第五章 1 认识二次函数&2 二次函数的图象-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

第五章 二次函数 1认识二次函数 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点①二次函数的相关概念 6.已知函数y=(m十1)xm+1+4.x-5是关于 1.(2025一2026阜阳太和期末)下列函数中，一 x的二次函数，则一次函数y=mx一m的图 定是关于x的二次函数的是 象不经过第 象限。 A.y=ax2+bx+c 7.几何直观如下图，等腰直角三角形ABC的 B.y=-x-4 直角边与正方形MNPQ的边长均为10cm, C.y=2x2-5 D.y=3x2+x-2 边CA与边MN在同一条直线上，点A与点 2.把函数y=(2-3x)(6-x)化成y=ax2+ M重合.让△ABC沿MN方向以1cm/s的 b.x+c的形式为 速度匀速运动，运动到点A与N重合时停 3.(2025一2026梅州梅县区期中)已知y=(m 止.设运动的时间为ts,运动过程中△ABC 十2)xm+2是关于x的二次函数，那么m 与正方形MNPQ的重叠部分面积为Scm2. 的值为 (1)试写出S关于t的函数关系式，并指出 自变量t的取值范围. 变式题如果y=(k一3)x1-1|十x一3是 (2)当MA=2cm时，重叠部分的面积是多少？ 二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出 k的值为一1，她们俩中求得结果正确的是 M(A) 知识点②列二次函数关系式 4.情境应用某公司主动适应市场需求，引进 新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆 1.5万片，计划第三年生产晶圆y万片.设该 公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长 知识要点归纳 率为x,则y与x的函数关系式是 1.二次函数的概念：一般地，形如y三ax2十bx十 c(ab,C是常数，a≠0)的函数叫作y关于x的 5.(教材变式)已知一个直角三角形的两条直角 二次函数 边的和为10cm.若设此直角三角形的面积为 2.二次函数的一般形式：通常把y=ax2十bx十c Scm,其中一条直角边长为xcm,则S与x (a,b,c是常数，a≠0)称为二次函数的一般形式。 其中ax2,bx,c分别为二次项、一次项和常数项. 的函数关系式为 ,自变量的 3.列二次函数关系式：(1)审清题意；(2)找出等 取值范围是 量关集；(3)列出函教关集式， 80 九年级数学BS版 2二次函数的图象 第1课时 二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 色课内基础闯关 知识点②二次函数y=一x2的图象与性质 知识点①二次函数y=x2的图象与性质 5.点A(-3,y1),B(2,y2)在抛物线y=一x2 1.已知函数y=x2,下列说法不正确的是 上，则y y2(填“>”“<”或 “=”) A.当x<0时，y随x的增大而减小 6.如下图，梯形ABCD的顶点都在抛物线y= B.当x≠0时，函数值总是正数 -x2上，且AB∥CD∥x轴.点A的坐标为 C.当x>0时，y随x的增大而增大 (a,一4)，点C的坐标为(3，b). D.函数图象有最高点 (1)求a,b的值 (2)求B,D两点的坐标 2.已知矩形的长为2xcm,宽为2xcm,面积为 ycm2,下列图象能表示y与x之间的函数 关系的是 业.：市 3.若A(-1,y1),B(-2,y2)是二次函数y= 7.已知函数y-是关于x的二次函数。 x2的图象上的两点，则y1与y2的大小关系 (1)求满足条件的k的值. 是y1 y2(填“>”“<”或“=”). (2)当k为何值时，抛物线有最高点？求出 4.(教材变式)二次函数y=x2的图象的顶点 这个最高点.x为何值时，y随x的增大而 坐标是什么？点A(一4,16)在二次函数y= 增大？ x2的图象上吗？请分别写出点A关于x轴 (3)当k为何值时，函数有最小值？最小值 的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的 是多少？x为何值时，y随x的增大而减小？ 坐标.点B,C在二次函数y=x2的图象 上吗？ 上册第五章 81△ 巴课外拓展提高 已综合能力提升 8.如图，圆的半径为√2，C1是函数y=x2的图 11.新定义题在平面直角坐标系中，已知一条 象，C2是函数y=一x2的图象，则图中阴影 开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于 部分的面积为 对称轴对称的A,B两点（点A在点B左 A.√2π B.2π 侧)，以AB为直径作⊙M.取线段AB下 C.1 D.x 方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部 分（含端点A,B),组成一个封闭图形，我们 称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫 作“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物 圆”截得的线段叫作“纵径”，“纵径”长度和 第8题图 第9题图 “横径”长度的比值叫作此“抛物圆”的 9.如图，已知抛物线y=一x2上有A,B两点，其 “扁度”.已知抛物线的表达式为y=x2 横坐标分别为一1，一2，在y轴上有一动点C, (1)若点A的横坐标为一2，则得到的“抛物 圆”的“横径”长为 ,“纵径”长为 则AC+BC的最小值为 10.如下图，P是抛物线y=x2在第一象限内 的一点，点A的坐标是(2,0).设点P的坐 (2)若点A的横坐标为t,用t表示此“抛物 圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2 标为(x,y) (1)求△OPA的面积S关于x的函数表 时t的值. 达式 (2)当S=4时，求点P的坐标. (3)在抛物线y=x2上存在点P',使OP =P'A,求出点P'的坐标 知识要点归纳 如右图，二次函数y=x2和 y=一x2的图象形状相同， 只是开口方向不同，这两个 函数图象既关于x轴对称又 关于原点对称 2 九年级数学BS版 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2十c的图象与性质 课内基础闯关 7.已知点(3,13)在函数y=ax2+b的图象上， 当x=一2时，y=8. 知识点①二次函数y=ax2的图象与性质 (1)求a,b的值. 1.二次函数y=一2x2的图象大致是( (2)若点(6，m),(n,20)也在这个函数的图 头兴卡市 象上，求m与n的值. 2.抛物线y=2x2,y=-2x2,y= 2x2的共同 性质是 ( A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 知识点③ 二次函数y=ax2,y=ar2+c的 3.几何直观如图，四个函数图象 ①② 图象的联系 对应的表达式分别为①y=a.x2, ②y=bx2,③y=cx2,④y 8(载材变式)要得到搬物线y一行女一4，可将 dx2,则a,b,c,d的大小关系是 第3题图 抛物线y= (用“>”连接) 3x2+2 4.已知抛物线y=ax2经过点A(一2，一4). A.向上平移2个单位长度 (1)试判断点B(一3,4)是否在此抛物线上. B.向下平移2个单位长度 (2)设点C(x1,y1),D(x2,y2).若x1<x C.向上平移6个单位长度 <0,试判断y1,y2的大小关系. D.向下平移6个单位长度 9.(2025上海，有改动)将函数y=3x2的图象 向下平移2个单位长度后，得到的新函数的 表达式为 10.如图所示，已知抛物线甲： y=一2x2-1和抛物线乙 知识点② 二次函数y=ax2十c的图象与性质 的形状相同，且两条抛物线 -2x2-1 5.(教材变式)二次函数y=一x2+1与y= 的对称轴均为y轴，两个顶 一x2一2的图象的不同之处是 点相距5个单位长度，则抛 第10题图 ( A.开口方向 B.对称轴 物线乙的表达式为 C.顶点坐标 D.形状 易错点求函数值的范围时忽视顶点处的 6.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的 取值 是 11.对于二次函数y=一2x2十4，当一2<x≤ A.y=x2+1 B.y=-x2+1 1时，y的取值范围是 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 上册第五章 83 已课外拓展提高 综合能力提升 12.在同一平面直角坐标系中，一次函数y= 15.新定义题在平面直角坐标系中，将P,(a, ax十b与二次函数y=a.x2一b的大致图 b一a)定义为点P(a,b)的“关联点”.已知： 象可能是 点A(x,y)在函数y=x2的图象上（如下 图所示)，点A的“关联点”是A1 人A女 (1)请画出函数y=x2-2的图象 (2)如果点A,在函数y=x2一2的图象上， 求点A1的坐标 13.如图，正方形ABCD和正 (3)将P2(a,b-na)(n≠0)定义为点P(a, 方形CEFG的顶点D,F b)的“待定关联点”.如果点A(x,y)的“待 定关联点”A2在函数y=x2一n的图象上， 都在抛物线y=一 2 试用含n的代数式表示点A2的坐标 上，顶点B,C,E均在y 第13题图 轴上，若O是BC边的中点，则正方形 CEFG的边长为 14.已知二次函数y=2x2十m. (1)若点（一2，y1),(3,y2)在该二次函数的 图象上，则y1 y2(填“>”“<”或 “=”) (2)如下图，该二次函数的图象经过点(0， 一4)，正方形ABCD的顶点C,D在x轴 上，顶点A,B恰好在该二次函数的图象 上.求图中涂色部分的面积. 知识要点归纳 1.解决二次函数y=ax2十c的问题要注意： (1)a的符号台图象的开口方向：(2)a的绝对值 相等台抛物线的形状相同；(3)c台顶点的纵 坐标。 2.二次函数y=a.x2与y=a.x2十c的图象的联 系：y=a.x2 当c>0时，向上平移c个单位长度 当c<0时，向下平移11个单位长度y一 ax2十c.口诀：上加下减. 84 九年级数学BS版 第3课时 二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 课内基础闯关 --0 已课外拓展提高 知识点① 二次函数y=a(x一h)2的图象 5.若二次函数y=a(x一m)2(a<0)的图象经 与性质 过点A(-1,p),B(3,q),且p<q,则m的 1.对于二次函数y=一（x一1)2的图象，下列 值可能是 说法不正确的是 6.已知二次函数y=3(x一5)2，点A(x1,m), B(x2,m)是抛物线上两个不同的点. A.开口向下 (1)若x1=0,则x2的值为 B.对称轴是直线x=1 (2)当x=x1十x2时，函数的值是 C.当x=1时，y有最大值0 7.(2025一2026东莞期中)【探究】已知二次函 D.当x<1时，y随x的增大而减小 数y=-x2+4. 2.一题多解法（2025一2026潍坊期未)在同一 (1)在下图中画出此二次函数的大致图象， 平面直角坐标系中，一次函数y=ax十c和二 (2)当一1≤x≤3时，函数值y的取值范围 次函数y=a(x十c)2的图象大致为 是 六兴 【应用】已知二次函数y=一(x一h)2(h是 常数)，且自变量的取值范围是2≤x≤5. (3)当h=3时，函数的最大值是 (4)若函数的最大值为一1，求h的值， 3.已知抛物线y=一3(x一2)2。 (1)当y随x的增大而增大时，求x的取值 范围。 (2)求抛物线与y轴的交点坐标 知识要点归纳 1.二次函数y=a(x一h)2的图象是一条抛物 知识点② 二次函数y=ax2与y=a(x一 线，对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,0). h)2的图象的联系 若a>0,图象的开口向上，当x<h时，y随x的 4.将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2(x 增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大； 十1)2，则下列平移过程正确的是 若a<0,图象的开口向下，当x<h时，y随x的 增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小 A.向左平移1个单位长度 2.任意抛物线y=a(x一h)(a≠0)都可以由抛 B.向右平移1个单位长度 物线y=a.x2(a≠0)经过左右平移得到.抛物线 C.向上平移1个单位长度 的平移规律是“左加右减” D.向下平移1个单位长度 上册第五章 85 第4课时 二次函数y=a(x一h)2+k和y=ax2+bx+c的图象与性质 课内基础闯关 C.当x>1时，y随x的增大而减小 知识点① 二次函数y=a(x一h)2+k的图 D顶点坐标为马) 象与性质 6.抛物线y=x2十bx十c向右平移2个单位长 1.关于二次函数y=2(x一1)2+3的最大值或 度，再向下平移1个单位长度，所得图象的 最小值，下列说法正确的是 表达式为y=x2-2x一3，则c= A.有最大值1 B.有最小值1 C.有最大值3 D.有最小值3 2.已知二次函数y=(x一3)2十1，有下列说 变式题要想得到y=x2十4x十6，可以将 法：①其图象的开口向下；②其图象的对称 抛物线y=x2一2x十1 ( 轴为直线x=3;③其图象顶点坐标为(3， A.向上平移2个单位长度，再向左平移3 一1)；④当x<3时，y随x的增大而减小. 个单位长度 其中正确的有 ( B.向下平移2个单位长度，再向右平移3 A.1个 B.2个 个单位长度 C.3个 D.4个 C.向上平移2个单位长度，再向右平移3 知识点② 二次函数y=ax2,y=a(x-h)2 个单位长度 十k的图象的联系 D.向下平移2个单位长度，再向左平移3 3.将抛物线y=一(x一3)2+5先向右平移2 个单位长度 个单位长度，再向下平移6个单位长度，平 知识点④ 二次函数y=ax2十bx十c与系数 移后的抛物线的表达式为 A.y=-(x-5)2-1 a,b,c的关系 B.y=-(x-1)2-1 7.如图，直线l为二次函数y=a.x2+bx十c(a C.y=-(x-5)2+11 ≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是 D.y=-(x-1)2+11 () 4.在平面直角坐标系中，把抛物线y=3x2绕 A.b恒大于0 B.a,b同号 原点旋转180°，再向右平移1个单位长度， C.b恒小于0 D.a,b异号 向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的 表达式为 知识点③ 二次函数y=ax2+bx+c的图象 与性质 第7题图 第8题图 5.对于抛物线y=x2一3x一1，下列说法错误 8.如图，抛物线y=a.x2十bx+c过点（一1,0） 的是 和点(3,0)，则下列说法正确的是 A.开口向上 A.bc<0 B.a+b+c>0 B.对称轴是直线x= C.2a+b=0 D.eo 九年级数学BS版 已课外拓展提高 (2)P是抛物线的对称轴1上的一个动点， 9.当份≤≤m十1时，二次函数y=x-2z十 当PA十PC的值最小时，求点P的坐标. m一1的最小值是一1，则m= A O B 易错点考虑问题不全面而漏解 10.当一1≤x≤2时，二次函数y=x2十 2kx+1的最小值是一1，则k的值可能 是 11.一题多解法如右图，已知二次 函数y=-3(x十m)2+k(m, k为常数，且k>0)的图象与x 轴交于A,B两点.若线段AB 的长为4，求k的值. 知识要点归纳 1.二次函数y=a(x一h)2+k的图象是一条抛 物线.若a>0,图象的开口向上，当x<h时，y 随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而 增大；若a<0,图象的开口向下，当x<h时，y 随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而 减小 2.任意抛物线y=a(x一h)十k(a≠0)都可以 由抛物线y=ax2(a≠0)经过平移得到.抛物线 的平移规律是“左加右减，上加下减” 3.二次函数y=a.x2十bx+c化成y=a(x-h)2 已综合能力提升 +的影式为y=a(+会)+ 4a. 4.二次函数y=a.x2十bx十c的图象信息与各项 12.几何直观如下图，已知抛物线y=一x2十 系数的关系：(1)a决定抛物线的开口方向；(2)c mx+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于 决定抛物线与y轴的交点位置；(3)a,b的符号 点C,点B的坐标为(3,0) 共同决定对称轴的位置： (1)求m的值及抛物线的顶点坐标. 上册第五章 87△第2课时由三视图描述几何体 1.C2.C 3.C【解析】观察三视图发现该长方体的长、宽、高分别 为m+2,m一1，m.故该长方体的体积为(m+2)(m一 1)m=m3+m2-2m. 4.8π 5.A【解析】综合三视图可知，这个几何体的底层有3 个小正方体，第二层有2个小正方体，∴.搭成这个几何 体的小正方体的个数为3十2=5. 变式题7或8或9【解析】从主视图和俯视图来看， 这个几何体的底层有5个小正方体，第二层最少有2 个，最多有4个小正方体，∴.最少需要5十2=7（个）小 正方体：最多需要5十4=9（个）小正方体.故搭出这个 几何体可能需要7或8或9个小正方体 6.解：由题图可知，这个几何体是从一个长方体中切去一 个三棱柱所形成的，如图 15 入10 20 6 10八 15 10 10 15 28 由图可知，这个几何体的表面积为28×15十2×20× 6+2×7×(16+10)×8+15×16+15×10+10XD +15×20=420+640+208+240+150+150+300= 2108. 章末对点导练 1.中心 2.解：(1)点F的位置如图所示. (2)由题意得CD∥EF, .∠ACD=∠AEF,∠ADC=∠AFE, ∴.△ACD∽△AEF, AC-CD-1.85 "AEEF3.249' 福- ,∠ABE=∠CME=90°，∠AEB=∠CEM, .△ABE△CME, 湖福投 AB 9 .AB=3.6m,即路灯的高度AB为3.6m. 3.D4.A 5.D【解析】由题意可知，甲和乙的主视图均为3列，且 从左至右均依次有1,2,1个小正方形，故甲和乙的主 视图相同；甲和乙的左视图均为2列，但甲的左视图中 从左至右依次有2,1个小正方形，乙的左视图中从左 至右依次有1,2个小正方形，故甲和乙的左视图不 相同. 6.解：三视图如图所示. 主视图 左视图 俯视图 7.D 变式题B【解析】由三视图可知该几何体是由大、小 两个圆柱构成的.大圆柱的底面直径为8，高为8；小圆 柱的底面直径为4，高为2. 故该几何体的体积为π×(4÷2)2×2十π×(8÷2)2×8 =136π. 8.18π【解析】由三视图可知，这个几何体为一个底面直 径为4的大圆柱从中挖去一个底面直径为2的小圆柱 后剩余的部分.“它的体积为x×(专)厂×6一π× (2)×6=18x 9.A10.C11.C12.D13.A 第五章二次函数 1认识二次函数 1.D2.y=3x2-20x+123.2变式题敏敏 4.y=1.5(1+x) 5S=号x+5x0<x<106.日 7.解：(1)设运动过程中AB与QM交于点R. 易知△AMR是等腰直角三角形. 由题意，得AM=MR=tcm, 1 &s7t152(0≤t<10m (2)当MA=2cm时，重叠部分的面积是 2×2X2=2 (cm2). 2二次函数的图象 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 1.D2.C3.< 4.解：二次函数y=x2的图象的顶点坐标是(0,0). ,当x=-4时，y=(-4)2=16, ∴.点A(-4,16)在二次函数y=x2的图象上. 点B为点A关于x轴的对称点，点C为点A关于y 轴的对称点， ∴.点B的坐标为（一4，一16），点C的坐标为(4,16). 当x=-4时，y=(-4)2=16≠-16，∴.点B不在二 次函数y=x的图象上. 当x=4时，y=4=16,∴.点C在二次函数y=x2的 图象上 5.< 6.解：(1)当y=-4时，-4=-a2, ∴.a=±2. :点A在第三象限， 上册详解详析 35△ ∴.a=-2. 当x=3时，y=-9,∴b=-9. (2)AB∥CD∥x轴， .点A与点B,点C与点D的纵坐标相同 ,y=一x2关于y轴对称， 点B的坐标为(2，一4)，点D的坐标为（一3，一9）. ⑦.解：)心函数y=?x-是关于x的二次函数 发-2=2且合≠0，解得k=士2。 (2)当抛物线有最高点时，抛物线开口向下， 即令<0=一2最高点的坐标为0,0. 当x<0时，y随x的增大而增大. (3)当函数有最小值时，抛物线开口向上， 即飞、 >0,…k=2,.最小值为0. 当x<0时，y随x的增大而减小。 8.D 9.3√2【解析】如图，点A关于y轴的对 称点A'的横坐标为1，连接A'B与y轴 相交于点C,此时AC十BC最短.当x =1时，y=一1，当x=一2时，y=一4， ∴.点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标 为（一2，一4）.由勾股定理，得A’B= √(1+2)+(-1+4)7=3√2，即AC+BC的最小值 为3√2. 10.解：(1)由题意，得OA=2,△AOP的高为y=x2, 5=×2r2=r(x>0. (2)当S=4时，4=x2,解得x1=2,x2=一2（舍去）， ,.P(2,4). (3)OP'=P'A, 1 小点P'的横坐标x=20A=1. 把x=1代入y=x2,得y=1, .点P的坐标为(1,1). 11.解：(1)46 (2),y=x2关于y轴对称，点A的横坐标为t, 点A的坐标为(t,t2),点B的坐标为（一t,t), .“抛物圆”的“横径”长为一t一t=一2t, 飘径长为+=-1十 “它的“扁度”为2 =2. 解得t1=一3，t2=0(舍去)，即t的值为一3. 第2课时二次函数y=ax2 和y=ax2+c的图象与性质 1.D2.B3.a>b>c>d 4.解：(1)将A(-2,-4)代入y=a.x2,得a=-1, .这个函数的表达式为y=一x2. 当x=-3时，y=一9≠4， 点B(一3,4)不在此抛物线上. 436 九年级数学BS版 (2):当x<0时，函数值y随x的增大而增大，x1< x20,.y1<y2 5.C6.D 7.解：1)由题意，得8a士b13解得a1, 4a+b=8, 1b=4. (2)由(1)知y=x2+4,把(6，m)代入y=x2+4,得m =62+4=40. 把(n,20)代入y=x2+4,得20=n2十4，解得n=士4. 8.D9.y=3x2-210.y=-2x2+4 11.-4<y≤4 12.D【解析】A.由一次函数的图象可知a<0,b>0,由 二次函数的图象可知a<0,b<0,故选项A不符合题 意；B.由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函 数的图象可知a<0,b<0,故选项B不符合题意： C.由一次函数的图象可知a>0,b<0,由二次函数的 图象可知a>0,b>0,故选项C不符合题意；D.由一 次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的图象可 知a>0,b>0,故选项D符合题意 13.1+√2【解析】，O是BC边的中点， 设OB=0cC-号C=a,且u>0 在正方形ABCD中，DC=BC=2a,DC⊥BC, ∴.点D的坐标为(-2a,-a). D(-2a,-a)在抛物线y=-2x上， 1 六.-a=-2(-2a)， 1 解得a,=2a:=0(不合题意，舍去)， :0C=2 1 设正方形CEFG的边长为b,且b>0, ..CE=EF=6, 0E=0c+(cE=号+b, 六点F的坐标为6，-号-) ?点F6,号一6)在粒物线y=上， 1 .一2 -b=- 解得b=1十√2（负值已舍去）， 即正方形CEFG的边长为1十√2. 14.解：(1)< (2)二次函数y=2x2十m的图象经过点(0，一4)， ∴.m=-4, .y=2x2-4. 由题意，得四边形ABCD为正方形，抛物线和正方形 都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， .OD=OC,BC=CD,S徐色=S形OE. 设点B的坐标为(n,2n)(n>0). ,点B在二次函数y=2x°一4的图象上， .2n=2n2一4，解得n1=2,n2=一1（不合题意，舍 去)， 点B的坐标为(2,4)， ∴.S徐色=S矩形0E=2X4=8. 15.解：(1)如图所示 (2)由题意，得点A(x,y)的“关联 点”为A,(x,y-x). 由点A(x,y)在函数y=x2的图象 上，可得A(x,x2), A1(x,x2-x). 又，A,(x,x2一x)在函数y=x2一2的图象上， x2-x=x2-2,解得x=2. 将x=2代入A(x,x2-x),得A,(2,2). (3)由题意可知，点A(x,y)的“待定关联点”为A2(x,x -nx). :点A2(x,x2一nx)在函数y=x2一n的图象上， ,∴.x2-n.x=x2n, ∴.n一nx=0,即n(1-x)=0. 又n≠0， ∴.x=1, 点A2的坐标为(1,1-n). 第3课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 1.D 2.B【解析】当a>0时，二次函数图象的开口向上，一次 函数图象经过第一、第三象限，排除D选项；当a<0 时，二次函数图象的开口向下，一次函数图象经过第 二、第四象限，排除A选项：当a>0,c>0时，二次函 数图象的顶点在x轴的负半轴上，一次函数图象经过 第一、第二、第三象限，排除C选项. 一◆一题多解法 A.由一次函数的图象，知a>0,c>0,由二次函 数的图象，知a<0,c<0,故A选项不符合题 意；B.由一次函数的图象，知a<0,c>0,由二 次函数的图象，知a<0,c>0,故B选项符合题 意；C.由一次函数的图象，知a>0,c<0,由二 次函数的图象，知a>0,c>0,故C选项不符合 题意：D.由一次函数的图象，知a<0,c>0,由 二次函数的图象，知a>0,c<0,故D选项不符 合题意. 3.解：(1)，抛物线y=-3(x-2)的对称轴为直线x= 2,抛物线的开口向下， .当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x<2. (2)当x=0时，y=-3×(0-2)2=-12, .抛物线y=一3(x一2)与y轴的交点坐标为(0， -12) 4.A 5.2(答案不唯一)【解析】.y=a(x-m)(a<0), .该抛物线的开口向下，对称轴为直线x=m.当p=q -1+3 时，m= =1. 2 p<q,.m>1. 6.(1)10(2)75 7.解：(1)该二次函数的大致图象如图所示. 0 (2)-5x4 (3)0 (4)若h<2,则在x的取值范围内，y随x的增大而 减小， .-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去. 若2≤h≤5，则当x=h时，y取最大值，最大值为0，不 符合题意. 若h>5,则在x的取值范围内，y随x的增大而增大， ∴.-(5-h)2=-1,解得h1=4(舍去)，h2=6. 综上所述，若函数的最大值为一1，则h的值为1或6. 【解析】(2)：抛物线y=一x2十4的开口向下，.当x =0时，y取最大值，最大值为4. 当x=-1时，y=3;当x=3时，y=-5. 综上所述，当一1≤x≤3时，函数值y的取值范围是 -5≤x≤4. (3):抛物线y=一（x一3)的开口向下，对称轴为直 线x=3,2≤x≤5， .当x=3时，y取最大值，最大值为0. 第4课时二次函数y=a(x一h)2+k 和y=a.x2十bx十c的图象与性质 1.D2.B3.A4.y=-3(x-1)2-25.C 6.一2【解析】把抛物线y=x2一2x一3配方，得y=(x 一1)2一4，将其向左平移2个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到的抛物线的表达式为y=(x一1十2) -4+1=(x十1)2-3=x2+2x-2,∴.y=x2+bx十c =x2十2x-2,∴.c=-2. 变式题A 7.D 8.C【解析】抛物线经过点（一1,0），(3,0)， .y=a(x+1)(x-3)=a.x2-2ax-3a, ∴.b=-2a,c=-3a, .bc=6a2>0,.选项A说法不正确： ,a十b+c=一4a,且抛物线开口向上， ∴.a十b+c<0,∴.选项B说法不正确； ,-2a=b,∴.2a十b=0,∴.选项C说法正确； 3 、、3b=·《—24)3之 3 2b+c=-3a+(-3a)=-6a<0,心选项D说法 不正确 9.1或12日 【解析】由题意，得二次函数图象开口向 上，对称轴为直线x=1. 上册详解详析 37Λ ①当受>1，即m>2时， 有（受）-2×受+m-1=-1. ∴.m=0(舍去) ②当智≤<1<m+1,即0≤m≤2时，有1-2+m-1= -1, m=1. ③当m+1<1,即m<0时，有(m+1)2-2(m+1)+ m-1=-1, .m2+m-1=0, m,=1- 5m:=15(含去. 2 2 综上所述，m=1或1 2 10.2或-厄 【解析】由题意，得二次函数图象开口 向上， 对称轴为直线x= 2k一k, 分三种情况讨论： ①当一k<一1，即k>1时， 一1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， .当x=一1时，y取最小值，y最小值=（一1)2+2k· (-1)+1=-1, 6=是 ②当-1≤-k≤2，即-2≤k≤1时， 对称轴在一1≤x≤2内. 此时函数在一1≤x≤一k内，y随x的增大而减小， 在一k≤x≤2内，y随x的增大而增大， ∴.当x=一k时，y取最小值，y最小值=（一k)2十2k· (-k)+1=-1, 解得k1=√2，k2=一√2. ,-2≤k≤1， k=-2 ③当一k>2,即k<一2时， 一1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y取最小值，y最小值=22十2k·2十1= -1, 3 六k=-2(舍去). 综上所述，女的值可能是或-厄. 11.解：如图，设抛物线y=一3(x十m) 十k的顶点为C.将抛物线向左平移， 使顶点C落在y轴上的点C'处，点 A,B分别对应点A',B',则平移后的 抛物线的表达式为y=一3.x2+k A?OB AB=4, A'B=4, OB'=2,即点B'的坐标为(2,0).把x=2,y=0代 38 九年级数学BS版 入y=-3x2十k,得0=-3×22+k, .k=12. ◆一题多解法 由题意，得A(-m-2,0),B(-m十2,0). 将(-m-2,0)代入y=-3(x十m)2+k,得0= -3(-m-2十m)2+k, .k=12. 12.解：(1)将B(3,0)代入抛物线y=一x2十x十3，得0= -32十3m十3，解得m=2, y=-x+2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线的顶点坐标为(1,4). (2)如图，连接BC,交抛物线的对称 轴l于点P,则此时PA十PC的值 最小. 由(1)可得，点C的坐标为(0,3). 设直线BC的表达式为y'=kx十b. 将C(0,3),B(3,0)代入y'=kx+b,得 10=3k十b, k=-1, 解得 3=b, b=3, .直线BC的表达式为y=-x+3. :抛物线的对称轴为直线x=1, 且当x=1时，y'=-1+3=2, .当PA十PC的值最小时，点P的坐标为(1,2). 重点强化专题二次函数的图象与性质 1.D2.D3.B 4.解：(1)0 (2)如图所示. 1 3 23 -2 (3)示例：函数的图象关于y轴对称；当x>1时，y随 x的增大而增大. 5.y1<ys<y2 变式题1D变式题2B6.C 7.B【解析】，二次函数y=ax2-2a.x+3=a(x一1)2 -a+3(a>0), .该函数图象开口向上，对称轴是直线x=1.当x=1 时，该函数取得最小值，最小值为3一a. 当0≤x≤m时，3-a≤y≤3，当y=3时，x=2或x =0,.1≤m≤2. 8.解：(1)x1=1,y1=y2, .M(x1,y1),N(x2,y2)关于直线x=t对称. :=1+2=1,=21-1. 2 (2)t≤-2或t≥1【解析】(2)：M(x1,y1),N(x2, y2)是抛物线y=ax2十bx十c(a>0)上任意两点， .把点M(x1y1),N(x2,y2)的坐标分别代入y=a.x