第三章 2 探索三角形相似的条件&模型构建专题 巧用“基本模型“探索相似的条件-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

四边形ABEF是菱形， ∴.BF平分∠ABC. (2),四边形ABEF为菱形， .BE=EF=AB=6. AB BC ,四边形ABCD四边形CEFD,. CE EF ,即 6 BC BC-66, 解得BC=3+3√5（负值已舍去）， .BC=3+35. 第3课时 等比性质 1.C2.2 AB BC CD DA 4 3.解：“AB=BC=CD=DA=7' AB+BC+CD+DA 4 “AB+BC+CD+DA=7 ,四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD 24cm, 24 4 六A'B+B'C牛CD+DA=7' .A'B'+B'C'+C'D+A'D'=42cm, ∴.四边形A'B'C'D'的周长为42cm. ◆一题多解法《 AB BC CD DA 4 “AB=BC =C'D=DA=7 4 7C'D'.AD .AB-4ABBC-7B'CCD= 4 =7A'D, ,四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD =24cm, 4 .AB+BC+CD+AD-7(A'B'+B'C'+C'D' +A'D')=24cm, A'B'+B'C+C'D'+A'D'= 4 ×24=42 (cm), ∴.四边形A'B'C'D'的周长为42cm. 4号 5.解：分两种情况讨论：①当a十b十c≠0时. ..btc_a+c_atb 2(a+b+c2=2, =t a b c a+b+c .t2-21-1=22-2×2-1=-1. ②当a+b+c=0时，b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c, :btc_atc_atb =1=-1 b ∴.t2-21-1=(-1)2-2×(-1)-1=2. 综上所述，t2一2t一1的值为一1或2. 6解：1号--号--6-d≠0 24 九年级数学BS版 .a-c2 …6-d51 e 2 2a+3c-4e2 +3d-4f≠0，心26+3d-4f-5 2探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 1.B2.A3.A变式题D4.A 5.C【解析】·∠ADE=∠C,∠A=∠A, △ADEAACB.÷C-A据即子-S 46 解得AE=3. 6.△ACD和△CBD 2 7.3【解析】：△ABC是等边三角形，∠B=∠C= 60°.∠APC=∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD, ∠B=∠APD=60°，.∠BAP=∠CPD.∠B= ∠C,-△ABP∽APCD,PC=CD.PC=BC 2 BP3-1=2,AB=3,3=CDCD3 8.解：(1)证明：四边形ABCD为菱形， ∴.∠ACD=∠BCA. ,∠ACD=∠ABE, ∴.∠BCA=∠ABE. ,∠BCA=∠EBA,∠CAB=∠BAE, ∴.△ABC∽△AEB. (2)'△ABC△AEB, AB AC AEAB' AB=6,AC=4, 64 AE=6' .AE=9. 9.4【解析】共有4对相似三角形：△ABC∽△CDA, △ABE∽△GCE,△GDAC∽△GCE,△GDAc∽△ABE. 10.-1【解析】如图，过点A作AG⊥y A↑ 轴，过点C作CF⊥y轴，垂足分别为 G,F. B 由题意知，∠ABG=∠CBF,∠AGB= 10 ∠CFB=90°，'.△AGB∽△CFB, 既需g%a(-2 B(0,1), AG=2:BG=5-1-4.CF-AG-2 F 1-n=2,2m-n=-1. 一m 11.解：(1)证明：：AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠CAB. ∠ADC=∠ACB=90°，.△ADC∽△ACB, ∴.AD:AC=AC:AB,.AC2=AB·AD (2),E为边AB的中点，∠ACB=90°，AB=8,CE 1 1 =AE=2AB=2X8=4,∠EAC=∠ECA. ·∠DAC=∠CAB,.∠DAC=∠ECA. 又∠DFA=∠EFC, △ADFO△CE0P-8是 .6 AF.AC AF+CF 5 AD=64-CF心AF= AF 3 12.解：(1)证明：，∠DPC=∠A=∠B=90°， ∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°， ∴.∠ADP=∠BPC, .△ADP△BPC, 部记 ∴.AD·BC=AP·BP」 (2)结论AD·BC=AP·BP仍然成立.理由： '∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A +∠ADP, .∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP. :∠DPC=∠A=∠B=0, .∠BPC=∠ADP, .△ADP∽△BPC, .AD AP …BP=BC ∴.AD·BC=AP·BP. (3).DC=4BC.AD=BD=5. .DC=4,BC=1,∠A=∠B. 由题意，得AP=t. AB=6, ∴.BP=6-t. 由(1)(2)的结论，可知AD·BC=AP·BP, ∴.5×1=t(6-t),解得t1=1,t2=5, ∴.t的值为1或5. 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 1.C2.∠A=∠A'(答案不唯一)3.89° 4号 ,变式题6或85.26 6.90°【解析】四边形ABCD,ABEF,EFHG都是边 长为1的正方形， ∠1=45，AF=1,AH=2,AC=EAC-5 、AF1 2 AC 2.AF AC 2AH=2 …ACAH 又：∠CAF=∠HAC,∴.△CAF∽△HAC, ∴.∠2=∠ACH,∴.∠2+∠3=∠ACH+∠3=∠1 =45°， ∴.∠1+∠2+∠3=45°+45°=90°. 7.解：该学生的解答不正确. △AOB与△DOC不相似.理由如下： .AD∥BC, ∴.易证△AOD∽△COB, 80 在△AOB和△DOC中，虽然∠AOB=∠DOC,但是 ∠AOB不是OA与OC的夹角，∠DOC也不是OD与 OB的夹角， ∴.△AOB与△DOC不相似. 8.C 9.C【解析】：△ABC是等边三角形，.AB=AC= BC.又D是AC的中点，.BD⊥AC,AD:AC= :2.5=子，AE:AB=114,AEAD 1:2=AD:AB.又∠A=∠A,∴△AED∽ △ADB,∴.∠AED=∠ADB=90°，∠ADE=∠ABD, .∠AED=∠DEB,.△AEDO△DEB.∠A= ∠C=60°，AD：CB=AE：CD=1:2,∴.△AED∽ △CDB.故和△AED相似的三角形有3个， 10.证明：(1)，AD∥BC, ·∠ADE=∠DBC,∠ADC+∠DCB=180. :∠AEB=∠ADC,∠AEB+∠AED=180°， ∠AED=∠DCB, ∴△ADE∽△DBC. (2)由(1)，得△ADE∽△DBC, 8暖. ∴DB·DE=AD·BC. ,CD=AD·BC, .CD=DB·DE, 儡器 又：∠CDE=∠BDC, .∴.△CDEC△BDC, ∠DCE=∠DBC. 又.∠ADB=∠DBC, .∠DCE=∠ADB. 11.解：(1)△EOF与△ABO相似.理由如下： .'t=1,.OE=1.5cm,OF=2cm. .'AB=3 cm,OB=4 cm, .OE 1.5 1 OF 2 1 OE OF 六AB=3=2'BO=4=2BA-BO ,∠EOF=∠ABO=90°，∴.△EOF∽△ABO. (2)根据题意，得OE=1.5tcm,OF=2tcm. .OE OF t AB=3 cm,OB=4 cm,BA-BO :∠EOF=∠ABO=90°，∴.△EOFD△ABO, ∴.∠AOB=∠EFO. ∠AOB+∠FOC=90°，∴.∠EFO+∠FOC=90°， .∠OCF=90°，.EF⊥OA. 故不论1取何值，总有EF⊥OA. 第3课时三边成比例的判定方法 1.C2.B3.2 4.40°5.② 6.解：△AEF与△ECF相似.理由如下： 上册详解详析 25△ 设正方形ABCD的边长为4a. :E是BC的中点，DF=3CF, ..BE=EC=2a,CF=a,DF=3a, .AE=2√5a,EF=√5a,AF=5a, 能黑 =V5,∴.△AEF∽△ECF. 7.解：公路AB与CD平行. 理曲：品器号设-兰号答品 品提 .△ACB∽△BDC, .∠ABC=∠BCD, .AB∥CD. 8.B【解析】由图可知，△ABC的各边长分别为1，√2 √5：△BCD的各边长分别为1，√5,2√J2;△BDE的各 边长分别为2,2√2,25；△BFG的各边长分别为√5， √I0,5;△FGH的各边长分别为√2,2，√I0;△EFK 的各边长分别为√2，√5,3.根据三边成比例的两个三 角形相似可知，与①相似的是③④⑤. 9.证明：1)：DE_DCCE AB AC CB ∴.△DECc∽△ABC, .∠DCE=∠ACB, .∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE, .∠DCA=∠ECB. C器 鉴品 ∠DCA=∠ECB, ∴.△DCA∽△ECB, .∠ADC=∠BEC. ,△DEC∽△ABC, .∠DEC=∠ABC ,∠ABC+∠ADC=180°， .∠DEC+∠BEC=180°， .B,E,D三点共线 CD AC AD 10.解：1)D=A℃=AD ∠A=∠A1 (2)相似.理由如下： 如图，过点D,D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE 交AC于点E,DE'交A'C'于点E'. D B A D :DE∥BC,∴.∠AED=∠ACB,∠ADE=∠B, .△ADE∽△ABC,AB-BC=AC AD DE AE A'D'D'E'AE 同理，AB=BC=AC 26 九年级数学BS版 ..AD_A'D'.DE D'E' DE BC “AB-AB心BC=BC,即DE=BC AE AE 同理，ACAC aCcE4C聚- AC AC 品 CD-ACBC.CD DE EC CD AC-BCCD DE EC ∴.△DCE∽△D'C'E',.∠CED=∠C'E'D'. :DE∥BC,.∠CED+∠ACB=180. 同理，∠C'E'D+∠A'CB'=180°， ∴.∠ACB=∠A'C'B' “AS-CAABCOANBC 模型构建专题巧用“基本模型” 探索相似的条件 1.B 2.6【解析】：CD∥OB,∴∠ADC=∠ABO.∠A= ∠A,∴.△ACD0△AOB.:AC:OC=1:2,AC: AO=1:3.C,D两点纵坐标分别为1,3，∴CD=3 -1=2∴品=方解得0B=6点B的飘坐标 为6. 3.解：1)15 (8E期：福-音号把-名-导能把 又：∠A=∠A, ∴.△ABE∽△ACB. 【解析】(1)AE=4,AC=9, .CE=AC-AE=9-4=5. :AB∥CD,∠ECD=∠A,∠CDE=∠ABE, △CDEo△ABE÷沿是 CD=AB·CE_6X5_15 AE421 4.解：(1)：∠ACB=90°，AB=6√5，BC=6, .AC=√AB-BC=12, ∴.AE=AC-CE=9. :AB∥CD,.∠D=∠ABE,∠DCE=∠A, .CD CE △CDE∽△ABE,AB-AE .CD-AB-CE_6/5X3-2/. AE 9 (2)证明：，∠ACB=90°，CE=3,BC=6, ∴.BE=√CE2+BC=3√5. :△CDE∽△ABE, ÷g-EDE-BECE-后BD-45, AE 器品 :∠D=∠D,.△CDE∽△BDC. 5.A【解析】图中相似三角形共有6对：△ACE∽ △ABD,△BEF∽△CDF,△BEF∽△BDA,△BEF ∽△CEA,△BDA∽△CDF,△CEA∽△CDF, 6.解：AB=12,E为AB的中点AE=2AB=6. ,∠ADE=∠B,∠A=∠A,.△ADE∽△ABC, ÷能8AC=9号-侣解得AD=8 .6_AD .CD=AC-AD=9-8=1. 7.D 8.解：(1)证明：BD平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠ABD. ∠ADB=2∠ABD,∠ADB=∠ABC. 又：∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB. (2):△ABD△ACB, AB AD .∠ABD=∠C,AC=AB1 由题意知∠ABD=∠DBC, ∴.∠C=∠DBC,.BD=DC=2. .DC=2AD=2, .AD=1,∴.AC=AD+DC=3. 是-铝AB-ADAC-8 .AD2=1,DB2=4...AB2+AD2=DB2, ∴.△ABD是直角三角形，∠A=90°. 92 10.解：(1)，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DBC= 30°，在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°， ∴.△ABE∽△CBD,∠DBE=∠CBA,BC=2CD, AB=2AE. 'CB-BD.BE-3 AB BE AB,∴△ABCO△EBD. 品品 AC-23DE. 3 AB (2)在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°， AB=4, .AE=2,∠BAE=60° 延长DE交AB于点F,如图所示. DE⊥AB, ∴.∠BFD=∠DFA=90°， ∴∠AEF=180°-∠DFA-∠BAEB 1 =30,AF-2 AE-1,EF -VAE-AFT- √5，BF=AB-AF=4-1=3. 由1)可得AC-25DE G.DE-3AC-3..DF-DE+EF-23, 在Rt△BFD中，BD=√BF+DF=√3+(23) =√2I. :∠AEB=∠BDC=90°，∠EBA=∠DBC=30°， ∴△ABEn△CBD,∠DBE-∠CBA2铝S。 AB CB E=BD·△ABCn△EBD,·BD-ED 即 BC AC 25c-25×vm=27. 11.解：(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C :∠ADC=∠1+∠EDC=∠B+∠BAD,∠1 =∠B, ∴∠EDC=∠DAB,∴.△DCE∽△ABD. (2'△DCEn△ABD.BD-AB' .CE DC 华-8号则cB-8。 x GE=22-8。子，解得5=64=2 (3)分以下三种情况讨论：①当DA=DE时. ,△DCE∽△ABD,.DC=AB=6,∴.x=8-6=2. ②当DA=AE时，∠1=∠AED. :∠AED=∠C+∠EDC=∠B+∠EDC, 与∠AED=∠1=∠B矛盾， 此种情况不成立. ③当DE=AE时，∠EAD=∠1=∠B=∠C, ÷.△DACD△ABC,AC-BC· DC AC 即8x6 7 °6=8，解得x=2 综上所述，当x=2或2时，△ADE为等腰三角形. 第4课时黄金分割 1.C2.B变式题43.A4.√5-1 55或 2 ,【解析】当MP>NP时，MP= 5-1 2:当MP<NP时·MP=15一1=325，综 2 上所述Mp的长为5或25 6.(5√5-5)【解析】，△ABC是等腰直角三角形，AB =10cm, ∴.AC=AB=10cm. :放D是线段4C的黄金分利点侣= ∴.CD=(5√5-5)cm,则D,C两点之间的距离为 (5√5-5)cm. 7.解：：C,D都是线段AB的黄金分割点， .AC-BD-AB. AD=BC,CD=1,∴.设AB=x, 则AD=BC=I-1 2· 上册详解详析 27△ BD=AC-62AB号2+1=52 2 2 解得x=√5+2，即AB=√5+2. 3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 1.D2.A 3A【解折I:AD/BE/CFC AB=3,BC=5,EF=4, DE=AB·EF=3X4_12 BC 551 32 &DF=DE+EF三号十4E3 4号 【解析】DE∥BC,EF∥AC,.四边形DEFC是 、FCAE 平行四边形，.DE=FC.EF∥AC,心BF=BE 景：BF=8S-号FC-DE=PC 8 空式题号【解标I:DE∥BC,EF∥AB AD AE'AE-BFAD-BEAB-8.BD-3,BE- CE EC FC.BD FC AD=5号一解得FC-号 、3FC 5.解：如图①，过点E作EG∥BC交AB 于点G. :E为AC的中点，EG∥BC, .∴.AG=BG. 设AF=2k,则AB=5k,AG=BG=B C 1 图① 2k.FG=AG-AF-2k, .FG:BG=1:5. 又：EG∥BDED=5 EF 1 ◆一题多解法 如图②，过点A作AH∥BD交DF的延长线于 点H. E是AC的中点，AH∥BD,∴.EH=ED. AF:AB=2:5,AF:FB=2:3, ∴.HF:FD=AF:FB=2:3. 设HF=2k,则FD=3k, ∴.DH=5k, H 5 :.DE=EH=2 EF- B 踢 图② 28 九年级数学BS版 6.C7.6或12 8.证明：如图，延长AE交BC于 点H. ,CD平分∠ACB,AE⊥CD, ∴.∠ACE=∠HCE,∠AEC= ∠HEC=90. CE=CE. ∴.△ACE≌△HCE(ASA), .AE-HE-2AH. 1 :EF∥BC, 能滑装-日 AC=2AF. F是AC的中点. 又，G是BC的中点， FG是△ABC的中位线， 6=4B 9.解：(1)：∠C=90°，AB=10,BC=6,∴.AC= √AB2-BC=8. c0-. :.AQ-AC-CQ-8-3/. 4 AP AQ (2)①当PQ∥BC时·AB=AC 8-3 ,解得1=1.5： CP CQ ②当PQ∥AB时，CBCA' :6-31-2)3 6 =8,解得1=3. 综上所述，当PQ与△ABC的一边平行时，t的值为 1.5或3. 第2课时相似三角形判定定理的证明 1.A 2.6【解析】，四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠ABC =∠D=∠DCB=90°，.∠PCF=90°. IBE⊥EF,∴.∠BEF=90°，∴.∠ABE+∠AEB= ∠AEB+∠DEP=90°，∴.∠ABE=∠DEP. AD∥BC,.∠DEP=∠F,∴∠ABE=∠DEP= ∠F,∴.△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP, ∴共有6对相似三角形. 3.解：(1)证明：由题意知∠FGE=∠EAD=∠DEF =90°， ∴.∠AED+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°， ∴.∠AED=∠EFG, .△DAEO△EGF. (2)∠FBG=45°（答案不唯一） 4.解：(1)一个锐角对应相等两直角边对应成比例 (2)斜边和一条直角边对应成比例2 探索三角形相似的条件 第1课时 两角分别相等的判定方法 已课内基础闯关 5.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上 的点，且∠ADE=∠C.若AD=2,AB=6, 知识点①相似三角形的定义和性质 AC=4,则AE的长是 () 1.下列说法错误的是 A.1 B.2 C.3 D.4 A.两个全等的三角形一定相似 B.两个钝角三角形一定相似 C.两个等边三角形一定相似 D.相似的两个三角形不一定全等 第5题图 第6题图 2.已知△ABC∽△DEF,若AB=1,DE=2, 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ 则△ABC与△DEF的相似比是 AB于点D,则图中与△ABC相似的三角形 A司 c 是 0.2 7.如图，等边三角形ABC的边长 3.(教材变式)如图，△ABC∽△ACP.若∠A 为3，P为BC上一点，且BP =75°，∠APC=65°，则∠B的大小为( 1,D为AC上一点.若∠APD= 160° B P A.40°B.50 C.65 D.75 第7题图 60°，则CD的长为 8.如下图，四边形ABCD为菱形，点E在AC 的延长线上，∠ACD=∠ABE 第3题图 变式题图 (1)求证：△ABC△AEB. (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长. 变式题如图，△ABC∽△ADE,则下列比 例式正确的是 ( AE AD A.BEDC B话-0 AD AD DE AE DE C.AC BC D.AC-BC 知识点② 两角分别相等的两个三角形相似 4.如图所示的三个三角形中，相似的是( 719 665 449 667° ① ② ③ 第4题图 A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和②和③ 48 九年级数学BS版 已课外拓展提高 上点.当∠DPC=∠A=∠B=0时，(1) 9.如图，E是□ABCD的边BC延长线上的 中的结论是否仍然成立？请说明理由 点，AE和CD交于点G,AC是□ABCD的对 (3)请利用(1)(2)获得的结论解决问题：如 角线，则图中相似三角形共有 对. 图③，在△ABD中，AB=6,AD=BD=5, 点P从点A出发，沿边AB向点B每秒运 动1个单位长度.点C在BD上，且满足 ∠CPD=∠A,设点P的运动时间为ts, 当DC=4BC时，求t的值. 第9题图 第10题图 10.跨物理学科如图，一束光线从点A(一2， 5)出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经 过点C(m,n),则2m一n的值是 图① 图② 图③ 11.如下图，在四边形ABCD中，AC平分 ∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°. (1)求证：AC2=AB·AD (2)E是边AB的中点，连接CE,DE,且 DE与AC交于点F.若AD=6,AB=8,求 A AF的值. 知识要点归纳 1.相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比 综合能力提升 例的两个三角形叫作相似三角形 2.相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两 12.推理能力(1)如图①，在四边形ABCD中， 个三角形相似.说明：(1)有一个顶角或底角相等 P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B= 的两个等腰三角形相似；(2)所有的等边三角形 90°.求证：AD·BC=AP·BP. 都相似. (2)如图②，在四边形ABCD中，P为AB 上册第三章 49△ 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 课内基础闯关 5.如图，BD平分∠ABC,且AB=4,BC=6. 知识点用边角的关系判定三角形相似 当BD的长为 时，△ABD 1.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶 ∽△DBC. 点均在格点（小正方形的顶点）上.要使 △ABC△EPD,则点P所在的格点为 ( A.P B.P2 第5题图 第6题图 C.P3 D.P 6.如图所示，三个边长为1的正方形ABCD, ABEF,EFHG拼在一起，则∠1，∠2，∠3 这三个角的度数之和等于 易错点错用判定定理 B 7.老师上完“相似三角形 第1题图 第3题图 的判定”一课后，出了一 AB 2.开放题在△ABC和△A'B'C'中， 道思考题：如右图，在四 B Ac 边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC A'B AC.要使△ABC∽△A'B'C',还需添加一 BD相交于点O,△AOB和△DOC是 个条件，那么这个条件可以是 否相似？请说明理由. 某学生的解答过程： (写出一种情况即可). △AOB△DOC.理由：AD∥BC, 3.如图，在△ABC中，AD=2.4,DB=2.6, AE=3,EC=1,∠A=36°，∠B=55°，则 ·易证△AOD∽△COB,A8-OB ∠ADE的度数为 又.'∠AOB=∠DOC,∴.△AOB 4.分类讨论思想在△ABC中，AB=6,AC= p△DOC. 5,点D在边AB上，且AD=2,点E在边 判断该学生的解答是否正确，并说明 理由. AC上.当AE= 时，以A, D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 变式题在△ABC中，AB=9,AC=12, BC=18,D为AC上-点，DC= 3AC.在 AB上取一点E得△ADE.当DE 时，△ABC与△ADE 相似. 450 九年级数学BS版 已课外拓展提高 综合能力提升 8.在平面直角坐标系中，已知点A(一2,0)， 11.几何直观如下图，已知∠MON=90°，A是 B(0,4),C(0,3),过点C作直线交x轴于点 ∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON, D,使得以D,O,C为顶点的三角形与 垂足为B,AB=3cm,OB=4cm.动点E, △AOB相似.这样的直线最多可以作 F同时从点O出发，点E以1.5cm/s的速 ( 度沿ON方向运动，点F以2cm/s的速度 A.2条 B.3条 沿OM方向运动，EF与OA交于点C,连 C.4条 D.6条 接AE,当点E到达点B时，点F随之停止 9.如图，在等边三角形ABC中， 运动.设运动时间为ts(t>0). AE 1 (1)当t=1时，△EOF与△ABO是否相 D为AC的中点，EB=3,连 似？请说明理由。 接BD,则和△AED(不包含 B (2)在运动过程中，不论t取何值，总有EF △AED)相似的三角形有 第9题图 ⊥OA,为什么？ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥ BC,连接BD,E为BD上一点，且∠AEB =∠ADC. (1)求证：△ADE∽△DBC. (2)连接EC,若CD2=AD·BC,求证： ∠DCE=∠ADB. 知识要点归纳 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似。 上册第三章 51 第3课时 三边成比例的判定方法 课内基础闯关 6.如下图，正方形ABCD中，E是BC的中点， 知识点用边的关系判定三角形相似 DF=3CF.△AEF与△ECF是否相似？请 1.(教材变式)如图，在4×4的正方形网格中有 说明理由， 下列三角形，其中是相似三角形的是 ( ① ② ③ (④ 第1题图 A.①与② B.②与③ C.①与③ D.②与④ 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6 和8，另一个与它相似的直角三角形的三边 长分别是3,4，x,那么x的值 ( A.有1个 B.有2个 C.有3个 D.有无数个 7.情境应用如下图，某地四个乡镇A,B,C,D 3.在△ABC中，AB=3,AC=4,在△A'B'C1 之间建有公路.已知AB=14km,AC 中，A'B′=8，A'C=6,则当BC:B'C'= 28 km,BC 21 km,BD =42 km,CD 时，△A'B'C'∽△ACB 31.5km,请判断公路AB与CD是否平行， AB 并说明理由. 4.(教材变式)如图，已知 AD BC AC DE =AE,∠BAD=20, 第4题图 ∠DAE=60°，则∠DAC的度 数为 5.在如图所示的象棋棋盘（各个小正方形的边 长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落 在 处，能使“马”“车”“炮”所在位 置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所 在位置的格点构成的三角形相似（填序号）. 相 帅 第5题图 452 九年级数学BS版 已课外拓展提高 1)当0--滑时，可证明 AB 8.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格 △ABC△A'B'C'. 上有6个三角形：①△ABC;②△BCD; 证明的途径可以用下面的框图表示，①处 ③△BDE:④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK. ②~⑥中，与①相似的是 应填 ,②处应 填 AD A'D'AD AB AB A'B'A'D'A'B' F④ ① AC AB AC AB 第8题图 CD △ABCM CDACAB △A'B'C A.②③④ B.③④⑤ △ADC∽△A'D'C② C.④⑤⑥ D.②③⑥ 2当品 AC B 9.几何直观如下图，E是四边形ABCD内一点， AC 7= BC时，判断△ABC DE DC CE 连接AC,EB,EC,ED,满足AB一ACCB 与△A'B'C是否相似，并说明理由 (1)求证：∠DCA=∠ECB. (2)若∠ABC+∠ADC=180°，求证：B,E, D三点共线， 巴综合能力提升 10.过程补充题如下图，在△ABC和△A'B'C 中，D,D分别是AB,A'B'上一点，AR A'D' AB' 知识要点归纳 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三 角形相似。 上册第三章 53△ 模型构建专题 巧用“基本模型”探索相似的条件 模型①A型与X型 4.模型观念如下图，AB/CD,AC与BD交于点 模型解读 E,且∠ACB=90°，AB=6√5，BC=6,CE=3. 主要有两种类型：A型（图①）和X型（图 (1)求CD的长 ②).若DE∥BC,则△ADE△ABC. (2)求证：△CDEp△BDC. 图① 图② 1.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,E为OC的中点，EF∥AB交BC于 点F.若AB=4,则EF的长为 B.1 c D.2 第1题图 第2题图 模型② 斜A型与斜X型 2.如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的 OA边上一点，AC:OC=1:2.过点C作 模型解读 如图，由∠1=∠2，∠BAC=∠DAE,可得 CDOB交AB于点D,C,D两点纵坐标分 △ADEO△ABC. 别为1,3，则点B的纵坐标为 3.如下图，AB∥CD,AC与BD相交于点E,且 AB=6,AE=4,AC=9. (1)CD的长为 图① 图② (2)求证：△ABE△ACB. 5.如图，在△ABC中，CE⊥ AB,垂足为E,BD⊥AC,垂 足为D,CE与BD交于点 F,则图中相似三角形共有 第5题图 A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 454 九年级数学BS版 6.如下图，E为AB的中点，∠ADE=∠B, (2)若DC=2AD=2,求∠A的度数. AB=12,AC=9,求CD的长. 模型③子母型 模型解读 如图①，若∠1=∠C,则△ABD △CBA.如图②，若AC⊥BC,CD⊥AB, 则△ACDP△CBD∽△ABC. D D 模型④ 旋转型 图① 图② 模型解读 7.如图，在△ABC中，P为边AB上一点.下列 如右图，在△ABC中，D,E是 条件中，不能判定△APC与△ACB相似的 边AB,AC上的点，DE∥BC 是 将△ADE绕点A顺时针旋转a A.∠ACP=∠B (0<a<180),得△AD'E',连接BD', B.∠APC=∠ACB CE',则可用结论有①△AD'E'△ABC: C.AC2=AP·AB 第7题图 AC D.AB·CP=BC·AC ②A5AB；®∠DAB=∠EAC 8.(2025一2026成都青羊区检测)如下图，在 ④△D'ABC∽△E'AC. △ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边 于点D,已知∠ADB=2∠ABD, 9.如图，在△ABC与△ADE中，点D在边BC (1)求证：△ABDp△ACB. 上，∠1=∠2=∠3.若AB=4,AD=2,AC =3,则AE的长为 第9题图 上册第三章 55 10.几何直观如图①，已知线段AB,AC,线段 氵 模型⑤ 一线三等角型 AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC, 模型解读 以BC为边在BC上方作Rt△BDC,且 如图，若∠BDC=∠BCA=∠AEC,则 ∠DBC=30°. △BDC∽△CEA. 图① 图② 图① 图② (1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方 11.如下图，在△ABC中，AB=AC=6,BC= 作Rt△BAE,且∠AEB=90°，∠EBA= 8,D是BC边上的一个动点，点E在AC 30°，连接DE,求线段AC与DE的数量 边上，点D在运动过程中始终保持∠1= 关系。 ∠B.设BD的长为x(0<x<8). (2)如图②，在(1)的条件下，若DE⊥AB, (1)求证：△DCE△ABD. AB=4,AC=2,求BC的长. (2)当CE=2时，求x的值. (3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形？ 56 九年级数学B$版 第4课时 黄金分割 课内基础闯关 黄金分割点C处，且 BC5-1 AB 2 .若NP= 知识点①黄金分割的概念 2cm,则BC的长为 cm. 1.(2025一2026杭州校级检测)已知P为线段 AB的黄金分割点，且AP<PB,则( 已课外拓展提高 ----0 A.AP2=AB·PBB.AB2=AP·PB 5.若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割 C.PB2=AP·AB D.AP·BP=AB 点，则MP的长为 2.如图，点C将线段AB分成AC,CB两部分， 且AC>BC.若C是线段AB的黄金分割 6.（2025一2026深圳盐田区 点，AB=2,则BC的长为 期末)在学习了《图形的相 似》之后，同学们利用黄金 A.√5-1 B.3-√5 B 分割原理设计图案.如图， 第6题图 C.25-3 D.5-2 △ABC是以点A为直角顶点的等腰直角三 A C B 角形，点D是线段AC的黄金分割点(DC> 第2题图 变式题图 AD),以点D为直角顶点在△ABC内作等 变式题如图，C是线段AB的黄金分割 腰直角三角形DEC.按此方式继续构造等腰 点，且AC>BC,AC=2,则AB·BC= 直角三角形，可以设计出如图所示的图案. 若AB的长为10cm,则D,C两点之间的距 知识点②黄金分割的应用 离为 cm. 7.如下图，在五角星中，AD=BC,且C,D都 3.情境应用大自然巧夺天工，一片树叶也蕴 是AB的黄金分割点，CD=1.求AB的长， 含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分 割点(AP>PB).如果AB的长度为8cm, 那么BP的长度为 ( A.(12-4√5)cm B.(9-4√5)cm C.(45-4)cm D.(4/5+4)cm 知识要点归纳 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线 第3题图 第4题图 段AC和BC(AC >BC)如果6=C,那么称 4.跨语文学科汉字结构也蕴含着黄金分割的 规律.借助正方形习字格书写的汉字“晋”端 线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的 黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比.黄金比 庄稳重、舒展美观（如图）.已知一条分割线 的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ AC 5-1 AB 2 ≈0.618. 上，且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”在AB的 上册第三章 57