第三章 4 相似三角形的性质-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

4 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中特殊线段的性质 色课内基础闯关 的高度为36cm,那么它在 45 cm 知识点① 相似三角形对应高、角平分线、中 暗盒中所成的像CD的高 度应为 ( ) 线的比的性质 A.16 cm B.8 cm 20 cm 1若△ABC△DEF,相似比为，则对应高 第5题图 C.24 cm D.4cm 的比为 6.情境应用如下图，一条小河的两岸有一段 A.3:2 B.3:5 C.9:4 D.4:9 是平行的，在河的一岸每隔6m有一棵树， 2.已知两个相似三角形的对应边之比为2：3， 在河的对岸每隔60m有一根电线杆，在有 则它们的对应角平分线之比为 ( 树的一岸离岸边30m处可以看到对岸相邻 A.3:2 B.9:4 C.2:3 D.6:9 的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并 且在这两棵树之间还有三棵树.求河的 变式题如图，在△ABC中， 宽度 EF∥BC,AH⊥BC于点H, 交EF于点G.若AE=1,BE 树Y过树 =2,则下列式子中错误的是 变式题图 B 电线杆 电线杆 ( ) A.CF=2AF B.BC=3EF AGA女 D.AG 2GH 3.如图，在△ABC中，点D,E 分别在AB,AC上，AF平分 ∠BAC,交DE于点G.若 B D 第3题图 AE=3,EC=1,AD=2,BD =4,则AG与AF的比为 A.2:5B.1:2 C.1:3 D.3:5 4.两个相似三角形的相似比为年，其中较小三 易错点弄不清两个相似三角形的对应线 角形某一条边上的中线长为3，则较大三角 段的比 形对应边上的中线长为 7.已知△ABC)△DEF,若△ABC与 知识点②相似三角形对应高、角平分线、中 3 线的比的应用 △DEF的相似比为，则△DEF与 5.跨物理学科如图所示的是小孔成像原理的 △ABC对应中线的比为 示意图.根据图中标注的尺寸，如果物体AB 上册第三章 61 已课外拓展提高 已综合能力提升 8.(教材变式)两个相似三角形一组对应高的 11.几何直观如下图，△ABC为锐角三角形， 长分别为3cm和4.5cm.在这两个三角形 AD是BC边上的高，正方形EFGH的一 的一组对应角平分线中，若较短的角平分线 边FG在BC上，顶点E,H分别在AB,AC 的长为4cm,则较长的角平分线的长为 上.已知BC=40cm,AD=30cm. ( (1)求证：△AEH∽△ABC A.6 cm B.7 cm C.8cm D.9 cm (2)求这个正方形的边长与周长. 9.如图，E,F分别为AC,BC (3)若四边形EFGH是矩形，且EH= 的中点，D是边EC上的一 2EF,则EH的长为 点，且BC2=AC·DC.若A2 E D AC=6,BC=4.2,DF=2, 第9题图 则BE的长为 10.分类讨论思想在△ABC中，AB=2AC, D为AC上的一点，且DC-号AC.在AB 所在的直线上取一点E,得到△ADE与 △ABC相似.设DE,BC的中点分别为 M,N.若AN=12,求AM的长. 知识要点归纳 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比 对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 42 九年级数学BS版 第2课时 相似三角形周长和面积的性质 课内基础闯关 知识点② 相似三角形的面积比 知识点①相似三角形的周长比 5.若两个相似三角形的相似比是3，则这两个 1.已知△ABC与△DEF相似，且相似比为3， 相似三角形的面积比是 ) A.1:3 B.1:4 则△ABC与△DEF的周长之比是( C.1:6 D.1:9 A.1:1 B.1:3 6.如图，在△ABC中，D,E分别为线段BC, C.1:6 D.1:9 BA的中点.设△ABC的面积为S1,△EBD 变式题若两个相似三角形周长的比为 的面积为S,则5 1:4,则这两个三角形对应边的比是 1 ( A.2 B.4 C. D. A.1:2 B.1:4C.1:8 D.1:16 2.△ABC的三边长分别为2,3,4，另有一个与 它相似的△DEF,其最长边为12，则△DEF D 第6题图 第7题图 的周长是 7.如图，△ABC∽△ADE,S△ABC：S四边形BDEC A.54 B.36 C.27 D.21 =4:5,其中BC=2,则DE的长为 3.（教材变式)如图，在△ABC 中，AB=2,AC=3,AD为 △ABC的角平分线，点E是 变式题如下图，D,E分别是△ABC的边 AD上一点，且∠ABE=∠C, AB,BC上的点，且DE∥AC,AE,CD相 第3题图 则△ABE与△ACD的周长比为 交于点O.若S△D0E:SAc0A=1:25,求 4.如下图，在△ABC中，D,E分别是边AB, S△BDE与S△cDE的比. AC上的点，且DE∥BC.若△ADE与 △ABC的周长之比为2：3，AD=4,求DB B E 的长 上册第三章 63 已课外拓展提高 【特例感知】(1)如图①，已知边长为2的等 8.如图，在△ABC中，D,E分别 边三角形ABC的重心为点O,求△OBC与 是边AC,AB的中点.BD与 △ABC的面积 CE交于点O,连接DE.有下列 【性质探究】(2)如图②，已知△ABC的重心 结论：①OE·OB=OD·OC; 第8题图 C△pEo=1,®S△oE= 为点0，请判断08是吞都为定值， ②CA 4: S△oE=1 SADBE 并说明理由。 其中正确的有 【性质应用】(3)如图③，在正方形ABCD A.4个B.3个 C.2个 D.1个 中，点E是CD的中点，连接BE交对角线 9.如下图，已知正方形纸片ABCD的边长为 AC于点M. 2,将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD ①若正方形ABCD的边长为4，则EM的 上的点P处（点P与点C,D不重合），折痕 长为 为EF,折叠后AB边落在PQ的位置，PQ 与BC交于点G.当点P位于CD中点时， ②若S△cME=1,则正方形ABCD的面积为 △PCG与△EDP周长的比是多少？ B 已综合能力提升 10.项目式学习【阅读材料】三角形的三条中 线必交于一点，这个交点称为三角形的 重心 知识要点归纳 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长比 等于相似比，面积比等于相似比的平方。 图① 图② 64 九年级数学BS版在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， AB AC ABAC AC 正明：设点=AC=k,则AB=kA'B',AC=AC 在Rt△ABC和Rt△A'BC中， BC V√AB-ACz √RAB-k2ACF BC√JAB-AC7 三k, VAB-AC ∴0-AS-BCR△ABCR△ABC 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中特殊线段的性质 1.A2.C变式题C 3.B【解析】，AE=3,CE=1,AD=2,BD=4, ..AC=4,AB=6,..AE AB=AD:AC=1:2. 又：∠BAC=∠EAD,∴.△ABC∽△AED. :AF为△ABC中∠BAC的平分线，AG为△AED中 ∠EAD的平分线， ..AG:AF=AD AC=1:2. 4.125.A 6.解：如图，过点A作AF⊥BC于点F,交DE于点H. .DE∥BC, .AH⊥DE,∠ADE= ∠ABC,∠AED=∠ACB, 树Yy ∴.△ADE△ABC, .AH_DE ·AF=BC 电线杆 电线杆 由题意可得，AH=30m,DE=24m,BC=60m, 3024 六30+HF-60HF=45m. 故河的宽度为45m. 7号8A99 10.解：分两种情况讨论： ①当△AED△ABC时，如图①，△AED与△ABC AD 3AC 1 的相似比为AC=AC3 由相似三角形对应中线的比等于相似比，得A 3,AM= 3AN=3 ×12=4. 图① 图② ②当△AEDc∽△ACB时，如图②，△AED与△ACB -AC AD 3 2 的相似比为AB 1 3 AM 由相似三角形对应中线的比等于相似比，得AN 号iAM=号AN=号X12=8 综上所述，AM的长为4或8. 11.解：(1)证明：：四边形EFGH是正方形， ∴.EH∥BC, ∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C, ∴.△AEH∽△ABC. (2)如图，设AD与EH交于点M, 由题意可得，AM为△AEH的高. :∠EFD=∠FEM=∠FDM =90°， ∴.四边形EFDM是矩形， ∴.EF=DM. B FD 设正方形EFGH的边长为x,则DM=x,AM=30 一x. ,△AEHD△ABC, 小股0即看-00解得四 30 7 正方形EFGH的边长为2cm,周长为4×120 120 7 48 7(cm). (3)24cm 第2课时相似三角形周长和面积的性质 1.B变式题B 2C【解折1：△ABC与△DEF相似，小C C△AC= 12 ·.2+3十41.C△=27 C△DEF 3.2:3 4.解：DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ,∴.△ADE∽△ABC. ,△ADE与△ABC的周长之比为2：3， .∴.AD:AB=2:3. :AD=4,AB=6, .DB=AB-AD=2. 5.D6.B 7.3【解析】：S△AC:S四边形BDB=4:5,,S△AC: S△ADe=4:9.△ABCD△ADE,.S△Ae:S△ADE= (8E)-着Bc=DE=8 变式题解：，DE∥AC, ∴.∠BDE=∠BAC,∠EDO=∠ACO. ,∠DOE=∠COA,.△DOE∽△COA DE 1 :SAE:Samm=1:25心CA=5 .∠BDE=∠BAC,∠B=∠B, .△BDE∽△BAC, .BE DE 1.BE 1 小BC=AC=5EC=4 :△BDE与△CDE同高， 上册详解详析 29△ SABDE SACDE BE EC=1:4. 8.A【解析】D,E分别是边AC,AB的中点，∴.DE= 2 BC,DE//BC. 1 .∠OED=∠OCB,∠ODE=∠OBC, △DB0o△B0.8E-80-0-2 、C吧=，Am=(B) :.OE·0B=0D·0C,CAm=2'SAo /DE12 -子故①②③正确： OB=2OD,∴BD=3OD,即 OD 1 S△DoE BD 3 SADBE 1 3,故④正确.综上所述，正确的有4个 9.解：如图，：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠C=∠D=90°， .∠1+∠3=90. 由折叠可知，∠EPQ=∠A=90°， .∠1+∠2=90°， B F .∠2=∠3，∴△PCG∽△EDP 设ED=x,则AE=2一x. 由折叠可知，EP=AE=2-x. 当P是CD中点时，DP=PC=1. ∠D=90°，∴.ED2+DP2=EP2, 3 即+1=(2-)解得x。,ED= :△PCG∽△EDP心ED-3=3' PC 1 4 4 △PCG与△EDP周长的比为4：3. 10.解：(1)连接DE,如图①. .点O是△ABC的重心， .AD,BE分别是BC,AC边上的中线， ∴D,E分别为BC,AC的中点， .DE为△ABC的中位线， DE/AB,DE=号AB. .△ODE△OAB, 器脂 AB=2,BD=1,∠ADB=90°， AD=3, 0D=3 BC·AD2×3 =√5， 2 BC·OD √3 .S△OBc 2 2 3 图① 图②2 430 九年级数学BS版 OD 1 (2)都是定值.由1)同理可得OA=2,是定值. 80 OD 1 AD=3 S△oDc_1 =3,同理可得3一了 :SAoRC=SAOBD十S△oe,SAALC=S△ABD十S△ADc, 8w25 ②12 【解析】(3)①如图②，连接BD交AC于点O. :点O为BD的中点，点E为CD的中点， 点M是△BCD的重心， 器 :E为CD的中点， ∴CE=2CD=2, .BE=√BC2+CE=25, 25 EM-3 BE- 31 ME 1 ②：SACME=1,且BM2' .S△BMe=2. 器 .S△AMB=4, ∴.S△ABC=S△BMK十S△ABM=2+4=6. 又：S△ADc=S△AC,∴.S△Ax=6, .正方形ABCD的面积为6+6=12. 解题技巧专题证比例式或等积式的技巧 1.证明：(1)BD=2AD,CE=2AE, AD AE 1 AB-3AD.AC-3AE,B-AC-3 又.∠A=∠A,,.△ADE△ABC. (2).△ADE∽△ABC, .∠ADE=∠ABC,.∴.DE∥BC. ∴.∠DEF=∠CBF,∠EDF=∠BCF, DF EF .△DEF∽△CBF,CF=BF' 即DF·BF=EF·CF. 2.证明：如图，连接PM,PN. ,MN是AP的垂直平分线， ..MA=MP,NA=NP, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. ,△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=∠1+∠3=60°，