专题 3.12 探索三角形相似的条件【作辅助线构造相似八大方法】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学三角形相似条件的探索，系统梳理作平行线构造A字型与8字型、作垂直线构造一线三直角等八大辅助线构造方法，形成从基础到综合的学习支架，衔接相似判定定理与辅助线技巧，帮助学生逐步掌握构造相似三角形的思路。 该资料以例题为载体，配套变式题强化应用，培养学生几何直观与推理意识。如“作平行线构造A字型”例题结合变式训练，引导学生用数学眼光发现图形关系，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升解决复杂几何问题的能力。

专题 3.12 探索三角形相似的条件【作辅助线构造相似八大方法】 目录 【方法1】作平行线构造A字型与8字型 1 【方法2】作垂直线构造一线三直角 2 【方法3】连接两点构造相似三角形 3 【方法4】作垂直构造相似 4 【方法5】作双垂直构造等角相似 5 【方法6】截长补短构造相似 7 【方法7】延长相交构造相似 8 【方法8】综合作多种辅助线构造相似 10 【方法1】作平行线构造A字型与8字型 【例题1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【变式1】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【变式2】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图所示，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，D为AC中点，M、N分别在AB、BC上，且，MN交BD于点O，求的值． 【方法2】作垂直线构造一线三直角 【例题2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： （1）如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． （2）如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． （3）如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【变式】（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 【方法3】连接两点构造相似三角形 【例题3】（2026·安徽淮南·三模）如图，在Rt中，，，点是边中点，，． （1）当点在线段上，点在线段上，时，的值是_______； （2）当点在射线上，点在射线上，点，不与点，重合，请探究，，之间的数量关系． 【变式1】（2026·四川自贡·三模）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，求正方形的边长． 【方法4】作垂直构造相似 【例题4】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，．点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，过作，垂足为，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求的值； （3）如图3，将沿翻折，若点的对应点落在的延长线上，连接交的延长线于点，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·周测）如图，已知在等腰三角形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时点从点出发沿以的速度向点运动．设运动时间为s，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动． （1）若某一刻，时，求证此时； （2）当_____秒时，三角形是等腰三角形． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点旋转的过程中，试证明恒成立； （3）若，，请直接写出的长． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）当时，求的比值． 【方法5】作双垂直构造等角相似 【例题5】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． （1）当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； （2）当取何值时，四边形的面积等于？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是矩形，点P是对角线上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． （1）___________；当时，求的值； （2）试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 【变式2】（2026·重庆黔江·模拟预测）探究不同情境，解决下面问题： （1）问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空： ① ； ②的度数为 ． （2）拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 【变式3】（2026·江西赣州·模拟预测）综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． （1）填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； （2）类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． （3）拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【方法6】截长补短构造相似 【例题6】（2026·辽宁大连·模拟预测）如图1，在中，平分，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，作交于G，点D是中点，H是上一点，，，，，求的值． 【变式1】（2026·浙江台州·模拟预测）已知，，． （1）找出与相等的角并证明； （2）求证：； （3），，求． 【变式2】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，连接，求证：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，求的长． 【方法7】延长相交构造相似 【例7】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为___________； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； （3）如图③，在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．若恰好分别是、的黄金分割点，请直接写出：的值___________． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，平行四边形中，点分别是边上的点． （1）若，，则___________ （2）若是中点： ①如图1，若，求证：； ②如图2，若，连接交于，求的值； （3）如图3，若，，，，求的长． 【方法8】综合作多种辅助线构造相似 【例题8】（25-26九年级上·江苏常州·期末）已知是等腰三角形，，点是边上一点，以为腰向右侧作等腰三角形，且，（），过点作的平行线分别交，于点，，连接． 【初步感知】 （1）如图，当时，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，当时，若，，求的面积； 【拓展延伸】 （3）当时，连接，若，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）证明：，，， 【变式1】（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用．如图1，与是具有公共顶点的两个等腰三角形，，，若，则有，可得，又因为，易得． 请你借助旋转变换解决下列问题： （1）如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以，为边构造正方形，连接，，请求出与的数量关系； （2）如图3，四边形中，交于点，若，求证：； （3）如图4，在中，，，，，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）在四边形中，点分别是边上的点，连接并延长，分别交的延长线于点． （1）如图1，若四边形是菱形，，求证：； （2）如图2，若四边形是正方形，，，设，，求与的函数关系式： （3）如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期中）（1）如图，在中，，，是正三角形，是其中心，则的长度的最大值为_____（用含有a，b的代数式表示）． （2）如图，正方形内接于，，，．则_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题3.12探索三角形相似的条件【作辅助线构造相似八大方 法】 目录 【方法1】作平行线构造A字型与8字型 1 【方法2】作垂直线构造一线三直角.. .5 【方法3】连接两点构造相似三角形。 .10 【方法4】作垂直构造相似.…。 ...16 【方法5】作双垂直构造等角相似. .25 【方法6】截长补短构造相似 .38 【方法7】延长相交构造相似 ..46 【方法8】综合作多种辅助线构造相似 ...55 【方法1】作平行线构造A字型与8字型 【例题1】(25-26九年级上安徽合肥期末)已知：如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC BF AE 上的一点，DE延长线交BC延长线于点P,求证：CF=EC, 【答案】证明：过点C作CM∥AB,交DF于点M. EM 1/78 则△FCM∽△FBD, BF BD CF CM ,点D为AB的中点， .'BD=AD BF AD ∴CF=CM①， CM∥AB, ∴.△ECM∽△EAD. AD AE ·CM=EC②， BF AE 由①和②可知，CFEC· 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求 解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解. BE BD BF AD 先证明△FCM∽△FBD,列出比例式：CF=CM,结合中点可得CF=CM,再证明 AD AE △ECM∽△EAD,列出比例式：CMEC,从而可得结论. 解：略 BP 【变式1】(2026浙江杭州模拟预测)如图，在A4BC中，AD=2CD,CF=2BF,则DP的值 为 B4 3 【答案】4/0.75 【分析】过点D作BC的平行线，交AF于点E,设BF=3a,由平行可判定△ADE∽△ACF,则 DE AD 2 BP BF 3 CF=AC=3,计算得DE=4a,同理ADEP6BFP:因此P=DE=4: 2/78 解：如图，过点D作BC的平行线，交AF于点E,设BF=3a, .AD=2CD.CF=2BF AD 2 .AC3,CF=6a, :DE∥BC, .△ADE∽△ACF, DE AD2 CF=AC 3 :0E=号r=4a, 3 :DE∥BC, ,△DEPOABFP, .B-BF-3a-3 ∴.Dp=DE4a4· 【变式2】(25-26九年级下·浙江杭州开学考试)如图所示，在△ABC中，∠CAB=90°，D是边 BC上一点，AD⊥BC,E为线段AD中点，连结CE并延长交AB于点F. (1)求证：AB2=BDBC」 (2)若CD:DB=1:2,求证：AF:BF=1:3, 【答案】(1)证明：：∠CAB=90°，AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠CAB=90° 又∠B=∠B, ABDCBA, 3/78 AB BC ..BD AB, .AB2 BD-BC (2)证明：过点D作DGAB交CF于点G, B .∠EGD=∠EFA,∠EDG=∠EAF E为AD的中点， .GE=FE 'aDGE≌AAFE(AAS) .AF DG. .CD:DB=1:2 .CD:BC=1:3 DGBF .∴△CDGACBF ..DG:BF=CD:BC=1:3. .AF:BF=1:3 【分析】(1)证明△ABD∽CBA,根据相似三角形的性质，即可得证： (2)过点D作DGMB交CF于点G,证明 DGE≌AAFE(AAS) 得出AF=DG,进而证明 △CDG∽aCBF,根据相似三角形的性质得DG:BF=CD:BC=1:3,即可得证 解：(1)略 (2)略 【变式3】(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，D为AC中点，M、V分别在 DO AB、BC上，且MB AM=2,CN-3,MN交BD于点O,求OB的值. NB 4/78 A D M 【答案】2 【分析】通过作平行线构造相似三角形，利用“平行线分线段成比例”和“相似三角形”的性质， 逐步推导目标比例求解即可. 解：如图，过A作AEI‖MN交BD于点H,交BC于点E,过D作DF川BC交AE于点F, D M H B E -2 BM 1 AB 3 ..MNIAE, BM BO BN 1 ·AB BH BE3 CN “w83, ..BE=CN, ∴BN=CE; :DF CE,D为AC中点， DF AD 1 CE AC 2 1 DF-7CE- BN 2 DF 1 .BE 6 又DFWBE, 5/78 .△DFH∽aBEH, DH DF 1 BHBE6: 设DH=a,则BH=6a, 、BO1 “BH3, .B0=2a,OH=4a,0D=5a, .D0_5a_5 ∴.0B2a2· 【方法2】作垂直线构造一线三直角 【例题2】(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线I上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC,则∠CAE+∠BAC+∠BAD=18O°，又 ∠ABD+∠BDA+∠BAD=18O°，故∠CAE=∠ABD.像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们 把它称为“一线三等角”图形 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D, 过B作BE⊥ED于点E.可证∠ACD=一，进而可证△BEC≌ (2)如图3，在△1BC中，点D在BC上，∠C4MD=90°，4C=AD,∠DBA=∠DAB,MB=25 则点C到AB边的距离为 (3)如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点.若∠DEF=∠B, AB=10,BE=4,EF=6,求DE的长 D 图1 图2 图3 图4 【答案】(1)解：：∠ACB=90°， ∴.∠BCE+∠ACD=90°， ,AD⊥ED,BE⊥ED, :.∠BEC=∠CDA=90°，∠EBC+∠BCE=90° 6/78 ∴.∠ACD=∠EBC 在△BEC与ACDA中， [∠BEC=∠CDA=90° ∠EBC=∠ACD CB=CA △BEC2ACDA(AAS) 2)3 (3)15 【分析】(1)由∠ACB=90°可证∠BCE+∠ACD=90°，由∠EBC+∠BCE=90°可证 ∠ACD=LEBC,进一步可证 BEC≌ACDA(AAS) (2)过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CE⊥AB,交BA延长线于点E,由等腰三角形三线合 一，得AF=BF=5,进一步证得∠CME=∠ADF,可证 CAE≌△ADF(AAS ,于是 CE=AF=√3 得解点C到4B的距离为3 (3)以点D为端点，作线段DM=DC,交BC延长线于点M,则∠DCM=∠M,可证 EF BE ∠DEC=∠BFE:于是ABFE∽AMED,得DEDM,从而求得DE=I5· 解：(1)略 (2)过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CE⊥AB,交BA延长线于点E, F B D ,∠DBA=∠DAB, .'AD=BD, &AF==号4B=5, 7/78 .∠CAD=90° :.∠DAF+∠CAE=90° :∠DAF+∠ADF=90°. ∴.∠CAE=∠ADF, 在ACAE与△ADF中， [∠CEA=∠AFD=90 ∠CAE=∠ADF AC=AD △CAE≌AADF(AAS) CE=AF=3 即点C到4的距离为5。 (3)以点D为端点，作线段DM=DC,交BC延长线于点M, 则∠DCM=∠M, A M ,四边形ABCD是平行四边形， .DM=CD=AB=10.AB//CD ∴.∠B=∠DCM=∠M. :∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠FE,∠B=∠DEF .∠DEC=∠BFE, ∴.△BFE∽AMED. EF BE DE DM' 64 .DE10 .DE=15 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：添加 8/78 辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键， 【变式】(2025宁夏银川二模)综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解 《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线 三直角模型”.如图2，在△ABC中，∠A=9O°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD, 作DE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,AC=6,求△BDF 的面积： BN (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N,求BC的值： 朱实 朱实 黄实 朱实 D 朱实 Q B 图1 图2 图3 9 【答案】(1)AB=DE:(2)S=10::(3)13· 【分析】（小）根据旋转的性质可得∠CBD=90°，CB=BD,进而证明 ABC≌△EDB(AAS) 即可 求解： (2)根据(1)的方法证明 MBC≌，BDB(MS),进而证明△DEFCAF,求符F-4,则 BF=10,然后根据三角形的面积公式，即可求解： 3)过点N作NMLE于点M,证明A4BC∽AMNB得出MN=35M,证明AEMN∽AEC4 3 54 BM=x,则MB=BE-BM=6-x,代入比例式，得出x=13,进而即可求解： 本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识 是解题的关键 (1)解：AB=DE」 :将线段BC绕点B顺时针旋转9O°得到线段BD,作DE⊥AB交AB的延长线于点E. 9/78 :∠CBD=90, .∠ABC+∠DBE=90°， .∠A=90° .∠ABC+∠ACB=90°， .∠DBE=∠ACB 又：∠A=∠DEB=90°，CB=BD, :△MBC≌aEDB(AAS) .AB=DE: (2)解：：∠CBD=90° ∴.∠ABC+∠DBE=90°， ,∠A=90° .∠ABC+∠ACB=90°， .∠DBE=∠ACB, 又，∠A=∠DEB=90°，CB=BD, :△MBC≌aEDB(AMS) .DE=AB,BE=AC. :AB=2,AC=6, .DE=2,BE=6 .AE=AB+BE=2+6=8, :∠DEB+∠A=180°. .DE∥AC, :.△DEF∽aCAF, DE EF ·ACFA, 2EF .6EF+8 10/78 EF=4, .BF=BE+EF=6+4=10. .Sww-xBx DE-x10x2-10 2 (3)解：如图所示，过点N作NM⊥AF于点M, N D Q M E :∠A=∠BMN=90°，∠ACB=90°-∠ABC=∠NBM, ∴.△ABC∽aMWB BN BM MN .BC AC AB· BN BM MN 、 即BC=6 2,即MW 3 BM 又：MN IAC, .△EMN∽aECA, ME MN .AE AC' 设BM=x,则ME=BE-BM=6-x, 1 x 6-x=3 86 54 解得：x=3, BM=54 13: 54 BNBM-139 BC=AC=6-13 【方法3】连接两点构造相似三角形 11/78 【例题3】(2026·安徽准南三模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4,∠C=90°，点P是边AB 中点，∠MPN=90°，∠APN=0 (1)当点N在线段AC上，点M在线段CB上，0=45°时，CM的值是 (2)当点N在射线AC上，点M在射线CB上，点M,N不与点B,C重合，请探究CM,CN, BC之间的数量关系。 P M B C 备用图 【答案】(1)2：(2)CM+CN=BC或CM-CN=BC 【分析】(1)当0=45°时，根据平行线分线段成比例定理可以求出AN=CN=2,可以证明四边 形PMCN是正方形，根据正方形的性质可以求出CM=2: (2)当点N在射线AC上，点M在射线CB上时，当点N在线段AC上，点M在线段CB上时， 可以求出CM+CN=BC:当点N在线段AC外，点M在线段CB外时，可以求出CM-CN=BC。 (1)解：如下图所示， :AC=BC=4.∠C=90°. .∠A=∠B=45°， 0=45°， .∠ANP=∠CNP=90° ..PNI/BC. AN AP …NCBP, 点P是边AB中点， .AN AP NC BP =1 :AN-CN-14C-2 ∠MPN=90°， ∴四边形PMCN是矩形， 12/78 :∠A=∠B=45°，0=45°， .∠A=∠APN=45°， :AN PN, ..PN=CN=2, ∴.四边形PMCN是正方形， ..CM=CN=2; A B M C (2)解：如下图所示，当0°<0<90°时，连接CP, :AC=BC,点P是AB的中点， ∴.CP⊥AB.∠MCP=∠NCP=45°， 又：∠NAP=∠NCP=45°， ∴PC=PA, :∠APN+∠NPC=90°， ∠CPM+∠NPC=90° .∠APN=∠CPM, ∠CPM=∠APN PC=PA 在APCM△PN 与 中， ∠MCP=∠NAP' '△PCM≌△PAN(A,S,A) ∴.CM=AN. ..CM+CN=AN+CN=BC: N M 13/78 如图2所示，当90°≤0<135°时，连接CP, ~点M,N不与点B,C重合，则日=90°不成立， .∠MPN=∠APC=90° ∴.∠MPN+∠NPC=∠APC+∠NPC, ∴.∠CPM=∠APN, ∠PCM=∠PAN=45° PC=PA 在 和 中， PCM'△PAN ∠CPM=∠APN :△PCM≌△PAN(ASA) .PM=PN,∠PNA=∠PMB, :点P是边AB中点， ∠CPB=90°， :∠MPN=90°， .∠MPB=∠NPC, ∠MPB=∠NPC PM=PN 在 与 中， PMB△PWC ∠PMB=∠PNC' :∴.△PMB≌△PNC(A,S,A ∴BM=CN, ∴.CM-CN=CM-BM=BC, A M B 综上所述，CM+CN=BC或CM-CW=BC. 【变式1】(2026四川自贡·三模)天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作 如下探究： 14/78 图1 图2 图3 (1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP,以AP为边作等边 △APO,连接CO.求证：BP=CO: (2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等 腰△APO,使AP=P吧，∠AP№=∠ABC,连接C吧.判断∠ABC和∠ACO的数量关系，并说明理由： (3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF, 0是正方形4PEF的中心，连接Q0.若正方形4PEF的边长为6，C0-25,求正方形4D8C的边 长. 【答案】(1)证明：：△ABC和△AP9都是等边三角形， .AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60° .∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,即∠BAP=∠CAQ, 在△ABP和△ACQ中， AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AO △ABP≌△ACQ(SAS) .BP=CO (2)解：∠ABC=∠AC0,理由如下： .AB=BC,AP=PO, ∴.∠BAC=∠BCA,∠PAg=∠PQA, :∠APQ=∠ABC. :.180°-∠AP9=180°-∠ABC,即∠BAC+∠BCA=∠PAQ+∠PQA, .2∠BAC=2∠PA0, 15/78 :.∠BAC=∠BCA=∠PAQ=∠P2A, .△ABCAAP2, AB AC ·APAQ? AB AP :.AC40' 又：∠BAC=∠PAg, ·∠BAC-∠PAC=∠PA0-∠PAC,即LBAP=LCAQ, ∴.△ABPOAACO. ·.∠ABC=∠AC2 (3)2+V14 【分析】(1)证出△ABP≌△ACO即可： AB AP (2)先证出△ABC△APQ:则可得ACAQ,再证出△ABP△ACQ即可： (3)连接AB'AE'先证出△ABP∽△ACQ:则可得COAC P-侣=万，求出BP的长，再在 Rt△ACP中，利用勾股定理求解即可， 解：(1)略. (2)略， (3)解：如图，连接AB,AE, A 0 ,四边形ADBC是正方形， :∠ACB=90°，AC=BC.AB=VAC2+BC=V2AC∠BAC=450 ,正方形APEF的边长为6， 16/78 :AP=PE=6,∠PME=45°.∠APE=901B=VAP2+PE=62 :Q是正方形APEF的中心， ∴点0在E上，A04=32 .∠PAQ=45°=∠BAC 、.∠BAC-∠PAC=∠PAg-∠PAC,即LBAP=∠CA0, 把点，60=5 ABAP :.ACAO' ∴△ABPAAC9, BP AB= .Co AC .C0=22 贴 ∴.BP=4, P=x(x>0) 设 ,则AC=BC=CP+BP=x+4 在RtACP.中，AC2+CP2=AP,即x+4+=6 解得x=-2+4或x=-2-4<0 或 (不符合题意，舍去)· :1C=+4=-2+4+4=2+4 即正方形ADBC的边长为2+√14. 【方法4】作垂直构造相似 【例题4】(25-26九年级上辽宁大连期末)如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D 17/78 是BC边上一动点（不与点B,点C重合），连接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段 AE (1)如图1，过E作EF⊥AC,垂足为F,求证：△ACD≌△EFA; CD (2)如图2，连接BE交AC于点G,若AE=GE:求BD的值： (3)如图3，将△ABD沿AD翻折，若点B的对应点M落在AC的延长线上，连接EM交BC的延 EN 长线于点N,求MN的值. G D B M (图1) (图2) (图3) 【答案】(1)证明：~线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE, ∴AD=AE,∠DAE=90°， .∠DAC+∠EAC=90° :∠ACB=90°， ∠DAC+∠ADC=90°， .∠ADC=∠EAC 又：EF⊥AC, :∠AFE=90°， .∠ACB=∠AFE :∴△ACD≌△EFA(AAS) CD I (2)BD2 =2 (3)MN 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质， 等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键， (1)根据旋转的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理即可证明： 18/78 (2)先过E作EF⊥AC,进一步证明aEFG≌aBCG,可得FG=CG,再根据等腰三角形的性质得 出AF=FG,因此F=FG=CG=写AC,根据全等三角形的性质进一步得出CD=,BC, 3 BD=2BC,即可求值， (3)先过E作EF⊥AC,设CD=a,再根据折叠的性质，勾股定理和全等三角形的性质得出 FC=2a ，最后根据平行线分线段成比例即可求值， 解：(1)略 (2)解：如图1， G B (图1) 过E作EF⊥AC,垂足为F, 由(1)得△ACD≌△EFA, :.AC=EF. 又：AC=BC, .EF =BC 又：∠EFG=∠ACB=90°，∠EGF-∠BGC, ∴.△EFG≌ABCG(AAS) .FG=CG AE=GE,EF⊥AG, ..AF=FG GAF-FG=CG-14C 又：△ACD≌△EFA, .AF=CD 19/78 AC=BC.AF=AC 1 .cD-c :.BD=2BC 3， CD 3 1 BD2BC2 3 (3)解：如图2， E B D M (图2) 过E作EF⊥AC,垂足为F, :△ABD沿AD翻折，点B的对应点M落在AC的延长线上， △ADB≌△ADM, .∠B=∠AMD=45°，BD=MD 设CD=a, ∠DCM=90°，∠AMD=45°， ∴.CM=CD=aDM=V2a :.BD=2a, :.BC=AC=a+2a=(1+2)a :△ACD≌△EFA, .AF=CD=a」 :.FC=AC-AF=(1+2)a-a=a :∠EFC=∠NCM=90° 20/78 .EF∥NC. EN FC-a= MN MC a EN 即MN 【变式1】(25-26九年级上山东青岛·周测)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=20Cm, BC=30cm,点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点从点C出发沿CB以 3cm/s的速度向点B运动.设运动时间为s,当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. ∠AQP=∠B △BPQ∽△CQA (1)若某一刻， 时，求证此时 (2)当1=一秒时，三角形BPO是等腰三角形. B 【答案】(1)：AB=AC, .∠B=∠C, :∠AQB=∠C+∠CAQ=∠BOP+∠AOP,∠AOP=∠B, .∠CAQ=∠BQP △BPQ∽△CQA 1030 (2)3或7· 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识，掌 握知识点的应用是解题的关键. (1)由AB=AC,则∠B=∠C,又∠AQB=∠C+∠CA0=∠BOP+∠AQP,∠AQP=∠B,则有 ∠CA0=∠BOP,然后通过相似三角形的判定方法即可求证： (2)分为①当PB=P时，②当BP=BO时两种情况分析即可. 解：(1)略 (2)解：①如图，当PB=PO时，过P作PE⊥BC于点E,过A作AF⊥BC于点F, 21/78 ∴∠DBP=∠BFA=90e,BF-CF=BC=15cm,BE=0E=5B0, 2 .PE∥AF, ∴.△BEP△BFA, BE BP ∴BFBA 由题意得BP=41cm,C2=3tcm,0≤t≤5， :BE=0s-0-30-3em 0-0华，解得：1-19 :2 1 20 ②如图，当BP=BO时， D 由题意得BP=41cm,CQ=3cm,0≤t≤5， .B9=(30-3t)cm 41=30-3t,解得：1，. ③ BO=PO 不存在 情况， 1030 综上可得：当(=3或7秒时，三角形BPO是等腰三角形， 1030 故答案为：3或7· 22/78 【变式2】(25-26九年级上辽宁丹东期末)在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC,CD是中线， 一个以点D为顶点的60°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为 点E、F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N. (1)如图1，若CE=CF,求证：DE=DF: (2)如图2，在LEDF绕点D旋转的过程中，试证明CD=CECF恒成立； (3)若CD=22.CF=V2 CN 请直接写出的长。 H B 图1 图2 【答案】(1)证明：，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC,CD是中线， .CD是∠ACB的角平分线， ∠BD=∠AcD-4cB=6. :∠BCE=180°-∠ACB=60°，∠ACF=180°-∠ACB=60°， ∴.∠DCE=∠DCB+∠BCE=120°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=120°， .∠DCE=∠DCF=120°， 在aDCE与△DCF中， CE=CF ∠DCE=∠DCF=120° CD=CD △DCE≌△DCF(SAS) .DE DF. (2)证明：，∠DCE=∠DCF=120°， .∠E+∠CDE=180°-∠DCE=60°， :∠EDF=∠CDF+∠CDE=6O°， .∠E=∠CDF, .∠F=∠CDE, 23/78 .△CDF∽aCED, CD CF CE CD' ∴.CD2=CECF, 42 (3)3 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠BCD=∠ACD=60°，邻补角的定义得到 ∠BCE=∠ACF=60°，于是得到∠DCE=∠DCF=120°，证明 DCE≌ADCF(SAS) 再根据全等三 角形的性质即可证明结论： CD CF (2)证得ACDF∽CED,根据相似三角形的性质得到CECD,再运用相似三角形的性质即可证 明结论： (3)如图：过点D,E分别作DH1BC,EG1BC垂足分别为H,G,利用含30度的直角三角形及 DH HN 3 勾股定理求出DH、EG'进而得到HG'证明ADNH∽AENG,得到EG=GN-3, 即可求出 HN,进而求得CN的长 解：(1)略 (2)略 (3)解：如图：过点D,E分别作DH⊥BC,EG⊥BC垂足分别为H,G, B .CD-22 CF= D2=CE·CF ，由(2)知 :CB-CD=8=45 ∠DCH=60,∠DHC=90°，∠BCE=60°，∠CGE=90° 24/78 ∴.∠CDH=30,∠CEG=30°， .CD=2 CF= .CH-cD-2 CG-CE-2/2 ∴DH=22-(2=6,EG=42-(22-26, ∴HG=CG-CH=22-V2=√2 :DH⊥BC,EG⊥BC, DH∥EG, ∴.aDNH∽aEWG, HIN _DH161 .GN-EG262, ·GN=HG-HN=V2-HN HN 1 :2-N2,解得： w=② 3 CW=CH+N=2+5_42 33. 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰 三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键。 【变式3】(25-26九年级上·福建福州阶段检测)如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上， AB AC 连接AD,作DA⊥AE,使得ADAE,连接DE交AC于点F,若AC=6,AB=8 (1)求证：△ABD~△ACE: (2)若∠EAC=30°，求BD的长度： AF (3)当BD=2时，求CF的比值. 25/78 D 【答案】(1)证明：：直角三角形ABC的斜边为BC,DA⊥AE, .∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°， .∠BAD=∠CAE, AB AC 又：ADAE' AB AD AC AE' .△ABD~△ACE 120W3-160 (2) 11 53 (3)20 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形 的判定定理并添加正确的辅助线是解题关键. (1)根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可： (2)作DG1AB,垂足为G,容易证出△DBG∽△CBM,用相似三角形的性质和含30°角的直角三 角形的性质求出DG,进一步求出BD: (3)作FH⊥BC,垂足为H,容易证出△FC∽△ABC,得到△FC的三边关系，根据 △ABD~aACE可以证明∠BCE=9O°，从而得到△DFH~aDEC,利用相似的性质计算出CF,最后 求得答案 解：(1)略 (2)解：如图，作DG⊥AB,垂足为G,设BD=5x, 26/78 G B O 在直角△MBC中，BC=VAB2+AC=V8+6=10 :△ABD~△ACE,∠EAC=30°， .∠BAD=∠EAC=30°， ,DG⊥AB,∠BAC=90° .∠BGD=∠AGD=90°=∠BAC, .∠DBG=∠CBA. ∴.△DBGn△CBA, GD GB BD 、即GD-G3-B即 ·.AC=AB=BC,即6 8-10 2=5即=3xB=4m=n 5 在直角△ADG中，∠AGD=90°，∠GAD=30°， .AD =2GD =6x, 由勾股定理得，AG=VAD-GD=《6x-(3x=V27x=33x, AB AG GB =8, 24V3-32 ÷35x+4x=8,解得，X= 11, :m=5r=1203-160 11: (3)解：如图，作FH1BC,垂足为H,设CF=5y, B D 27/78 :FH⊥BC, ∴.∠ClF=∠DIF=90°=∠BAC, ,∠FCH=∠BCA, ∴.△HFC∽△ABC, CF HF HC CF HF HC ∴CB=AB=AC,即10=8=6， :mc-4y,a-3cF=3y, 3 5 5 BD=2, .DC=BC-BD=8. .DH DC -HC =8-3y, 由(1)可知，△ABD ACE」 CE AC 3 ·∠ABD=∠ACE,BD=AB=4, B-8m=2×2=8-15, 4 4 2 :∠ABD+∠ACB=90°， ∴.∠ACB+∠ACE=90°， ∴.∠DCE=90°=∠Dlm, :∠FDH=∠EDC, ∴.△DFH△DEC, DH FH n8-3y=4y ·DC=EC,即8 1.5 24 解得，y=73 .CF=5y 120 73, AC=6, ..AF=AC -CF=6- 20318 73 73 AF31853 :CF 120 20 【方法5】作双垂直构造等角相似 28/78 【例题5】(25-26八年级下山东青岛期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm,点 P从点B出发，沿BA方向匀速运动，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，两点同时出发，速 度均为1m1s,设运动时间为付0<1<4). (1)当以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似时，求t的值： 21 (2)当，取何值时，四边形PBCQ的面积等于5cm? (3)是否存在某一时刻t,使CQ1PQ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. B 16 【答案】(1)1或-2+26：(2)1=3：(3)存在，1= 【分析】(1)根据矩形ABCD的性质，求出BD的长，根据题意求出QD=BP=t,推出BO=5-1, 再根据相似的判定推出△DCO∽aBOP或△DCQ∽aBPO,运用相似的性质求解即可： (2)过点作QE⊥AB,QF⊥BC,垂足分别为E,F,结合矩形ABCD的性质分别证明 △BQEP△BDA△BQF∽ABDC OD=BP=t BO=5-1 ,再运用相似的性质结合(1)中 ，求出 0E-5-小，0F=5-4,最后根据amw=5om+5 21 =5代入求解即可： (3)过点O作E⊥AB,F1BC,垂足分别为E,F,根据矩形ABCD的性质，证明四边形 FOEB FOEB △PQE∽aCQF 为矩形，运用矩形 的性质结合题意，推出 ,再结合(1)、(2)已求 29/78 线段的值，代入求解即可. (1)解：：矩形ABCD, .CDI AB,CD=AB=4,∠DAB=90°， .∠CDQ=∠QBP 在RIAABD中，∠DAB=90°，AB=4,BC=3, ·根据勾股定理得， BD=AB2+AD2=2+32=5 ·由题意可得，OD=BP=t, ..BO=BD-OD=5-t. :以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似， 又，∠CDQ=∠QBP ∴.△DCOABOP或△DCOABPO. DC DO DC DO ∴.BOBP或BPBO 4t41 ∴.5-11或15-1 解方程5-1t,得t=1, 解方程i5-1,得4=-2+26,4=-2-26（舍去）， 综合上述，当以8，P,D △DCQ 1.-2+2W6 ，之为顶点的三角形与 相似时，‘的值为或 (2)解：如图，过点O作E⊥AB,QF⊥BC,垂足分别为E,F, 30/78 由(1)得QD=BP=1,B0=5-1, :矩形ABCD ∴.DA⊥AB,DC⊥BC, :DA⊥AB,QE⊥AB, .DAllOE, :△BOE∽aBDA, ÷%器即g5, ÷05-6-0. :DC⊥BC,OF⊥BC. ..DCOF. ∴.△BQF∽ABDC OFBO 0F_5-t ∴.CDBD,即45， ÷0r-6-), SwS+21 5 即ecee-号则76-小+536s-- 5 5 整理得2-t-6=0, 4=342=-2 解得 (舍去)， 21 六1=3时，四边形PBCQ的面积等于亏cm (3)解：如图，过点作E1AB,QF1BC,垂足分别为E,F, 31/78 由(1)得QD=BP=1,B0=5-1, 由2得0E=5-).05=等5-. ,矩形ABCD .AB L BC,AD BC =3,AB=CD=4, :OE⊥AB,OF⊥BC, “四边形FOEB为矩形， ∴∠F0B=90,BF=QB=5-).BE=Qr=6-). ÷CF=BC-BF=3-5-,EP=BE-B即-5-小-4， :C0⊥Pe,则∠COF+∠POF=90°， 又：∠FOE=∠E0P+∠PgF=90°， ..ZEOP=ZCOF. 又：∠PEg=∠CF2=90° .△PQE∽△CQF 46-03-36-0 5 ÷8器85，则6060-1，解得1 9 【变式1】(26-27九年级全国暑假作业)如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动 点（不与A、C重合），连接PB,过点P作PE⊥PB,交DC于点E,已知AD=3,AC=5.设 AP的长为x. PE (1)AB=一 一；当x=1时，求PB的值： 32/78 PE (2)试探究：PB是否是定值？若是，请求出这个值：若不是，请说明理由： 夕 3 【答案】(1)4,4；(2)是，4 【分析】(1)过点P作PM⊥AB于点M,交CD于点N,先证明△APM∽△ACB,可得 学-行则M-手PM可有8w=华w号。 AM PM 1 =5,再证明ABMP∽APNE,可得 PE_PN PBBM,即可求解： (2)同理(1)即可得结论： (1)解：如图，过点P作PM⊥AB于点M,交CD于点N, A M B P 四边形 是矩形， D NE C ABCD .BC=AD=3,∠ABC=∠ADC=∠DAB=90°， :在RAABC中， AB=AC2-BC2=52-32=4 当x=1时，即PA=x=1, :PM⊥AB,∠ABC=90°， :PM II BC, .△APM∽△ACB. AM PM AP AM PM1 ·AB=CB=AC,即4=3-5： M-手Pw 5, 33/78 BM=AB-AM=4-4=16 55, :∠ADC=∠DAB=90°，PM⊥AB, .四边形ADNM是矩形， .MN=AD=3, PN=MW-PM=3-3=5, .PE⊥PB,PM⊥AB, ∴.∠PMB=∠PNE=∠BPE=90°， ∠BPM+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°， ∠BPM=∠PEN, :.△BMPn△PNE, 12 PB BM 16 4 5 PE (2)解：PB的值为定值。 如图，过点P作PM⊥AB于点M,交CD于点N, AM P D NE 同理(1)可得△APM∽△ACB, AM PM AP AM PMx ·ABCB=AC,即4=3=5， P=3 4 .M=5x, :BM=4-4 ,Pw=3- 5 同理(1)可得△BMP∽△PWE. 34/78 3- 3 3 PE PN PB BM 4 4 4 【变式2】(2026·重庆黔江模拟预测)探究不同情境，解决下面问题： 间题发现：如图，在RABC中，B4C0,把，点P是边C上一动点（不专点 重合)，∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,填空： PB ①cD-: ②∠ACD的度数为 究如图在A4BC甲，B4Ce,A光k,点p是边BRC上动 B重合)，∠PAD=9O°，∠APD=∠B,连接CD,请判断PB与CD之间的数量关系以及∠ACD与 ∠B的数量关系，并说明理由. (3)解决问思：如图3，在△1BC 3 ∠B=45°AB=4N2.BC=4+24,P是边 中， BC上一动点 (不与点B重合)，∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长. D B 图1 图2 图3 PB 【答案】(1)①1：②45：(2CDk,∠ACD=∠B理由如下： ,∠BAC=∠PAD=90°，∠APD=∠B, .△ABC△APD AB AP -=k :AC AD :∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°， ∴.∠BAP=∠CAD 35/78 △ABPP△ACD, PB AB ∴∠ACD=∠B:CD=AC =k; 321 (3)2或2 【分析】(1)证明 BMP2CMD(SAS)）,由全等三角形的性质即可得出结果： AB AP (2)先证明AABC∽AAPD,得出ACAD k,再证明∠BAP=∠CAD,得出△ABPAACD:由 相似三角形的性质即可得出结果： (3)过点A作AH⊥BC于点H,分两种情况：当点P在BH上时，当点P在BH的延长线上时， 分别结合相似三角形的性质计算即可得出结果， AB =1 (1)解：①：∠BAC=90°，AC .AB=AC. .∠B=45°， :∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°. ∴.AP=AD,∠PAD-∠CAP=∠BAC-∠CAP,即∠BAP=∠CAD, 在△BAP和△CAD中， AB=AC ∠BAP=∠CAD AP=AD △BAP≌ACAD(SAS) ∴.PB=CD,∠ACD=∠B=45, PB=1 CD ②由①可得∠ACD=∠B=45°： (2)略： (3)解：过点A作AH⊥BC于点H,当点P在BH上时，如图： 36/78 D H 图3 :∠B=45°， .△ABH为等腰直角三角形， :AB=4N2, 4H=朗= 2 AB=4, BC=4+2W14 .CH=214, :.4C-VCI+A-65 PH-PA-AH=3 ∴.PB=BH-PH=1, :∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B, ∴.△ABCAAPD. AB AC AB AP ·APAD,即ACAD, :∠PAD=∠BAC,即∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD, ∴.∠BAP=∠CAD ∴，△ABP∽△ACD, ABPB ·ACCD 42_1 ..62 CD, :CD=3 2, 当点P在BH的延长线上时，如图： 37/78 H B 图4 :∠B=45°， “.△ABH为等腰直角三角形， :AB=4V2, =BH= AB=4, 2 :BC=4+2v4 .CH=214, :.AC-CHP+4-6 PH=PA-AH-3 ∴.PB=BH+PH=7, ,∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B, ∴.△ABC△APD. AB AP ·ACAD :∠PAD=∠BAC,即∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD, .∠BAP=∠CAD .△ABP∽AACD. AB PB .AC CD' 4V27 ∴.6N2CD, :CD=21 2 3.21 综上所述， CD的长为2或2· 38/78 【变式3】(2026江西赣州模拟预测)综合与实践：特例感知 如图1，己知正方形ABCD,E为对角线AC上一点(ME>EC),过点E作EF⊥DE交边AB于点 F,连接BE (1)填空：∠EFB+∠CDE= °，DE和EF的数量关系为 .EFB （填 “是”或“不是”)等腰三角形： (2)类比迁移：如图2，己知菱形ABCD,E为对角线AC上一点(AE>EC),过点E作EF交边 AB于点F,使得∠DEF+∠BAD=I8O°，连接BE.请判断△EFB是不是等腰三角形，并说明理由 (3)拓展探究：如图3，已知矩形ABCD,AB=4,BC=2,E为对角线AC上一动点(AE>EC), 点E不与点C重合，过点E作EF⊥DE交边AB于点F,连接BE. ①求证：DE=2EF ②当△EFB是等腰三角形时，请直接写出BF的长， D D E E F F 图1 图2 图3 备用图 【答案】(1)90，相等，是；(2)解：△EFB是等腰三角形，理由如下： :∠DEF+∠BAD=180°， ∴.∠ADE+∠AFE=180°. :∠EFB+∠AFE=180°， ∴.∠EFB=∠ADE, :四边形ABCD为菱形， :.CD=CB,∠ACD=∠ACB,CE=CE △DCE≌ABCE(SAS) .∠CDE=∠CBE,DE=BE, .:∠ADC=∠ABC. .∠ADC-∠CDE=∠ABC-∠CBE, 39/78 即∠ADE=∠ABE=∠EFB, ∴EF=EB=DE, ∴，△EFB是等腰三角形： (3)①证明：如下图，作EM⊥AB于点M,作EN⊥AD于点N, N中 FM B ,四边形ABCD为矩形， .∠ENA=∠NAM=∠AME=90°， ∴四边形ANEM是矩形， .EM=AN,EN=AM,∠NEM=90°， EF⊥DE, ∴.∠DEF=90°， ∴.∠DEN=∠FEM=90°-∠NEF, 又：∠END=∠EMF=90°， ∴.△ONEPAFME, DE EN AM ·.EF=EMEM' :∠AME=∠ABC=90°，∠EAM=∠CAB .△AEM∽△ACB, AM EM :.AB BC AM AB EM BC' ·AB=4,BC=2 DE_EN_AM=4B-2. EF EMEM BC .DE=2EF: ②v61 或2 40/78 【分析】(1)首先根据正方形的性质证明∠ADE+∠AFE=180°，结合∠EFB+∠AFE=180°可证明 ∠EFB=∠ADE,进而证明∠EFB+∠CDE=∠ADE+∠CDE=9O°；证明△DCE≌△BCE,由全等 三角形的性质可得∠CDE=∠CBE,进一步证明∠ADE=∠ABE,易得∠EFB=∠ADE=∠ABE, 可证明EF=EB=DE,即△EFB是等腰三角形： (2)首先证明∠EFB=∠ADE,结合菱形的性质证明△DCE≌△BCE,由全等三角形的性质可得 ∠CDE=∠CBE,DE=BE,进一步证明∠ADE=∠ABE=∠EFB,可证明EF=EB=DE,即 △EFB是等腰三角形； (3)①作EM⊥AB于点M,作EN⊥AD于点N,易得四边形ANEM是矩形，证明 DE EN AM AB ADNERAFME,△AEMAACB,结合相似三角形的性质可得EF=EM=EM=BC =2,即可证 明结论；②设EM=AN=2a,则由①得NE=AM=4a,进而可得DN=2-2a,BM=4-4a,且 FM=1-a,FB=5-5a,然后分BF=BE,EF=EB,EF=BF三种情况，分别求解即可. (1)解：：四边形ABCD为正方形，EF⊥DE, :.∠ADC=∠DAB=∠DEF=90°， .∠DEF+∠BAD=180°， .∠ADE+∠AFE=360°-180°=180°， .∠EFB+∠AFE=180°， ∠EFB=∠ADE, ∴.∠EFB+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°： ,四边形ABCD为正方形， .CD=CB,∠ACD=∠ACB=45,CE=CE. ÷ADCEBCE(SAS) .∠CDE=∠CBE,DE=BE, ∠ADC=∠ABC, ∴.∠ADC-∠CDE=∠ABC-∠CBE, 即∠ADE=∠ABE, ∴.∠EFB=∠ADE=∠ABE ∴.EF=EB=DE, ∴.△EFB是等腰三角形： (2)解：略： 41/78 (3)①证明：略： ②解：设EM=AN=2a,则由①得NE=AM=4a, AB=4,BC=2 .DN=2-2a,BM=4-4a, DN_DE=2 由①可知FM一EF .FM=1-a, 则FB=4-4a+1-a=5-5a, 若BF=BE,如下图， C E FM 则5-5a=(2aj+(4-4aj. .5a2-18a+9=0, 3 解得4=34=3（此时1-a<0:舍去）， 3 .FB=5-5a=5-5x2=2 若EF=EB,如下图， D M :EM⊥BF, .FM=BM, .1-a=4-4a,解得a=1, 此时1-a=0,舍去： 当EF=BF时，如下图， 42/78 D F M 即5-5a'=(2aj+1-a} :5a-12a+6=0 6-V6.6+6 解得9 5(此时1-a<0,舍去)， FB=5-5a=5-5×6=6-=6-1 5 FB 6-1 综上所述 的长为 或2. 【方法6】截长补短构造相似 【例题6】(2026辽宁大连·模拟预测)如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC, ∠ACB=∠ADE+∠BED,DF∥AC (1)求证：∠BDE+∠FDE=180°： (2)求证：AD=AC+DF: (3)如图2，作EGLBC交AB于G,点D是BG中点，H是EG上一点，∠HAE=∠B,DF=3, C=7,CE=34 2,求EH的值. G D B F E 图1 图2 【答案】(1)证明：，DF∥AC .∠DFB=∠ACB=∠ADE+∠BED 43/78 :∠DFB=∠FDE+∠BED ∴∠ADE=∠FDE ·:∠BDE+∠ADE=180°， ∴.∠BDE+∠FDE=180°： (2)证明：在AD上截取DH=DF,连接EH .DH=DN,∠ADE=∠FDE,DE=DE △DFE≌△DHE(SAS) .∠DFE=∠DHE, :∠C=∠BFD,∠BFD+∠DFE=180° ∴.∠C+∠DHE=180° :∠AHE+∠DHE=180° .∠AHE=∠C :AE平分∠BAC, .∴.∠HAE=∠CAE .AE=AE :△CME≌△HME(SAS) .AC=AH, .AD=AH+DH AC+DF; 网e 【分析】(1)先由平行线得到∠DFB=∠ACB=∠ADE+∠BED,然后结合三角形的外角性质得到 ∠ADE=∠FDE,再由邻补角互补证明即可； (2)在AD上截取DH=DF,连接EH,证明 △CAE≌△HAE(SAS) 即可： (3)在AD上截取DN=DF=3,连接NE,证明△BDF∽△BAC,求 .BF=94 BD=15 4,则 44/78 BE=BF+FE=15 4，再由△4HB∽△BDE求解即可. 解：(1)略 (2)略 (3)解：在AD上截取DN=DF=3,连接NE, G 由(2)可得，△DNE≌△DFE,△ANE≌△ACE AN-AC-1 FE-NE-CE-34 AD-AN+DN=10.CF-FE+CE-34 DF∥AC △BDFP△BAC BD BF DF ÷BA BC AC BD BF ·10+BDBF+3147 ,F9a BD=15 4 BE=BF+FE=1514 4 :EGLBC,点D是BG中点， BD=DE=DG- :△DNE≌△DFE,△ANE≌△ACE ∠DEF=∠DEN,∠AEC=∠AEN .'∠DEF+∠DEN+∠AEC+∠AEN=180° ∴.∠AED=∠DEN+∠AEN=90° 45/78 .EG⊥BC ∴.∠BEG=90° .∠BEG=∠AED=90° ,∠BED=∠AEG=90°-∠DEG, .'∠HAE=∠B .∴.△AHE△BDE BE DE ·AEEH AD=10,DE=15 AE-VAD-DE 57 15V1415 4 .57=E 2 16 【变式1】(2026浙江台州模拟预测)已知AB=BD,AE=EF,∠ABD=∠AEF. (1)找出与∠DBF相等的角并证明： (2)求证：∠BFD=∠AFB: AE (3)AF=kDF,∠EDF+∠MDF=180°，求MF. E 【答案】(1)与∠DBF相等的角是∠BAE. 证明：：∠ABD=∠AEF,∠AEF=∠ABF+∠BAE,∠ABD=∠ABF+∠DBF, ∴∠DBF=∠BAE: (2)证明：如图，在BF上截取BP,使AE=BP,连接DP, 46/78 B D 由(1)得∠DBF=∠BAE,即∠DBP=∠BAE, 在△ABE和△BDP中， AB=BD ∠BAE=∠DBP AE=BP .AABE≌△BDP(SAS) .BE=DP,∠AEB=∠BPD .BP=AE, ..BP=EF, :BP-EP=EF-EP,BE=PF, .PF=PD, ∴.∠PFD=∠PDF, .∠BPD=∠BFD+∠PDF=2∠BFD, AE=EF, ∠EAF=∠AFE, ∴.∠AEB=∠EAF+∠AFB=2∠AFB, ∠AEB=∠BPD, ∴.∠BFD=∠AFBJ AE (3)MF =k-1 【分析】(1)根据三角形外角的性质直接求解即可： (2)在BF上截取BP,使AE=BP,即可证明△ABE≌aBDP,可得△AEF和△FPD均为等腰三角 形且顶角相等，即可证明∠BFD=∠AFB: AF EF (3)由(2)可得AEF6FPD,即可得DFPF-k,设PF=PD=a,则EF=AB=a,根据 ∠EDF+∠MDF=18O°，可求得∠PDM=∠PED,即可证明△PMDAPDE,列比例求出 47/78 PM=-a AE 一：代入以上数据即可求得MF的值. 解：(1)略 (2)略 (3)解：由(2)可知：∠EAF=∠EFA=∠PFD=∠PDF, ∴.△AEFFPD, AF kDF. AF “DFPF 设PF=PD=a,则AE=EF=ka, .∠EDF+∠MDF=180° ∠MDF=∠MDP+∠PDF. ∠EDF=180°-∠FED-∠PFD. 则18O°=∠MDP+∠PDF+180°-∠FED-∠PFD, 又∠PDF=∠PFD, .∠MDP=∠FED, .∠EPD=∠DPM, ..APMDAPDE. :PD_PM PE=PD,即PD2=PMPE' a2=PM-(k-1)a .PM=a k-1, AE=ka=k-1 MF as a +k-1 【变式2】(25-26九年级上四川眉山阶段检测)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA 的延长线上，AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB. (1)求证：BD⊥EC: (2)若AB=1,求AE的长： 48/78 AG EG-DG=2AG (3)如图2，连接，求证： D G 图1 图2 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， .∠EAF=∠DAB=90°， 又AE=AD,AF=AB, :△MEF≌AADB(SMS) .∠AEF=∠ADB, .∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°， 即∠EGB=90°， 故BD⊥EC: (2)E1+5 2 (3)证明：如图，在线段EG上取点P,使得EP=DG, 图2 在△AEP与△ADG中，AE=AD,∠AEP=∠ADG,EP=DG, :△MEP≌aADG(SMS) .AP=AG,∠EAP=∠DAG .∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°， .△PAG为等腰直角三角形， 49/78 .PA=AG,PG=2AG, EG-DG=EG-EP=PG=2AG AEF≌△ADB(SAS 【分析】(1)证明 ,得到∠AEF=∠ADB,即可得到EGB=90°，则 BD⊥EC: (2)先证明AEFDCF,得到4E-DF=MF-DC,设4E=D=a(a>0),则 DF=AD-AF=a-1即可得到a(a-)=1x1,解方程得到a=AB=1+5 2 (3)在线段EG上取点P,使得EP=DG,证明△AEPIO1DG(S4S）,得到 AP=AG,∠EAP=∠DAG △PAG ，即可得到”为等腰直角三角形，最后得到 EG-DG=EG-EP=PG=2AG 解：(1)略 (2)解：：四边形ABCD是矩形，AB=1, .AE∥CD,AB=CD=1, .∠AEF=∠DCF,∠EAF=∠CDF ∴.△AEF∽aDCF, AE AF ·DC=DF, 即AE·DF=AF·DC, ,AB=1, ∴.AF=AB=1, 设4=D=aa>0),则DF=AD-A=a-l, :a(a-)=1x1 化简得a2-a-1=0, 50/78 1+V51-V5 a= 解得2或2（舍去）， :+6 2. (3)略 【变式3】(25-26九年级上浙江宁波·期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD, ∠BCM=2DCM,点在4C上，∠BDC=∠4BC.若BC=5.CD=25,MD=2ME,求4C的 长 B 6 【答案】3 【分析】在AB上截取MF=AD,先证明 ACF≌△ACD(SAS ,再证明△EDCAFRC,，确定 EC=4,接着证明△EDAPADCA,列比例式解答即可. 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形外角性质应用，熟练掌握 判定和性质是解题的关键。 解：如图，在AB上截取AF=AD, ,对角线AC平分∠BAD, ∴.∠FAC=∠DAC, 在△ACF和△ACD中， AC=AC ∠FAC=∠DAC AF=AD ÷△MCF2 ACD(SAS) 51/78 :CF=CD=25.∠DCA=∠FCA :∠BCA=2∠DCA,∠BCA=∠BCF+∠FCA, ∴.∠DCA=∠BCF=∠FCA, ,∠EDC=∠ABC. .△EDC∽△FBC」 BC FC FB ·DC=ECED: :BC=5, 525 ·2W5EC, 解得EC=4, △1CF≌ACD(SAS) ∴.∠AFC=∠ADC. ∴.∠ABC+∠BCF=∠EDC+∠ADE, ∴.∠BCF=∠ADE. .∠ACD=∠ADE, ∠DAE=∠CAD, .△EDA∽aDCA, ED AD AE ·DC AC AD' F B AD=2AE, AD 1 ∴.AC2 .AC=2AD=4AE ∴.AE+EC=AE+4=4AE, 52/78 解得AE=4 , 放AC=16 3· 【方法7】延长相交构造相似 【例7】(2025九年级上江苏连云港专题练习)我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分， BC AB 5-1 如果ABAC,那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为 21 (1)在图①中，若AC=10cm,则AB的长为 cm (2)如图②，用边长为2cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE】 将CB折叠到CE上，点B对应点H,得折痕CG.试说明G是AB的黄金分割点： (3)如图③，在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点 E(AE>DE ,连接BE,作CF⊥BE, 交AB于点F,延长EF、CB交于点P.若E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点，请直接写出： PB BC的值 E D 4 E D H G B C F B 图① 图② 图③ 【答案】1)55-5 (2)延长D1、CG交于点K,如图： E AH G B F 图② ~四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC、∠D=90°、BC=CD=AD=2cm, .∠K=∠BCK. 53/78 由折叠的性频得：∠BCK=∠BCK、4柜=D6=AD=1m, 2 ∴.∠K=∠ECK. ∴.EK=EC=VDE+CD2 :.EK=EC=VP+22=√5cm ∴.AK=EK-AE=(N5-1cm :∠K=∠BCK、∠AGK=∠BGC. ∴.△AKG∽ABCG AG_AK5-1 BG BC 2, .点G是AB的黄金分割点： (3)1 【分析】(1)根据黄金分割点的定义进行求解即可： (②)延长DA:CG交于点K,由折叠的桂质可得∠BCK:∠ECK、ME=DE=4D,根据行 线的性质可得∠K=∠BCK,进而证得∠K=∠ECK,根据勾股定理求得EK的长，再证得 AG AK 5-1 △AKGP△BCG,根据相似三角形的性质证得BGBC2，从而得到点G是AB的黄金分割 点； (3)先证得△ABE≌△BCF,由全等三角形的性质得到AE=BF,进而得到DE=AF,再证得 AF AE △AEF∽ABPF,得到BFBP,根据AE>DE,得到BF>AR,当PB=PC时，证得E、F恰好 PB 分别是ADAB的黄金分割点，从而得到BC的值. (1)解：根据题意可得点B为线段AC的黄金分割点，AC=I0cm, B=5-4c-51x10-=55-5em 则 2 2 54/78 55-5 故答案为： (2)略 (3)解：设BE与CF交于点M,如图： A QM B ~四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC、∠A=∠ABC=90°、AB=BC=AD=a, CF⊥BE, .∠BMC=90° ∠ABE+LCBE=90°、∠BCF+∠CBE=90°， .∠ABE=∠BCF, 在△ABE和△BCF中， ∠BAE=∠CBF=90° AB=BC ∠ABE=∠BCF ∴.△ABE≌△BCF(ASA) :.AE=BF, ..a-AE=a-BF, :DE=AF, AElI BP, ∴.∠FEA=∠BPF, :∠AFE=∠BFP, .△AEFSBPE, :E、AE BF BP ..BF2=BP.AF, .AE DE 55/78 ∴.BF>AF AF AE BE 当BP=BC时， BF BC AB :DE、AE AEAD· ∴E、F分别是AD、AB的黄金分割点， .PB =1 BC 【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、“黄金分 割点”的定义，熟练掌握相关性质和正确理解“黄金分割点”的定义，数形结合思想的运用是解题 的关键， 【变式1】(25-26九年级上甘肃甘南期中)【问题探究】 (1)如图1，在矩形ABCD中，点E为边AD的中点，连接BE,过点C作CF⊥BE于点F. ①求证：△ABEAFCB: ②若BF.BE=4,求BC的值. 【问题解决】 (2)如图2，矩形ABCD是一个大型植物园，点C为植物园的出口，AD的中点E为植物园的入口， BE、BD、FC是三条观赏主道，CF L BE于点F,交BD于点G,其中△ABE区域以常绿针叶树 为主，△BDE区域以落叶针叶树为主，△BCG区域以竹类为主，△DCG区域以花卉植物为主，已 DG 3 知BG2,BC=2√3km,小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线CD-DE到达入口E处所 走的路程（即求CD+DE的长）.（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） E 图1 图2 【答案】①证明：，矩形ABCD, ∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC, ,CF⊥BE .∠A=∠ABC=∠BFC=90°. 56/78 .∠ABE=∠BCF=90°-∠EBC, .△ABEAFCB: BC=2V2 ② (2)3+5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质； (1)①由矩形ABCD得到∠A=∠ABC=90°，AD=BC,根据CF⊥BE,得到 ∠A=∠ABC=∠BFC=90°，则∠ABE=∠BCF=90°-LEBC,即可i证明△ABEPAFCB, @中点得到4E=)4D-BC,根据。ABE∽rCB,得到EB,则 BE BC 2 BF-BE=BC,AE=BCBC=BC2=4,据此解方程即可： DC DG 3 (2)延长CF交AB于M,先证明DCGPABMG,得到BMBG-2,设AB=DC=3x,则 BM BC 2x25 BM=2x,再证明△ABE∽aBCM得到AEAB,代入即可得到V33x,x=1,则 AB=DC=3x=3,最后求小丽沿路线CD-DE到达入口E处所走的路程为 CD+DE=3+3 解：(1)①略 ②，点E为边AD的中点， :4k=40-c, 1 2 .△ABEAFCB, BF BC ·AEBE, BF.BE-BC.AE=BC.BC=IBC2 2 21 ..BF.BE=4, =4 57/78 BC=2V2 解得 (负值已舍去)： (2)延长CF交AB于M,如图， E 图2 :矩形1BCD.BC=2V3km ÷.∠A=∠ABC=90°，MD=BC=23kmAB=CDAB∥CD 点E为边AD的中点， ÷DE=AE=)AD-)BC=Vkm 1 2 2 :AB∥CD, .△DCG∽aBMG, DC DG ·BMBG, DG 3 BG2 DC DG 3 ·BMBG2: ∴.设AB=DC=3x,则BM=2x, CF⊥BE, ∴.∠A=∠ABC=∠BFC=90° .∠ABE=∠BCF=90°-∠EBC, ∴.△ABEABCM BM BC ∴.AEAB 2x_2V5 V33x, 解得x=1(负值舍去)， .AB=DC=3x=3, 58/78 CD-DE D+DE=3+3 .小丽沿路线 到达入口E处所走的路程为 【变式2】(25-26八年级上·浙江宁波·期中)如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边 BC、CD上的点. (1)若AE⊥EF,∠EFC=a,则∠BAE= (2)若E是BC中点： ①如图1，若AE=EF,求证：∠BAE=∠EFC: ②如图2，若CF=DF,连接BF交4E于6，求88m的值， (3)如图3，若AB=3,AD=5,CF=1,∠AEB=∠AFE=∠EFC,求AF的长. 图① 图② 图③ 【答案】(1)90°-a;(2)①证明：如图所示，延长FE,AB交于H, D B ,四边形ABCD是平行四边形， .ABII CD ∴.∠EBH=∠ECF,∠EHB=∠EFC, E是边BC中点， .BE=CE, △BEH≌△CEF(AAS) ∴.EH=EF,∠H=∠CFE, AE=EF, .AE=EH, 59/78 .∠H=∠BAE, .∠BAE=∠CFE: @后 (3) AF=53+6 3 【分析】(1)分别延长FE、AB交于点G,得∠AEG=90°，即∠AGE+∠GAE=90°，由四边形 ABCD平行四边形得∠AGE=∠EFC=a,从而可得∠BAE=9O°-a. (2)①延长FE,AB交于H,可证 △BEI≌△CEF(MMS),得到EH=EF,∠H=∠CFE,则可 证明AE=EH,得到∠H=∠BAE,则∠BAE=∠CFE: ②如图所示，延长BF，AD交于M,由平行四边形的性质得到ADI‖BC,AD=BC,证明 BE GE BG BC BF CF △BEGAMAG,*BCFAMDF,得到AM-AGGM,DMF-DFl,则BF=MF, BC=DM:设CE=BE=m,则BC=DM=2m,AM=AD+DM=4m,进而可得 GE BG BE 1 BG 2 S.NCE=S.GKE=GE=1 SAABG=BG=2 AG MG AM4,即可得到GF3,可证明SCS,aAAG4,S△MGFG3,设 3 SMG=4n,则Sc=n,SG=6n,则SaG=2”,据此可得答案： (3)延长AD,EF交于M,由平行四边形的性质可得AD‖BC,CD=AB=3,证明 EC EF CF △AEFAMEA:△AEF∽aECF,再证明△ECF∽△MDF,得到DMFM=DF,求出 DF=CD-CF=2 CE=s FE=t AE=st AF=12 DM=2s ，设 ,则由相似三角形的性质可得 FM=21:进而可得AM=AD+DM=5+2s:再由AEFAMEA得到7=+2：5+2s,则 60/78 st st 1+2t ?,解方程即可得到答案。 t+2t5+2s (1)解：分别延长FE、AB交于点G,如图， B G- :AE⊥EF, ∴.AE⊥EG, .∠AEG=90 .∠GAE+∠AGE=90°： ,四边形ABCD平行四边形， .ABIICD,即AG∥CD, ∴.∠AGE=∠EFC=a. .∠GAE=90°-∠AGE=90°-a, 即∠BAE=90°-a, 故答案为：90°-a: (2)①略 ②解：如图所示，延长BF,AD交于M, 0 B ,四边形ABCD是平行四边形， .ADlI BC,AD=BC. ∴.△BEG∽△MAG,△BCF∽aMDF, BE GE BG BC BF CF ·AM AG GM,DM MF DF, ...CF=DF, 61/78 BC_BF-CF=1 DM MF DF ∴.BF=MF,BC=DM, E是边BC中点， .BC=2CE=2BE, 设CE=BE=m,则BC=DM=2m, .AM AD+DM =4m GE BG BE m 1 BF .AG MG AM4m4·MF =1, BG 2 GF 3' S.NGE=SAGEE-GE =1 SMBG-BG 2 S.MG S.oPA AG 4,SAPG FG-3, SAANG =4n S.BGE=n S.AFG=6n 设1 ，则 3 SAEGF=2”, S△BGE= 3 SAA SAAGE+SANGF 6n+ (3)解：如图所示，延长AD,EF交于M D M B E C ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,CD=AB=3, .∠AEB=∠EAD. :∠AEB=∠AFE=∠EFC, ∴.∠EFA=∠EAD, 又，∠AEF=∠MEA, .∴.△AEFC∽△MEA, 62/78 ,∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=18O°，∠AEB=∠EFC, ∴.∠AEF=∠FCE. ∴.△AEFOECF, :A∥BC, .△ECF∽△MDF, EC EF CF ∴DM FM DF: ..CF=1. DF=CD-CF=2, 设CE=s,FE=t, △AEFAECF, CF CE EF 1 S1 “EFAEAF,即iAEF, .AE=st,AF=t, ED EC-EF CF DDM=FMDF,即DMFM2, .DM=2s,FM =2t, .AM=AD+DM=5+2s, :△AEFr△MEA, EF AE AF t 2 AE EMAM,即= st 1+2t 5+2s' (1=st st t+2t t+215+2s [s=5 [s=-V3 解得=55+6或P=5-6(舍去)， 3 ..AF= 5V3+6 3 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定， 等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键. 63/78 【方法8】综合作多种辅助线构造相似 【例题8】(25-26九年级上江苏常州期末)已知△ABC是等腰三角形，AC=BC,点D是边CB 上一点，以AD为腰向右侧作等腰三角形ADE,且DA=DE,∠ADE=∠C=a(90°≤a<I80°)， 过点B作AC的平行线分别交DE,AE于点F,G,连接BE. 【初步感知】 (1)如图1，当a=90°时，求证：∠ABE=90°： 【迁移应用】 (2)如图2，当a=120°时，若AC=8,CD=3,求aEFG的面积： 【拓展延伸】 (3)当a=120°时，连接DG,若AC=12,当△DEG为等腰三角形时，求CD的长. D 图1 图2 备用图 【答案】(1)证明：Q=90°，AC=BC,DA=DE, :∴△ABC和△ADE是等腰直角三角形， AC AD 2 .∠CAB=∠DAE=45,ABAE2 .∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB,即∠CAD=∠BAE, ACAB AD AE .AACD△ABE, ∠ABE=LC=a=90°： 873V5 (2)154;(3)3或3V3+3 【分析】(1)根据两边成比例夹角相等证明△ACD∽△ABE,根据相似三角形的性质，即可得证： (2)过点C作CZ⊥AB于点Z,同(1)可得△ACD△ABE,得出∠GBE=90°，即GB⊥BE,延 长AC,EB交于点M,则AM⊥BE,过点E作EN FB,交CB的延长线与点N,证明 64/78 △EGB∽aEAM得出BG的长，证明△DBF∽aDNE,得出FB的长，进而求得GF的长，然后根据三 角形的面积公式即可求解： (3)过点A作AMI‖BC交BG的延长线于点M,过点E作EKI‖BC交BG于点K,设CD=x, AE_AM_12_6 DI=m,证明aAMG∽△EKG,得出EG=EK=2xx,设AM=6n:EG=x,进而表示出 EG-nx=2V3mx 6+x,分两种情况讨论，①当DG=EG时，②当BG=DE时，DE=EG建立方程， 即可求解， 解：(1)略 (2)解：如图，过点C作CZ⊥AB于点Z, G M :∠ADE=∠ACB=120°，AC=BC,DA=DE, ÷.∠DAB=∠ABD=∠C4B=∠CBA=180°，120°-=30 2 .cc-e- .AB=2AZ=3AC AC 3 AB 3 D-3 同理，AB3 AD AC3 :∠DAE=∠CAB=30,AEAB3? AC AB ∴∠CAD=∠BAE:ADAE, .AACD△ABE, 65/78 .∠ABE=∠ACD=120°， 又·∠ABC=30° .∠CBE=∠ABC+∠ABE=150°， GB‖AC, .∠GBC=180°-∠ABC=60° ∠GBE=150°-60°=90°，即GB⊥BE, 延长AC,EB交于点M,则AM⊥BE,过点E作ENI‖FB,交CB的延长线于点N, AC AC=8'CD=3'AB 3 ..AB=3AC=83 DB=BC-CD=8-3=5 △ACDAABE, CD_AD3 BE AE 3 .BE =3CD=33 :∠CBG=60°，AM⊥BE, .CM-BC=4. ..MB=BC2-CM2=43 ∴.AM=AC+CM=8+4=12, .EM EB+MB=73 :GBI‖AM, .△EGBn△EAM, BG BE BG 33 ·AMEM,即127V5, 解得BG=36 7, 在Rt△BEN.BE=35∠EBN=3O :EN=BN 2 BE=BN2-EN2=3EN: 66/78 .BN =2EN 25BE=6,EN=3' ENFB ADBF△DNE, :FB、DB FB 5 EN=DN,即3=5+6： 解得FB15 11, :GF=BG-BF=36_15_291 71177 =×291×35-8730 Sa=2GF·BE2X77 154日 (3)过点A作AMI‖BC交BG的延长线于点M,过点E作EKI‖BC交BG于点K, 设CD=x,DI=m, BGII AC,AC=BC, ∴四边形ACBM是菱形， 由(2)得， BE=V3CD=V3x∠GBE=90° :∠CBE=150°，EKBC, .∠KEB=30°， ∴.AM=BM=BC=AC=l2BK=BE·tan∠KEB=V3xtan30°=x .EK =2BK=2x, 由(2)可得 AB=V3AC=123 △ADE是等腰三角形，且∠ADE=120°，AD=DE,DI⊥AB, .AE=2AI,∠DEA=∠DAE=30°， 在RIAADI中，AD=DE=2DI=2m, 67/78 :AI=3DI=3m AE=2AI=23m .AM II BC.BCIl EK, :AM I EK, .△AMG△EKG. :5-4M-126 EG EK 2x x' 设AM=6n,EG=x, .AE=AG+EG=nx+6n=(x+6)n=23m :45=4M_2-6 EG EK 2x x' 23mx .EG=nx= 6+x, .BGII AC. .∠ABG=∠CAB=30° ∴.∠BGE>∠ABG=30°， ∴.∠DGE>30° ∴.∠DGE>∠DEA. ∴.当△DEG为等腰三角形时，有以下两种情祝： ①当DG=EG时，则∠GDE=∠GED=30°， ∴.∠GDE=∠GED=∠CAB=∠CBA=30°， :.A△DEGr△ABC, EG DE AC AB' EG DE ·12125: DE=V5EG'即2m=V5x23mr 6+x 解得x=3, ..CD=x=3; 23mx=-2m, ②当EG=DE时，6+x 68/78 x=3V3+3 解 ∴.CD=x=3V3+3 综上所述：当aDBG CD 333+3 为等腰三角形时，的长或 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三 角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数 的定义进行计算，正确地添加辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键。 【变式1】(25-26九年级上辽宁锦州期中)旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形 的相似中发挥着重要的作用.如图1，△ABC与△BDE是具有公共顶点B的两个等腰三角形， BE BA AB=AC,BE=DE,若∠ABC=∠EBD,则有△BAC∽ABED,可得BDBC,又因为 ∠ABE=∠CBD,易得△ABE∽△CBD. 请你借助旋转变换解决下列问题： (1)如图2，点G为正方形ABCD内一点，连接BG,将线段BG绕点B顺时针旋转90°得到线段 BE,以BG,BE为边构造正方形BEFG,连接AG,DF,请求出AG与DF的数量关系： (2)如图3，四边形ABCD中，AC交BD于点O,若∠ADC+∠ABC=180°，求证： ∠ABD=∠ACD: (3)如图4，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，∠BDA=60°，BD=5,CD=7,求AD的 长 D D G B D E B 图1 图2 图3 图4 【答案】(1)DF=√2AG;(2)证明：在CD延长线上取点E,连接AE,使∠EAD=∠BAC, 69/78 B 图3 :∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠ADE=180°， ∴.∠ABC=∠ADE .△ADE∽△ABC :D、AB AB AC AD AB 即AEAC: 又：∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC, .∠EAC=∠DAB .∴AAEC∽△ADB ∴.∠ABD=∠ACD 3)AD=2V2 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性 质是解题的关键。 DF_BD-2.即可得到结论： (1)连接BD:BF,证明ABGADBF·则AGAB AD AB (2)在CD延长线上取点E,连接AE,使∠EAD=∠BAC,△ADE∽△ABC,得到AEAC, 证明△AEC∽△ADB,即可得到结论. (3)作∠DAE=∠BAC=120°，截取AE=AD,连接BE,DE,证明△BAE≌△DAC, ∠ADE=∠AED=30°，得到CD=BE=7.∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°.由勾股定理可知 DE=VBE-BD2=VF-子=26.作A都⊥DE于点F,则DF=BF=DB=6, ∠ADE=∠AED=30°，进一步即可求出答案. (1)解：连接BD,BF, 70/78 D E 图2 ~四边形ABCD和四边形BEFG为正方形， BD=N2,BE-V2∠ABD=∠GBF=45」 A BG BF BD ·BGAB ∠ABG=∠FBD=45°-∠GBD ,.△ABGADBF DF_BD= AG AB ∴.DF=√2AG (2)略 (3)解：作∠DAE=∠BAC=120°，截取AE=AD,连接BE,DE, D A 图4 :∠BAE=∠DAC, AB=AC, .△BAE≌△DAC.∠ADE=∠AED=3O°， ∴.CD=BE=7,∠BDE=∠BDA+∠ADE=90° 六在RtEDB中，由勾股定理可知DE=VBE-BD=V7P-了-26 作AF⊥DE于点F,则DF-F-0E=6,.∠ADE=∠AD=30 2 71/78 3AD2=DF2=6 . AD=2V2 【变式2】(25-26九年级上四川成都期中)在四边形ABCD中，点EF分别是边AB、AD上的 点，连接CE、CF并延长，分别交BA、DA的延长线于点G、H. ①如图1，若四边形4BCD是菱形，ZBCF=BCD,求证：4C=4G:4H: (2)如图2，若四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°，BC=2,设AE=x,AG=y,求y与x的 函数关系式： (3)如图3，若四边形ABCD是矩形，AB:AD=1:2,∠ECF=45°，CG=CH,AH=7,求AG 的长 G 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是菱形， AACD=∠ACB=2BCD,MDBC,CD∥AB: .∠G=∠DCG,∠H=∠BCH. :LECF=∠BCD 2 ∴.∠ACD=∠ACB=∠ECF, .∠DCG=∠ACH,∠BCE=∠ACG. .∠G=∠ACH,∠H=∠ACG, .△ACG△AHC, 72/78 AC AG .AHAC· .AC2=AH-AG (2)y=8-4x 3)32+5 【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性 质等知识点，正确添辅助线构造相似三角形是解题的关键 AC AG (1)通过证明。4ACG∽△4HC可得AH=AC,进而证明结论： AC AG (2)通过证明△ACG∽△AHC可得AHAC，可得AC2=AH4G,通过证明AEAH∽AEBC可得 AE AH 2x B距BC,即12x,即可求y与x的函数关系式： (3)取BC中点M,过点M作MN∥BG交AD于点P,交CG于点N,连接CP,可证四边形 CDPM ACPN∽aHPC PH=2CP=2√2a 是正方形，由(2)可知 ，由相似三角形的性质可得 PW-r= 2a,可求4G的长. 解：(1)略 (2)解：如图：连接AC, ,四边形ABCD是正方形， :∠ACD=∠ACB=∠BCD=45,AD∥BC,CD∥AB, .∠G=∠DCG,∠H=∠BCH, ∠ECF=45°=∠BCD 2 73/78 .∠ACD=∠ACB=∠ECF, .∠DCG=∠ACH,∠BCE=∠ACG, .∠G=∠ACH,∠H=∠ACG, .△ACG∽△AHC, AC AG ·.AHAC, .AC2=AHAG」 BC=AB=2,∠B=90°， AC=2V2 22.y .AH22,即AB :BC∥AD」 .△EAH AEBC, B肱BC,即2：%，即4h-2 AE AH -x y=8=8=8-4红 2-x (3)解：如图：取BC中点M,过点M作MN∥BG交AD于点P,交CG于点N,连接CP, M 、P .MN∥BG. CM CN MN ·CB CG BG' M是BC中点， CM CN MN 1 CB CG BG 2' .BC=2CM,CG=2CN,BG=2MN. 74/78 .CG=CH ..CG=CH=2CN, :CD∥BA,MN∥BG .CDII MIN I BG. MC-DP-1. MB PA ∴DP=PA, AB:AD=1:2. .设AB=a=CD,AD=2a=BC, ..CM=a=CD. 又BC∥AD,∠D=90°， ∴.四边形CDPM是正方形， CP=Va :四边形CDPM是正方形，且∠GCH=45°， ∴.由(2)可得△CPV∽aHPC, PH CP CH =2, .CP PN CN pH=2r=2haPN-cr=5。 2 29, MN-a+ 2a.AH=PH-PA=2a-a' :AH=7, :7=25a-0,解得：a=22+1, w=251+22-2+6 2’AB=2√2+1 BG=2MN=52+6 :4G=BG-4B=52+6-(22+1)=3V2+5 【变式3】(25-26九年级上：北京期中)(1)如图，在△ABC中，BC=a,CA=b,△ABD是正三 角形，P是其中心，则CP的长度的最大值为一（用含有a,b的代数式表示）· 75/78 D b 9 B (2)知图，正方形DErG内接于AMBC,Saae=1,5x=3S=1Se .则 B G 【答案】 3(a+b) 4 【分析】本题主要考查三角形相似的判定与性质，掌握相似的判定与性质的应用是解题的关键. （)根据腿意，∠P1B=∠PBA=30,P-BP=5 D,作∠CAE=30,∠APE=∠ABC,可证 得到P,BC=AB-PE·即PE-CaC=5 AB=号BC,结合∠C4B=∠PAB=30°·可证得 △4CEsA8P,得到AC-BP=AB.CE·即CE=4CP=5 AB 3 C,再PE+CE≥CP即可求解. (2)作AN⊥BC交BC于N,交DE于M,设正方形DEFG边长为x,根据面积得到 AM=2,BG=-6,CF=2 DE AM x,再根据平行线段成比例得BC-AN,代入求解即可. 解：(1)P是其中心，则∠PAB=∠PBA=30°P=BP=3 作∠CAE=30°，∠APE=∠ABC 76/78 D P A 6 E Q B .∠CAB=∠EAP, ∴.CABAEAP ..AB_BC AP=PE,即APBC=AB.PE, :PE-AP.BC-Bc AB 3 AB AC 又APAE :∠CAE=∠PAB=30°， .△ACEP△ABP, CE AC ÷BP-AB,即AC.BN=AB:CE .CE-ACP5AC AB 3 又：PE+CE≥CP(当E在线段CP上时取等)， rsac+40)-9e+, 3, 故答案为： 3(a+b): (2)过A作AN⊥BC交BC于N,交DE于M,设正方形DEFG边长为x, A D Mi B G NF C SAADE=1 SARDG=3 S.CEF =1 77/78 5m-方AM=lSse-aG=38m分Cp-1, 2 解得AM=2,BG-5,CF-2 :DE∥BC, 2 :DE=AM,即6 ,22 +x+ …BC AN xx x +x' 2+x2=16 =+2,解得x=2, 小SE方形DG=x2=4 故答案为：4. 78/78