第三章 图形的相似 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

∴.c-2=0,即c=2. 将c=2代入④，得t-4t十4=0， 解得t1=t2=2, .a=b=2, .a=b=c. 第三章学业质量自我评价 1.D2.B3.B 4.C【解析】，'△ABC∽△ODC,且AB=3OD,∴.AC= 3OC.:点A的坐标为(-2,0)，∴.OA=2,∴.AC=OA +OC=2+OC,.2+OC=3OC,∴OC=1,∴.点C的 坐标为(1,0). 5.C【解析】由题意可知，AB∥EF∥CD,∴∠A=∠D, ∠ABO=∠DCO,.△OABn△ODC, ..AB:DC=BF:CE. .'CD=0.9 m,BF=2 m,CE=1 m, .AB:0.9=2:1, ∴.AB=1.8m. 6.A【解析】：△DAB∽△DCA, 部0即与D四. 6 BD 解得BD=4, a-8-告-号AC-8AB .AC2=AB(AB+BC), :(受AB)=AB(AB+5 70 解得AB=4,∴AB=BD. 如图，过点B作BH⊥AD于点H, 5AH=2AD=3. ∴BH=√AB-AH=√4-3=√7 AD=3AP,AD=6,∴.AP=2. 当PQ⊥AB时，PQ的值最小， ∴.∠AQP=∠AHB=90°. 又∠PAQ=∠BAH,.△APQ∽△ABH, 品号-90-g ”47 效0的提小值是竖 8.(6-25)9.四10.5-1 2 1.专 【解析】如图所示， 延长BE交AC于点F,过 点D作DG⊥BE于点G. D :∠BED=60°，∴.∠FEC=∠DEB=60. ,∠ACD=30°，∴.∠CFE=180°-∠ACD-∠FEC =90°， ∴.BF⊥AC 又DG⊥BE,.DG∥AF, BG BD :△BDGD△BAF,BF-BA, BD 1.BG BD 1 AD=3BD.ABBF-AB4 :CD=4,点E是CD的中点， CE=7CD=2. 在R△CEF中，∠FCE=30,EF=号EC=1. 在Rt△DEG中，∠EDG=∠FCE=30°，∴.GE= DE-1.IXG-/DE--B, ∴.FG=2EF=2. 、BF-2-1 ·==,解得BF3··BC了=B分 2 G3二2=3 在R△DBG中，DB=VG+BC=√B)+() =3缸 3 AB-4DB-3T. 4 12.12或16或21【解析】，等边三角形ABC的边长为 7 cm, ∴∠B=∠C=60°，BC=7cm. BD BP 若△BDP∽△CPE,则CP=CE, 2BP=3cm或BP=4cm, 6 BP ·7-BP 3 4 1=0.2512或1=0.25=16. 若△BDP∽△CEP, 0即…g-7p BP 21 ·BP=21 4 -4cm1=0.25=21. 综上所述，t的值为12或16或21. 13解：0号-音- 2 4 x=3y=3y, :2-2y+-3x号-2+音-青 44 y (2)证明：由折叠的性质，得MN垂直平分AC, .∠COM=90°. 在矩形ABCD中，∠B=90°， .∠COM=∠B. 又，∠MCO=∠ACB, ∴.△COMp△CBA. 14.证明：AD·AB=AE·AC, 裙福 上册详解详析 71△ 又：∠A=∠A,.△ACD∽△ABE,∠B=∠C .DF∥BE,.∠ADF=∠B, ∠ADF=∠C, .△ADF∽△ACD. 15.解：BE=2AE=24, .AE=12. ,四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°. :点E落在BD上时，另外两个顶点恰好分别与点 A,B重合， .∠AEB=∠AED=90°， ∠ABE=∠DAE=90°-∠BAE, 1224 &△AEBO△DEA,05-E.DEDB =6, .BD=BE+DE=24+6=30. 16.解：(1)如图①，△CDE即为所求 A 图① 图② (2)如图②，点M即为所求， 17.解：(1)如图，过点C作CE⊥AB,垂足为E. 由题意，得CD=BE=l.6m,CE=BD=8m,∠ACE =45°， .△ACE是等腰直角三角形，AE=CE=8m, ,.AB=AE+BE=8+1.6=9.6(m). 故灯杆AB的高为9.6m. (2)由题意，得CD=EF=2m,DF=7.6m. :∠CDG=∠B=90°，∠CGD=∠AGB, .△CDG∽△ABG, 0-瓷后+0 2 ∠EFH=∠B=90°，∠H=∠H, .△EFH∽△ABH, 器品即品+D 3 3 1+BD3+7.6+BD1 2 1 BD=3.8mAB1+3.8 .AB=9.6m.故灯杆AB的高为9.6m. 18.证明：(1)AB=AC,∴.∠B=∠C. ∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°- ∠DEF-∠DEB,∠DEF=∠B, .∠BDE=∠CEF,∴.△BDE∽△CEF. 72 九年级数学BS版 (2:△BDB△CEF.÷8eP :E是BC的中点，∴.BE=CE, 器器需保 CE CF I∠DEF=∠B=∠C, .△DEF∽△ECF, .∠DFE=∠EFC,∴.FE平分∠DFC. 19.解：(1)①2②1.8或2.5 (2)相似.理由如下： 按题意画图，如图，连接CD,与 EF交于点O. ,CD是Rt△ABC的中线，，CD=DB= AB, .∠DCB=∠B. 由折叠知，∠COF=∠DOF=90°， ∴.∠DCB+∠CFE=90°. :∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A. ∠FCE=∠ACB,∴△CEF∽△CBA. 20.解：(1)由题意得EF∥AB,CG⊥EF,CH⊥AB, ∴.△CEF∽△CAB, 9腮 .'CG 20 cm=0.2 m,CH 13 m,EF 22 cm =0.22m, 器 .AB=14.3m 故旗杆的高度为14.3m. (2)示意图如图. E B 需要测量的量：①人眼离地面的高度DE;②人与平 面镜的水平距离CE:③旗杆底部与平面镜的水平距 离BC. 21.解：(1)OA·BD=OB·AC成立，理由如下： :AC∥BD, .∠OAC=∠OBD,∠OCA=∠ODB,∴.△OAC ∽△OBD, ÷90AS0A·BD=0B·AC. (20号 ②·PM∥BC,∠ABC=60°， ∴.∠BMP=180°-∠ABC=120°，∠AMP=∠ABC =60°. 由旋转的性质可得EF=BE,∠BEF=120°， .∠BEG=∠PMB. :∠EBG+∠EGB=180°-∠BEG=60°，∠EBG+ ∠MBP=∠ABC=60°， ∠EGB=∠MBP,.△EGBn△MBP,GE BM MP =EB' BM EG MP BE' .BE=EF=2FG...EG=EF+FG=3FG. BM EG 3 ·MP=BE=2 ,四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC, ∴.△ABC是等边三角形，∠BAC=60°， ∴.△AMP是等边三角形，.AM=MP, 六AB=BC=AM+BM=号MP, .'∠AMP=∠ABC,∠BAC=∠MAP, △AMP△ABC.÷S=()广=（号） SAABC 4 22.解：(1)相似.理由如下：，四边形PEVF是矩形， .PF∥l,PE∥MN.:DQ⊥PQ,∴.DQ∥PF, .∠CPR=∠PDQ.AD⊥I,AD∥BC,PF∥L, ∴.BR⊥PF,.∠CRP=∠PQD=90°，∴△PDQ ∽△CPR. (2)①如图，延长CR交直线l于点G,则点B到地面 L的距离即为BC+CR+RG的长.四边形PENF 是矩形，∴.∠FPE=∠PEG=90°.由(1)得BR⊥ PF,∴.∠PRG=90°，∴.四边形PEGR是矩形，.RG =PE..PE=1.16 m,CR=1.44 m,BC=AD= 1m,.BG=BC+CR+RG=BC+CR+PE=1+ 1.44+1.16=3.6(m). 故点B到地面1的距离为3.6m. E G ②道闸长AB=4m,设PC=xm,则DP=(4一x)m. 由)知△PDQn△CPR器品：点D距地 面0.2m,PE=1.16m,CR=1.44m,.PQ=PE- 1.44 x QE=1.16-0.2=0.96(m)心0.964=x,解得x =2.4,.PC=2.4m. 23.解：(1)在Rt△ABC中 :∠ACB=90°，AC=8,BC=6, .AB=10. .CD⊥AB c AC-AB CD. CD-6X8 10 =4.8,即线段CD的长为4.8. (2)设CQ=t,DP=t,则CP=4.8-t. ①如图①，当PQ⊥CD时，△QCP∽△ABC, 识-记即6-18解得-8 图① 图② ②如图②，当PQ⊥AC时，△PCQ∽△ABC, 器器。 =6,解得1=1,8. 综上所述，当t为3或1.8时，△CPQ与△ABC 相似. (3)①若CQ=CP,如图③，则t=4.8-t,解得 t=2.4. 图③ 图④ 图⑤ ②若PQ=PC,如图④，过点P作PH⊥QC于点H, .QH-CH-7QC- 易证△CHPP△BCA, 0蛋 144 0,解得1=5 ③若QC=QP,如图⑤，过点Q作QE⊥CP,垂足为 E.CE-EP-PC2.4- 易证△QEC∽△ACB, 需器 1 2.4-21 6 品解得器 综上所述，当：为24或或行时，△CPQ为等腰 三角形. 期中学业质量自我评价 1.D2.D3.A4.B5.A 6.C【解析】延长CB至点M,使BM=DH,连接AM, 如图所示 G E 上册详解详析 73△九年级数学BS版上册 第三章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.若a:b=c:d,则下列各式成立的是 A.a:d=c:b B.b:d=c:a C.atb_c-d D后-+后+d≠0) 2.下面四组线段中，成比例的是 A.a=2,b=3,c=4,d=5 B.a=1,b=2,c=2,d=4 C.a=4,b=6,c=8,d=10 D.a=√2，b=√3，c=3,d=√3 3.如图，在菱形ABCD中，点M,N在AC上，ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM =2,ME=3,则AN的长是 A.3 B.4 C.5 D.6 D 0 B A C 图① 图②1 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABCp△ODC,且AB=3OD.若点A的坐标为 (一2,0)，则点C的坐标为 () A.(0,1) B(o,) C.(1,0) D.(.0) 5.图①是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图②是其示意图，其中物距BF= 2m,像距CE=1m.若像的高度CD是0.9m,则物体的高度AB为() A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.2.4m 6.如图，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC2=AB(AB+BC), 且△DABD△DCA.若AD=3AP,Q是线段AB上的动点， 则PQ的最小值是 () 号 Q 2 C c 8 第6题图 0.6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若=2 号-子则 8.经检测，在播音台的黄金分割点处播音，效果最佳.某播音台AB长4m,此时主 播恰在A处，至少向B走 m,播音效果最佳 9.已知5十c_a+_a十也=k(a十6十c≠0)，那么函数y=x十k的图象一定不 a b c 经过第 象限 10.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.折叠该矩形纸片，使AB落在边AD上， 点B的对应点为F,折痕为AE,展平后连接EF;继续折叠该纸片，使FD落在 4444 155 边FE上，点D的对应点为H,折痕为FG,展平后连接HG.若矩形HECG∽ 矩形ABCD,AD=1,则CD的长为 B E D 第10题图 第11题图 第12题图 11.(2025一2026深圳宝安区检测)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且 AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE.若∠ACD=30°，∠BED= 60°，且CD=4,则AB的长为 12.（2025一2026吉安检测)如图，等边三角形ABC的边长为7cm,BD=6cm,CE =2cm,P为BC边上的动点，以0.25cm/s的速度从B点向C点运动.假设P 点运动时间为ts,当t= 时，△BDP与△CPE相似. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 1B1已知吃=名-子求3二y+的值 y (2)如下图，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点A,C重合，直线MN交AC 于点O.求证：△COM∽△CBA. /M 14.如下图，点D,E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O.若AD·AB =AE·AC,DF∥BE,求证：△ADF∽△ACD B 15.如图①，直角尺是机械行业中检验工件垂直度的常用工具.如图②，在矩形 ABCD中，直角尺的顶点G在CD上滑动，当点E落在BD上时，另外两个顶 点恰好分别与点A,B重合.若BE=2AE=24,求BD的长. 图① 图② 16.(2025一2026杭州育华中学检测)请在6×6的方格纸中，按下列要求画出格点 三角形（顶点均在格点上），保留画图痕迹，不写画法. (1)在图①中画出一个以点C为位似中心，且与△ABC位似的△CDE(相似比 不为1). (②)在图@中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M,使得A州 CM 1 2 ad1 图① 图② 17.佳佳分别用下列方法测量灯杆AB的高： B DG F 图① 图② (1)测角仪法：将高为1.6m的测角仪CD放在距灯杆AB底部8m的点D处， 在点C处测得点A的仰角为45°，如图①所示.求灯杆AB的高. (2)影子法：如图②，将高为2m的木杆CD放在灯杆AB前，测得其影长DG= 1m,再将木杆CD沿射线BD方向移动7.6m到EF位置，测得其影长FH= 3m.求灯杆AB的高. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB边上，点E,F分别在BC,AC边上， ∠DEF=∠B. (1)求证：△BDE∽△CEF. (2)在图②中，当E为BC的中点时，求证：FE平分∠DFC B 图① 图② 114111 156 19.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C,使点C落在斜边AB上的某一点 D处，折痕为EF(点E,F分别在边AC,BC上). (1)若△CEF与△ABC相似. ①当AC=BC=2时，AD的长为 ②当AC=3,BC=4时，AD的长为 (2)当D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由. 20.(2025一2026揭阳揭西期末)综合与实践 【项目主题】运用所学的数学和物理知识，测量学校旗杆的高度， 【项目实施】下面是第一小组设计的方案和测量的数据： 测量工具 一把标尺，一根皮尺 (C处为人眼的位置，EF为标尺，AB为旗杆) A 示意图 H 手举标尺EF,让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或眼睛与标尺的 距离，使标尺刚好挡住旗杆的高度(C,E,A在同一条直线上，C,F,B在 同一条直线上) 测量方案 测量的量： ①人与标尺的水平距离CG: ②人与旗杆的水平距离CH; ③标尺的长度EF 数据记录①CG=20cm,②CH=13m,③EF=22cm (1)任务一：根据第一小组的方案和数据，计算学校旗杆的高度. (2)任务二：第二小组准备的工具是平面镜和一根皮尺，他们的测量方案为将 平面镜（点C)水平放置在操场地面上，调整人的位置到点E处，使得人眼（点 D)在平面镜中央处恰好能看到旗杆AB的顶端（点A).请你帮他们画出示意 图，并说明需要测量的量（无须计算）. 157 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.(2025一2026九江浔阳区检测)(1)如图①，已知AB,CD相交于点O,且AC∥ BD.OA·BD=OB·AC成立吗？为什么？ (2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，H为AD上一点，连接BH,交AC 于点P ①若AH:HD=3:2,则ミAe ②过点P作PM∥BC,点E在线段BP上，将线段BE绕点E逆时针旋转120° 得到线段EF,延长EF交BC于点G,若BE=2FG,AB=10,求S吧的值， D D 图① 图② 22.如图所示的是某小区入口处安装的汽车出入道闸示意图.如图①，道闸关闭 时，四边形ABCD是矩形，BC落在MV上.如图②，在道闸打开的过程中，边 AD固定，AD⊥直线1，连杆AB,CD分别绕点A,D转动，且边BC始终与边 AD平行，P为CD上的一点（不与点C,D重合），过点P作PE⊥直线l,PF ⊥MN,垂足分别为E,F,即四边形PENF是矩形，过点D作DQ⊥PE,垂足 为Q,延长BC与PF相交于点R. (1)△PDQ与△CPR相似吗？请判断并说明理由. (2)若道闸AB=4m,AD=1m,点D距地面0.2m,PE=1.16m,RF= 0.8m,CR=1.44m. ①求点B到地面的距离： ②求PC的长. E 图① 图② 六、解答题（本大题共12分） 23.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P 从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运 动，两点同时出发，均每秒运动1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停 止运动.设运动时间为1s. A (1)求线段CD的长. (2)当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？ (3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？ 114111 158