第三章 问题解决活动：利用相似三角形测高-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

☆问题解决活动：利用相似三角形测高 课内基础闯关 思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如 图，点A,B,Q在同一水平线上，∠ABC和 知识点①利用阳光下的影子测高 ∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D, 1.古代数学文化《孙子算经》中有首歌谣：“今 测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m, 有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺，别立 则树高PQ= m. 一表，长一尺五寸，影得五寸.问：竿长几 B 何？”意思是有一根竹竿不知道有多长，量出 它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根 一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，则竹 竿的长为(1丈=10尺，1尺=10寸)( A.五丈 B四丈五尺 第3题图 第4题图 C.一丈 D.五尺 4.如图，小明同学用木棍制成的Rt△DEF测量 2.一题多解法小宇同学想利用树影测量校园 旗杆的高度AB.他调整自己的位置，使斜边 内的树高.如图①，他在某一时刻测得小树 DE保持与地面AC平行，直角边DF与点B 的高AB为1.5m,其影长AC为2m.如图 在同一条直线上.已知DF=2m,EF= ②，当他测量教学楼旁的一棵大树DE影长 1.5m,斜边DE离地面的高度DC=1.5m, 时，因大树靠近教学楼，有一部分影子FG在 AC=14m,则旗杆的高度AB m. 墙上.经测量，地面部分影长DF为8m,墙 知识点③利用镜子的反射测高 上影长FG为3m.求这棵大树的高， 5.情境应用如右图，数学活 动课上，为测量学校旗杆高 度，小菲同学在脚下水平放 置一面平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜 和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在 图① 图② 镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离 地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的 水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为 10m,求旗杆的高度. 知识点②用工具测高 3.古代数学文化《周髀算经》中记载了“偃矩 以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直 角的曲尺（图中的ABC).“偃矩以望高”的意 70 九年级数学BS版 巴课外拓展提高 【活动探究】 6.某数学兴趣小组测量校园内 (2)观察小军的操作后，小 一棵树的高度，采用以下方 明提出了一个测量广告牌 法：如右图，把支架(EF)放B月 高度的做法（如图②)：他 Bb B E2E D 在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F 让小军站在点D处不动， 图② 处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E 将镜子移动至E,处，小军恰好通过镜子看 处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰 到广告牌顶端G,测出DE1=2m;再将镜子 好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别 移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的 底端A,测出DE2=3.4m.经测得，小军的 测量BF,DF,EF,观测者目高(CD)的长，利 眼睛离地面的距离CD=1.7m,BD=10m. 用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知 求这个广告牌AG的高度. CD⊥BD于点D,EF⊥BD于点F,AB⊥BD 于点B,BF=6m,DF=2m,EF=0.5m,CD =1.7m,求这棵树的高度(AB的长). 已综合能力提升 7.跨物理学科【问题背景】 (1)由光的反射定律可知， 知识要点归纳 反射角等于入射角（如图 1.利用阳光下的影子测高：同一时刻的太阳光 ①，∠CEF=∠AEF).小 图① 下， 被测物体的高度参照物的高度 军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点 被测物体的影长参照物的影长 E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在 2.利用标杆测高：由于人、标杆及被测物体均与 地面垂直，因此三者平行，可构造相似三角形 点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶 3.利用镜子的反射测高：由于入射角等于反射 端A.经测得，小军的眼睛晴离地面的距离CD 角，人与被测物体都与地面垂直，因此可构造相 =1.7m,BE=20m,DE=2m.求建筑物 似三角形. AB的高度. 上册第三章(-2 5.解：(1)如图所示，△A'B'C‘即为所求 (2)如图所示，△A"B"℃”即为所求. (3)由(1)知，△ABC≌△A'B'C', ∴.S△Argc=S△A=3.5. 由(2)知，△ABC'∽△ABC,且相似比为， -(- 又：S△Agc=3.5, .SA'We=4S N'We=4X3.5=14. 6.解：分以下两种情况讨论： ①如图①，连接HD并延长交x轴于点P,则点P为 位似中心 ,四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(1,2)， 点D的坐标为(3,2) .DC∥HG .∠PCD=∠PGH,∠PDC=∠PHG, .△PCD∽△PGH, G-6册80+g- OP+3 2 解得OP=3, ∴.正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标 是(-3,0) 图① 图② ②如图②，连接CE,DF交于点Q. 由题意，得C(3,0),E(5,4),D(3,2),F(5,0). 易求出直线DF的表达式为y=一x+5,直线CE的 表达式为y=2.x-6. 11 联立y=x十5， x=31 解得 y=2x-6, 4 y=3' ∴点Q的坐标为（侣，营》： 正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标 是（告》 综上所述，正方形ABCD与正方形EFGH的位似中 心的坐标为(-30)或（得，）。 32 九年级数学BS版 7.解：(1)位似中心与对应点的连线之比等于相似比 (2(6,2) 4.5 (3)如图，矩形HIJP即为所求 0 OB 【解析】(2)“OB =1.5,且点B(4,3), ∴.点B'的横坐标为1.5×4=6，纵坐标为3×1.5= 5B6号》又：- A'B' AB =(1.5)2, ∴.S△Agc=2×2.25=4.5. ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1.B 2.解：如图①，过点G作GM⊥ED于点M, .∠EMG=90°.结合题意可得，四边形 E DFGM为矩形，∠B=∠E,∠A=90°， ∴.MD=GF,MG=DF,△ABC ∽△MEG, 部瓷品号Bw-6m… m1.52 图① ∴.ED=EM+MD=6+3=9(m). 故这棵大树的高是9m. 一题多解法 如图②，延长EG,DF交于点H 由题意可得，△ABC∽△DEH∽△FGH, AB AC AB AC ·GF=FH'EDDH 品解得FH=4m .∴.DH=DF+FH=8+4=12 图② (m). AB_AC EDDH' 品品D=9m 2 故这棵大树的高是9m. 3.64.12 5.解：如图，AB⊥BD,DE ⊥BD, .∠ABC=∠EDC=90°. ,∠ACB=∠ECD, ,∴.△ABC∽△EDC, 0品品品 m1.62 ∴.DE=8m. 故旗杆DE的高度为8m. 6.解：过点E作水平线交AB于点G,交CD于点H, 如图. ,DB是水平线，CD,EF,AB都 是BD的垂线， .'DH=EF=GB=0.5 m.EH= DF=2 m,EG=BF=6 m,.'CH H D =CD-DH=1.7-0.5=1.2(m). 根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH =∠AEG, ∴.△CHE∽△AGE, 器器 即号-忌AG-86m ∴.AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(m). 7.解：(1)：'∠CEF=∠AEF,AB⊥BD,FE⊥BD,CD ⊥BD, ∴∠AEB=∠CED,∠B=∠D=90°， △ABEO△CDE÷B是 'CD=1.7 m,BE=20 m,DE=2 m, ÷0号AB=17m (2)GB⊥BD,CD⊥BD,.∠B=∠D=90° ∠GE1B=∠CE1D,△GBE,∽△CDE1, 能品 .'DE =2 m,BD=10 m, .BE1=BD-DE1=10-2=8(m). C0=1.1B-16B=-68m ∠AE,B=∠CE,D, AB CD △ABE,∽△CDE:BE,-DE ,DE2=3.4m,BD=10m, ∴BE2=BD-DE2=10-3.4=6.6(m). .cD1.fm..m .AG=GB-AB=6.8-3.3=3.5(m). 章末对点导练 1B2号 3.2√5-4【解析】：C是靠近点B的黄金分割点，AB =2,AC=5AB=521×2=5-1. 2 2 :D是靠近点A的黄金分割点， DB-5,1AB=5,1x2=5-1. 2 2 .CD=AC+BD-AB=2×(W5-1)-2=25-4. 4C【银折：ABDE小瓷-0即是-2， ,363 ∴.CE=60cm, ∴.AE=AC+CE=36+60=96(cm). 5.6 6.D【解析】：D,E分别是边BC,AB的中点，DE是 △ABC的中位线，DE∥AC,.△BDE∽△BCA, 小二=（肥）=(》广=：△DEB的面积为 SABCA 3,.△ABC的面积为12. 72 【解析】如图，作CH⊥AD,交AD的延长线 于点H. .∠DAC=45°， ∴.△ACH是等腰直角三角形， .∴.AH=CH D- H .:∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠AHC=90. :∠ADB=∠CDH, ∴.△ADB△HDC, .AD BD ·HDCD .BD=2CD=4, .BD=4,CD=2 0-音-2 ..AD=2DH. 设DH=x,则AD=2x,AH=CH=3.x. .DH+CH2=CD2 ∴x2+(3x)2=2, 解得：=（负值已舍去）， 5 AD=2x=210 51 8.解：(1)证明：，AD平分∠BAC,AF平分∠EAD, ∴.∠BAC=2∠BAD,∠EAD=2∠BAD, ∴.∠BAC=∠EAD. 又：福-A把△AED△AC (2)由(1)知，△AEDp△ABC,∴.∠B=∠E. 又∠EFA=∠BFD,∠EAB=∠EDB. ∠EAB=∠BAD,.∠EDB=∠BAD. 又：∠B=∠B,.△BDFn△BAD.BA=BD' BD BF .AB-BD:39 BF=2=2 9.C【解析】由题意，得AB∥MN,AE∥OF,AB∥CD, .四边形ABOE是平行四边形，∴.AE=OB=6cm. AE∥OF,∴.∠CAE=∠COF,∠CEA=∠CFO, ∴△cAB0△c0r.-F0-8-是 AOA-2 AB//CD.∠OAB=∠OCD,∠OB =∠0C.△oAB△00D.÷0-800 CD=13.5cm. 2 10.6.5【解析】，DE=120cm=1.2m,EF=50cm= 上册详解详析 33Λ