5.1认识二次函数（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.1 认识二次函数 章节导读 节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来清凉。你是否注意到喷泉水流所经过的路线?在观看篮球比赛时，你是否注意到球入的路线?它们会与某种函数有联系吗? 本章将在一次函数的基础上继续认识二次函数，你将体会二次函数的意义，描绘二次函数的图象，发现二次函数的性质，利用二次函数解决一些实际问题，进一步发展抽象能力、几何直观、模型观念等，不断增强应用意识。 学 习 目 标 1.通过用二次函数刻画实际问题中变量与常量之间关系的过程，抽象出二次函数的概念并能举例说明一个函数是不是二次函数;（重点） 2.理解二次函数的一般形式，能将具有二次函数关系的式子表示成一般形式; 3.能够表示简单变量之间的二次函数关系.（难点） 情境引入 1.我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数. 2.我们学过哪些函数？ 本节课我们将再学习一种新的函数． 一次函数 y=kx+b (k≠0) (正比例函数) y=kx (k≠0) b=0 新知探究 探究一：二次函数的定义 问题：某果园有100棵橙子树,每棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 变量：果园橙子的总产量、果园增种的橙子树的棵数、平均每棵树结的橙子数； 自变量：果园增种的橙子树的棵数，因变量是果园橙子的总产量。 新知探究 (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子. y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000. ∵x是增种橙子树的棵数， ∴， ∴0≤x<120,且x为整数. 新知探究 (1)某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月的利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值? (1)5月的利润为20(1+x)万元，6月的利润为20(1+x)2万元， 所以y=20(1+x)2=20x2+40x+2，其中x>0. 新知探究 (2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?如果设这个矩形的一条边长为xcm，面积为ycm2，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值? (2)矩形的一条边长为xcm，那么与其相邻的另一条边长为(20-x)cm,当矩形为正方形时，其边长为10cm，面积是100cm2; 当矩形的相邻两边长分别是15cm和5cm时，面积是75cm2; 还有很多其他可能。 矩形的面积y与其一边长x的关系式为y=x(20-x)，即y= -x2+20x(0<x<20). 新知探究 (3)两数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值? 解：设其中一个数是x，则另一个数为20-x. ∴y=x(20-x)=-x2+20x x取任意实数。 新知探究 形如这样的函数叫做二次函数. ①这些式子都是最高次数为2的函数； ②表达式右边都是关于x的整式． 你能类比一次函数，给出二次函数的定义吗？ 观察由上述问题得到的关系式：y=-5x²+100x+60000，y=20x²+40x+20，y=-x2+20x，它们有什么共同特征？与同伴进行交流. 新知探究 知识归纳 二次函数的定义： 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c (a,b,c是常数，a≠ 0)的形式，那么称y是x的二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 新知探究 二次函数的一般式： 知识归纳 任何一个二次函数的表达式都可化成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式，因此，把y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫作二次函数的一般式. 注意：二次项系数、一次项系数、常数项均是在二次函数表达式是一般式的前提下确定的. 除此之外，二次函数除有一般式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式,如 等. 新知探究 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝4x2﹣(2x+1)2 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t﹣1 D．y=x2+ 解析：A.y＝4x2﹣(2x+1)2＝4x2﹣(4x2+4x+1)＝-4x-1，是一次函数；B.y＝ax2+bx+c中a的取值不确定，可能为0，因此不一定是二次函数；C.s＝2t2﹣2t﹣1，是整式，a＝2≠0，一定为二次函数； D.y=x2+，含有分式，不是整式，因此不是二次函数. C 新知探究 ①整理后函数表达式的两边都是整式； ②化简整理后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不等于0. 三者缺一不可. 二次函数的判断方法： 方法归纳 新知探究 (2)观察由上述问题得到的函数中自变量的取值： y=-5x²+100x+60000(0≤x<120,且x为整数)， y=20x²+40x+20(x>0)， y=-x2+20x(x取任意实数). 你有什么发现？ 二次函数的自变量的取值范围是全体实数. (1)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠ 0)中，自变量x可以取哪些值？ 新知探究 二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)中,自变量x的取值范围是全体实数； 但在实际问题中，二次函数自变量的取值范围需按实际意义（如长度为正、人数为整数等）限定。 二次函数自变量的取值范围： 知识归纳 例 小李家用 40 m长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园，如图所示。 (1)写出这块菜园的面积y(m2)与垂直于墙的边长x(m)之间的函数关系式; (2)直接写出x的取值范围。 新知探究 探究二：根据实际问题列二次函数关系式 解:(1)∵垂直于墙的边长为xm， ∴平行于墙的边长为(40-2x)m, ∴菜园的面积y=x(40-2x)， 即 y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x. (2)0<x<20. 新知探究 知识归纳 (1)审清题意,找出实际问题中的已知量、变量,将文字语言、图形语言转化为数学符号语言; (2)找出等量关系,找到已知量和变量间的关系,并用等式表示; (3)列函数关系式,设出表示变量的字母,把等量关系用含字母的代数式表示,并将关系式写成用自变量表示因变量的形式. 由实际问题列二次函数关系式的步骤 新知探究 2.用长为 20 m 的篱笆围成一个矩形，设矩形的一边长为 x m，面积为 S m²，则 S 关于 x 的函数表达式及自变量的取值范围是（　　） A．S=x(20−x)（0<x<20）　　B．S=−x2+10x（0<x<10） C．S=x2−10x（0<x<10）　　 D．S=−x2+20x（0<x<20） B 典例分析 已知函数 y=(m+3)−2x+5 是关于x的二次函数，求m的值，并写出这个二次函数的表达式． 例1 解:由二次函数的定义，得 m2−7=2，且 m+3≠ 0． 由 m2=9，得 m=3 或 m=−3． 又因为 m+3≠ 0，即 m≠ −3，所以 m=3． 此时二次项系数为 m+3=6， 所以该二次函数为 y=6x2−2x+5． 典例分析 如图，有一块长20cm、宽16cm的矩形铁皮，在它的四个角上各剪去一个边长为xcm 的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子． (1)求盒子底面的面积 S(m²)与x之间的函数表达式，并化成一般形式； (2)写出自变量x的取值范围； (3)当x=3时，求盒子底面的面积． 例2 解:(1)剪去四角后,底面的长为(20−2x)cm， 宽为(16−2x)cm， 所以S=(20−2x)(16−2x)=320−40x−32x+4x2 =4x2−72x+320． (2)由 x>0，20−2x>0，16−2x>0， 解得 0<x<8． (3)当x=3时，S=4×32−72×3+320=36−216+320=140(cm²)． 巩固练习 1.下列函数中，是二次函数的是（     ） A．y=3x+1 B．y=x2−1 C．y=x(x−2)−x2 D．y=x3+x2−1 B 2.关于x的二次函数的解析式是y＝-2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，-4，-1 B．-2，4，1 C．2，-4，1 D．-2，4，-1 B 3.若函数y＝xm﹣1﹣x+2是二次函数，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 D 巩固练习 4.下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（　　） A．圆的周长与圆的半径之间的关系 B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系 C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系 D．正方体的表面积与棱长的关系 D 5.两个正方形的周长之和是24cm，其中一个正方形的边长为xcm．若以两个正方形面积之和y(cm2)为函数，其中一个正方形的边长x(cm)为自变量，它们的关系式是（    ） A．y=x2+(24−x)2 B．y=x2+(24−4x)2 C．y=x2+(6−x)2 D．y=x2+(6−4x)2 C 6.下列函数中，一定是二次函数的是 (填序号). 巩固练习 ③⑤⑦ 7.二次函数 y=−2x2+4x−1 的二次项系数是＿＿，一次项系数是＿＿，常数项是＿＿． -2 4 -1 巩固练习 8．若函数 y=(m−1)+4x−3 是关于x的二次函数，则m= ＿＿． 9．在二次函数y=ax²+bx+c中，若 a=1，b=−4，c=3，则该函数的表达式为＿＿＿＿＿＿＿；当 x=2 时，y= ＿＿＿． 10．半径为 r cm 的圆，半径增加 2 cm 后，新圆的面积 S（cm²）与 r 之间的函数表达式为＿＿＿＿＿＿＿． 11．某物体自由下落时，下落高度 h（m）与下落时间 t（s）近似满足 h=5t2，则当 t=3 s 时，物体下落的高度为＿＿＿ m. -1 y=x2−4x+3 -1 S=π(r+2)2 45 巩固练习 12.已知函数 y=(m2−m)x2+(m−1)x+3． （1）当 m 取什么值时，它是关于 x 的二次函数？ （2）当 m 取什么值时，它是关于 x 的一次函数？ 解：（1）当它是二次函数时，需 m2−m≠ 0， 即 m(m−1)≠ 0，所以 m≠ 0 且 m≠ 1． （2）当它是一次函数时，需二次项系数为0且一次项系数不为 0， 即 m2−m=0 且 m−1≠ 0． 由 m(m−1)=0 得 m=0 或 m=1； 又 m≠ 1，所以 m=0． 此时 y=−x+3，确为一次函数． 13.如图，用一段长为 24 m 的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 x m，花圃面积为 S m²． （1）求 S 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x=5 时，求花圃的面积． 巩固练习 解：（1）因为垂直于墙的两边长都是 x m， 所以平行于墙的一边长为 (24−2x) m． 所以 S=x(24−2x)=−2x2+24x． 由 x>0 且 24−2x>0，解得 0<x<12． 即 S=−2x2+24x（0<x<12）． （2）当 x=5 时，S=−2×52+24× 5=−50+120=70（m²）． 一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠ 0)的形式,那么称y是x的二次函数. 课堂小结 认识二次函数 定 义 根据实际问题列二次函数关系式 y=ax²+bx+c(a，b，c是常数,a≠0)叫作二次函数的一般式. (1)审清题意; (2)找出等量关系; (3)列函数关系式. 作业布置 1.必做题：习题5.1第1~3题。 2.探究性作业：习题5.1第4题。 感谢聆听! $