－8)＝0. 解得t1＝0，t2＝8. ∵ t＝0是小球没抛时的时间， ∴ t＝8是小球落地时的时间. ∴ 小球经过8 s后落地. “数形结合”思想 新知探究 （1）二次函数y＝x2＋2x的图象与x轴有2个交点. 二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点. 二次函数y＝x2－2x＋2的图象与x轴没有交点. 二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象分别如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点? 新知探究 (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下. 一元二次方程x2＋2x＝0的Δ=4＞0， ∴方程有2个不相等的实数根. 解：x(x+2)=0 x=0或x+2=0 ∴ x1=-2，x2=0 y=x2+2x 2个交点 新知探究 一元二次方程x2－2x＋1＝0的Δ=0， ∴方程有2个相等的实数根. 解： (x-1)2=0 ∴ x1=x2=1 y=x2-2x+1 1个交点 新知探究 ∵一元二次方程x2－2x＋2＝0的Δ=-4＜0, ∴方程没有实数根. y=x2-2x+2 没有交点 （3）二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系? 新知探究 知识归纳 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（b2－4ac>0）、有两个相等的实数根（b2－4ac＝0）、没有实数根（b2－4ac<0）. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 新知探究 1.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　 )A.无解 B.x＝1C.x＝－4 D.x1＝－1，x2＝4 D (1)在本节一开始的上抛小球问题中，何时小球的高度是60m？你是如何知道的？与同伴进行交流. 新知探究 方法一：令h＝60，即－5t2＋40t＝60, 解得 t1=2，t2=6, ∴2s或6s时，小球离地面的高度是60m. 方法二：由图象可得. 【方法归纳】利用图象，也可以解方程. 新知探究 x y o 2 4 1 (2)一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来. 一元二次方程的根即为二次函数当y值为1时，对应的x的值. 由图象得一元二次方程的根为x1=2，x2=4. 新知探究 二次函数与一元二次方程的关系(拓展): 知识归纳 一般地，当二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时，求自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m. 反过来，解方程ax2+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值． 2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=5的根为（     ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 新知探究 A 典例分析 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； 例1 (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点； 典例分析 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 例1 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝. 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. 典例分析 如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m． (1)求这个二次函数的解析式； (2)该同学把铅球推出去多远？ 例2 解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3， 把（0，0.6）代入得 0.6=a（0-4）2+3， 解得 ∴ (2)当y=0时，0 解得（舍去）. 答：该男同学把铅球推出去(4+2)m远． 巩固练习 1.二次函数y=x2−5x−6与x轴的交点坐标是（     ） A．(0,−6) B．(−6,0)、(1,0) C．(−1,0)、(6,0) D．(3,0)、(2,0) 2.抛物线y=ax2−2ax+c与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(−2,0)，则点B的坐标是（     ） A．(−4,0) B．(0,0) C．(2,0) D．(4,0) D C 3.若二次函数y=ax2−4x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是(     ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是−4和2，则二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线(     ) A. x=−3 B. x=−2 C. x=−1 D. x=1 B C 6.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax2+bx+c−2=0的根的情况是（   ） A．有两个正实数 B．有两个异号实数根 C．有两个负实数根 D．没有实数根 5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则以下结论：①abc>0；②2a+b=0；③a+b+c<0；④b2−4ac>0．正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固练习 D A 9.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−3,6)，B(1,)，则关于x的一元二次方程ax2=bx+c的解是           ． 8.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的顶点坐标为4,5，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是____________． 7.已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=3，则另一个根为__________． 巩固练习 x=-1 m≤5 x1=−3，x2=1 巩固练习 10. 已知二次函数y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标. (1)证明：2x2－mx－m2＝0，Δ＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2.∵ m2≥0，∴ 9m2≥0，∴ 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点.　 巩固练习 （2）解：把(1，0)代入二次函数表达式， 得2－m－m2＝0， ∴ 解得 m1＝－2，m2＝1. 当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4, 令y＝0，得2x2＋2x－4＝0，解得x＝1或x＝－2， ∴ 二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0). 又∵ A点坐标为(1，0)， ∴ B(－2，0). 当m＝1时，同理可得B（）. 巩固练习 11.已知关于x的一元二次方程+x﹣m＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）二次函数y＝+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程+x﹣m＝0的解． 解：（1）∵一元二次方程+x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即1+4m＞0， ∴m＞， ∴m的取值范围为m＞； （2）∵二次函数y＝+x﹣m图象的对称轴为直线x=， ∴抛物线与x轴两个交点关于直线x对称， 由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0）， ∴另一个交点为（﹣2，0）， ∴一元二次方程+x﹣m＝0的解为. 课堂小结 二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况 b2-4ac的值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 无公共点 无实数根 b2-4ac<0 1.二次函数与一元二次方程有下列对应关系： 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，反之亦然． 作业布置 1.必做题：习题5.4第1，2，4题。 2.探究性作业：习题5.4第5题。 感谢聆听! $