第三章 3 相似三角形判定定理的证明-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

3 相似三角形判定定理的证明 第1课时 平行线分线段成比例 已课内基础闯关 知识点② 平行线分线段成比例的基本事 知识点① 平行线分线段成比例的基本事实 实的推论 4.如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC, 1.如图，已知直线AB∥CD∥EF,下列结论中， AB于点D,E,EF∥AC交BC于点F.若 不成立的是 A68册 B.AC_CE AE BE 2,BF=8,则DE的长为 BD DF C.CE DE AE BD D.BFAC B 第4题图 变式题图 第1题图 第2题图 2.(2025一2026深圳龙岗区检测)如图所示的 变式题如图，在△ABC中，点D,E,F分 是一架人字梯的侧面示意图.已知AB∥CD 别在AB,AC,BC上，DE∥BC,EF∥AB //EF,AC 50 cm,CE 30 cm,BD 若AB=8,BD=3,BF=4,则FC的长为 45cm,则DF的长为 A.27 cm B.50 cm C.72 cm D.80 cm 5.一题多解法如下图，E为AC的中点，点F 3.(2025一2026佛山顺德区检测)如图，AD∥ 在AB上，且AF:AB=2:5,FE与BC的 BE∥CF,直线a,b与这三条平行线分别交 延长线相交于点D水邵的食。 于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,BC= 5,EF=4,则DF的长为 第3题图 2 A. 12 6 C.2 D. 5 58 九年级数学BS版 已课外拓展提高 色综合能力提升 6.如图，直线11∥儿2∥l3,等腰直角三角形ABC 9.几何直观如下图，在Rt△ABC中，∠C 的三个顶点A,B,C分别在直线11，l2,l3 90°，AB=10,BC=6.点P从点A出发，沿 上，∠ACB=90°，AC交12于点D.若l1与 A→B→C向终点C运动，在AB上每秒运 12之间的距离为1,11与l3之间的距离为4， 动5个单位长度，在BC上每秒运动3个单 则AD的长为 位长度.点Q从点C出发，沿CA方向每秒 运动专个单位长度.P,Q两点同时出发，当 B h 点P停止时，点Q也随之停止.设点P运动 第6题图 的时间为ts A c (1)求线段AQ的长（用含t的 D.5 代数式表示) 7.分类讨论思想在△ABC中，AB=6,AC= (2)当PQ与△ABC的一边平 9,点D在边AB所在的直线上，且AD=2, Q 行时，求t的值. 过点D作DE∥BC交边AC所在的直线于 点E,则CE的长为 8.如下图，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE1 CD,垂足为E,过点E作EF∥BC,交AC于点 F,G为BC的中点，连接FG.求证：FG= B 1 知识要点归纳 1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被 一组平行线所截，所得的对应线段成比侧 2.平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行 于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对 应线段成比例 上册第三章 59 第2课时 相似三角形判定定理的证明 课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点相似三角形的判定定理 4.学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两 1.（2025一2026枣庄市中区检测)如图，在 个直角三角形全等的条件所获得的经验，继 △ABC中，∠C=80°，AC=4,BC=6.将 续探索两个直角三角形相似的条件。 △ABC沿图中的虚线剪开，按照下面四种 (1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角 方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的 对应相等，或两直角边对应相等，两个直角 是 三角形全等.”类似地，你可以得到“满足 ,或 ,两个直角三角形相似”. (2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个 第1题图 直角三角形全等.”类似地，你可以得到“满 A.①②③ B.①②④ 足 C.①② D.④ 的两个直角三角形相似”.请结合所给图形， 2.如图，在矩形ABCD中，E 写出已知，并完成证明过程 是边AD上的任一点，连接 已知：如下图， BE,过点E作BE的垂线 第2题图 交BC的延长线于点F,交 CD于点P,则图中共有 对相似三 求证：Rt△ABCORt△A'B'C', 角形 3.如下图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF 于点E,FG⊥AB,交AB的延长线于点G, 连接BF. (1)求证：△DAE∽△EGF. (2)不添加辅助线，添加一个关于角的条件， 使△DAE≌△EGF,这个条件可以是 (写出一种情况即可). 知识要点归纳 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已 有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基 本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通 过作平行线构造相似三角形；依据基本图形对图 形进行分解、组合；作辅助线构造相似三角形，判 定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要 综合运用 60 九年级数学Bs版BD=AC-62AB号2+1=52 2 2 解得x=√5+2，即AB=√5+2. 3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 1.D2.A 3A【解折I:AD/BE/CFC AB=3,BC=5,EF=4, DE=AB·EF=3X4_12 BC 551 32 &DF=DE+EF三号十4E3 4号 【解析】DE∥BC,EF∥AC,.四边形DEFC是 、FCAE 平行四边形，.DE=FC.EF∥AC,心BF=BE 景：BF=8S-号FC-DE=PC 8 空式题号【解标I:DE∥BC,EF∥AB AD AE'AE-BFAD-BEAB-8.BD-3,BE- CE EC FC.BD FC AD=5号一解得FC-号 、3FC 5.解：如图①，过点E作EG∥BC交AB 于点G. :E为AC的中点，EG∥BC, .∴.AG=BG. 设AF=2k,则AB=5k,AG=BG=B C 1 图① 2k.FG=AG-AF-2k, .FG:BG=1:5. 又：EG∥BDED=5 EF 1 ◆一题多解法 如图②，过点A作AH∥BD交DF的延长线于 点H. E是AC的中点，AH∥BD,∴.EH=ED. AF:AB=2:5,AF:FB=2:3, ∴.HF:FD=AF:FB=2:3. 设HF=2k,则FD=3k, ∴.DH=5k, H 5 :.DE=EH=2 EF- B 踢 图② 28 九年级数学BS版 6.C7.6或12 8.证明：如图，延长AE交BC于 点H. ,CD平分∠ACB,AE⊥CD, ∴.∠ACE=∠HCE,∠AEC= ∠HEC=90. CE=CE. ∴.△ACE≌△HCE(ASA), .AE-HE-2AH. 1 :EF∥BC, 能滑装-日 AC=2AF. F是AC的中点. 又，G是BC的中点， FG是△ABC的中位线， 6=4B 9.解：(1)：∠C=90°，AB=10,BC=6,∴.AC= √AB2-BC=8. c0-. :.AQ-AC-CQ-8-3/. 4 AP AQ (2)①当PQ∥BC时·AB=AC 8-3 ,解得1=1.5： CP CQ ②当PQ∥AB时，CBCA' :6-31-2)3 6 =8,解得1=3. 综上所述，当PQ与△ABC的一边平行时，t的值为 1.5或3. 第2课时相似三角形判定定理的证明 1.A 2.6【解析】，四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠ABC =∠D=∠DCB=90°，.∠PCF=90°. IBE⊥EF,∴.∠BEF=90°，∴.∠ABE+∠AEB= ∠AEB+∠DEP=90°，∴.∠ABE=∠DEP. AD∥BC,.∠DEP=∠F,∴∠ABE=∠DEP= ∠F,∴.△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP, ∴共有6对相似三角形. 3.解：(1)证明：由题意知∠FGE=∠EAD=∠DEF =90°， ∴.∠AED+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°， ∴.∠AED=∠EFG, .△DAEO△EGF. (2)∠FBG=45°（答案不唯一） 4.解：(1)一个锐角对应相等两直角边对应成比例 (2)斜边和一条直角边对应成比例 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， AB AC ABAC AC 正明：设点=AC=k,则AB=kA'B',AC=AC 在Rt△ABC和Rt△A'BC中， BC V√AB-ACz √RAB-k2ACF BC√JAB-AC7 三k, VAB-AC ∴0-AS-BCR△ABCR△ABC 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中特殊线段的性质 1.A2.C变式题C 3.B【解析】，AE=3,CE=1,AD=2,BD=4, ..AC=4,AB=6,..AE AB=AD:AC=1:2. 又：∠BAC=∠EAD,∴.△ABC∽△AED. :AF为△ABC中∠BAC的平分线，AG为△AED中 ∠EAD的平分线， ..AG:AF=AD AC=1:2. 4.125.A 6.解：如图，过点A作AF⊥BC于点F,交DE于点H. .DE∥BC, .AH⊥DE,∠ADE= ∠ABC,∠AED=∠ACB, 树Yy ∴.△ADE△ABC, .AH_DE ·AF=BC 电线杆 电线杆 由题意可得，AH=30m,DE=24m,BC=60m, 3024 六30+HF-60HF=45m. 故河的宽度为45m. 7号8A99 10.解：分两种情况讨论： ①当△AED△ABC时，如图①，△AED与△ABC AD 3AC 1 的相似比为AC=AC3 由相似三角形对应中线的比等于相似比，得A 3,AM= 3AN=3 ×12=4. 图① 图② ②当△AEDc∽△ACB时，如图②，△AED与△ACB -AC AD 3 2 的相似比为AB 1 3 AM 由相似三角形对应中线的比等于相似比，得AN 号iAM=号AN=号X12=8 综上所述，AM的长为4或8. 11.解：(1)证明：：四边形EFGH是正方形， ∴.EH∥BC, ∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C, ∴.△AEH∽△ABC. (2)如图，设AD与EH交于点M, 由题意可得，AM为△AEH的高. :∠EFD=∠FEM=∠FDM =90°， ∴.四边形EFDM是矩形， ∴.EF=DM. B FD 设正方形EFGH的边长为x,则DM=x,AM=30 一x. ,△AEHD△ABC, 小股0即看-00解得四 30 7 正方形EFGH的边长为2cm,周长为4×120 120 7 48 7(cm). (3)24cm 第2课时相似三角形周长和面积的性质 1.B变式题B 2C【解折1：△ABC与△DEF相似，小C C△AC= 12 ·.2+3十41.C△=27 C△DEF 3.2:3 4.解：DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ,∴.△ADE∽△ABC. ,△ADE与△ABC的周长之比为2：3， .∴.AD:AB=2:3. :AD=4,AB=6, .DB=AB-AD=2. 5.D6.B 7.3【解析】：S△AC:S四边形BDB=4:5,,S△AC: S△ADe=4:9.△ABCD△ADE,.S△Ae:S△ADE= (8E)-着Bc=DE=8 变式题解：，DE∥AC, ∴.∠BDE=∠BAC,∠EDO=∠ACO. ,∠DOE=∠COA,.△DOE∽△COA DE 1 :SAE:Samm=1:25心CA=5 .∠BDE=∠BAC,∠B=∠B, .△BDE∽△BAC, .BE DE 1.BE 1 小BC=AC=5EC=4 :△BDE与△CDE同高， 上册详解详析 29△