第三章 1 相似多边形-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

第三章 图形的相似 1相似多边形 第1课时线段的比和成比例线段 已课内基础闯关 际直线距离为m,B, 知识点① 线段的比 C两地的实际直线 400A 1.若一把矩形米尺长1m,宽3cm,则这把米尺 距离为，则的值 100 第6题图 的长与宽的比为 ( 为 A.100:3 B.1:3 7.如下图，已知矩形ABCD和矩形A'B'C'D', C.10:3 D.1000:3 AB=8 cm,BC=12 cm,A'B'=4 cm,B'C' 2.如图，C是线段AB上的一点，且AC:BC =6cm, =2:3,那么AB:BC等于 ( B 第2题图 A.2:3 B.5:3 C.3:2 D.3:5 I)求4B'和BC AB和BC 3.情境应用A,B两地的实际距离为250m.如 (2)线段A'B',AB,B'C',BC是成比例线段吗？ 果画在地图上的距离为5cm,那么地图上的 距离与实际距离的比为 知识点②成比例线段 4.(教材变式)如图，在△ABC 中，D是BC边上的点，AB =6,AC=10,BC=12,且 D 第4题图 AB BD AC=CD,则BD的长为 知识要点归纳 1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, 5.分类讨论思想有三条长度分别为1cm,4cm, CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就 8cm的线段，再添一条长度为 是它们长度的比，即AB:CD=m:n,或写成 的线段，能使这四条线段是 AB m 成比例线段 CD n 已课外拓展提高 2.成比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果a与 6.跨地理学科如图，一山上有三处观景台A, b的比等于c与d的比，即公=S 6= ,那么这四条线 B,C,且在同一直线上.A,B,C对应高度分 段a,b,c,d叫作成比例线段，简称比例线段 别为400m,200m,100m.设A,B两地的实 44 九年级数学BS版 第2课时 比例的基本性质和相似多边形 课内基础闯关 号 B c D. 知识点① 比例的基本性质 6.如图，在正方形ABCD中，E是 1.已知3a=2b(ab≠0)，则下列比例式成立的 对角线BD上的一点，BE=BC, 是 ( ) 过点E作EF⊥AB,EG⊥BC, B.6 3-2 垂足分别为F,G,则正方形FB 第6题图 c b3 D. GE与正方形ABCD的相似比为 7.如下图，四边形ABCD四边形A'B'CD'.求： 4,则十n 2.赋值法若”-3， 的值为 (1)∠B的度数. 5 7 (2)x,y的值. A.1 B. 7 C. D. P 969 变式题（2025一2026滁州定远检测)若 12 x-y_3 则的值为 A60° ( 12 1 1 N.2 B.- C.2 D.-2 知识点② 相似多边形的判定 3.下列说法正确的是 A.对应角相等的两个多边形相似 B.对应边成比例的两个多边形相似 C.边数相同的正多边形都相似 易错点忽视相似多边形对应关系的多种 D.有一组角对应相等的两个平行四边形相似 可能性 4.(教材变式)矩形甲、乙、丙的长和宽如图所 8.已知两个矩形相似，其中一个矩形的两邻 示（单位：cm),则其中是相似图形的是 边长为3和2，另一个矩形的两邻边长为4 和x,则x的值为 2.5 已课外拓展提高 第4题图 9.如图，正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE, A.甲和乙 B.乙和丙 AB:FG=2:3.下列结论正确的是( ) C.甲和丙 D.甲、乙和丙 A.2DE=3MN 知识点③相似多边形的性质及相似比 B.3DE=2MN 5.两个相似多边形一组对应边分别为3cm, C.3∠A=2∠F 第9题图 4.5cm,那么它们的相似比为 D.2∠A=3∠F 上册第三章 45 10.(2025一2026佛山顺德区检测)如图，将一 色综合能力提升 张矩形纸片ABCD沿它的长边对折(EF 13.如下图，四边形ABCD为平行四边形，AE 为折痕)，得到两个全等的小矩形.如果小 平分∠BAD交BC于点E,过点E作EF∥ 矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与 AB,交AD于点F,连接BF 短边的比，那么原来矩形的长边与短边的 (1)求证：BF平分∠ABC. 比值是 (2)若AB=6,且四边形ABCD∽四边形 CEFD,求BC的长. E 被称物 第10题图 第11题图 11.古代数学文化《九章算术》中记载，战国时 期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也 异于秤杆.铜衡杆正中有拱肩提纽和穿线 孔，一面刻有贯通上、下的十等分线.用该 铜衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提 纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个 砝码就可以称出大于它一倍或几倍质量的 物体.如图所示的是铜衡杆的使用示意图， 此时被称物质量是砝码质量的 倍。 12.-题多解法若号-，且口+6=14，求20 一b的值. 知识要点归纳 1.比例的基本性质：如吴分-司，那么d=: =c 如果ad三bc(a,b,cd都不等于0)，那么号 2.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两 个多边形叫作相似多边形 3.相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比， 4.相似多边形的性质：对应角相等、对应边成比 例；判定：各角对应相等且各对应边的比相等， 46 九年级数学BS版 第3课时 等比性质 色课内基础闯关 5.已知6+c=a+0=a+b=4,求2-21-1 b c 知识点等比性质 的值. 1.(2025一2026渭南期中)已知4= 6 (abcd≠ 0,c十d≠0)，下列等式成立的是 ) A号-色 B.=d b c c将- D.atd_6+d d 2.(2025-2026佛山南海区期中)若号-后 20+4≠0，则g+ +d的值是 3.一题多解法已知在四边形ABCD和四边形 AB BC CD DA AB'C'D'中，AB=BC'-CD-DA 4 7,且四边形ABCD的周长为24cm,求四边 1)若6-d≠0，求号的值。 (2)若2b+3d-4f≠0，求26+3d-4f 2a+3c-4e 形A'BCD'的周长， 的值. 已课外拓展提高 知识要点归纳 4.(教材变式)已知a,b,c,d,e,f六条线段满 足后-音号-名若6十4+1=3，则a+ 40》,郑授-吕 十e的值为 上册第三章 47△依题意，得64(1十x)2=100, 解得x1=0.25=25%,x2=一2.25（不合题意，舍 去). 故二、三月份销售量的月平均增长率为25%. (2)九【解析】(2)设该商品每件降价y元，则每件盈 利60-y-40=(20-y)元，月销售量为100+20×之 =(100+10y)件. 依题意，得(20-y)(100+10y)=2240. 整理，得y2一10y+24=0, 解得y1=4,y2=6. 又要尽可能让利于顾客，y=6, 002×10=0 故该店应按原销售单价的九折出售，使得月获利为 2240元. 11.A12.B13.22 14.解：(1)证明：，△=[一(2k+1)]2一4×1·(k2+k一 2) =4k2+4k十1一4k2一4k十8 =9>0, 方程有两个不相等的实数根。 (2),方程的两个实数根为x1,x2, .x1十x2=2k+1,x1x2=k+k-2. x1=2x22x2十x2=2k+1, ,-26中1.，-22%+D 3 3 4x1x2=k2+6-2=2(2k+1)2 9 整理得k2十k一20=0，解得k1=4,k2=-5. 故k的值为4或一5. 第三章图形的相似 1相似多边形 第1课时线段的比和成比例线段 boo09t'εazV巴 5.0.5cm或2cm或32cm【解析】设再添一条长度为 xcm的线段. 当<1时，片-g解得x=0.5: 4 14 当1≤x<4时，立=8，解得x=2: 当<<8时，-后解得x-2会去)： 当≥8时，-解得x=2 综上，再添一条长度为0.5cm或2cm或32cm的线 段，能使这四条线段是成比例线段， 6.2 7.解：(1)：AB=8cm,BC=12cm,A'B'=4cm,B'C'= 6 cm, :AB-4=1BC61 AB =8=2BC=122 A'B′1B'C'1 (2)由1)可知，AB=2BC=2, A'B'B'C' ·AB BC线段A'B,AB,B'C',BC是成比例 线段. 第2课时比例的基本性质和相似多边形 1.D2.D变式题B 3.c4c5.A6号 7.解：(1)四边形ABCD四边形A'B'C'D',∴.∠C= ∠C'=135, ∴.∠B=360°-135°-96°-60°=69°. (2)四边形ABCD四边形A'B'CD', 0指瓷 :12y-6 127,解得x=4y=18. 8.6或 9.B 10反【解标1根据慰意，得AE=AB,记铝 将AE-名AB代人记- AD=2, 解得铝-区 11.1.2【解析】由题意，得5m被称物=6m熊码，∴.m被称物： m低翳=6：5=1.2. 12.解：号-子 3 ∴.设a=3k,则b=4k. 由a十b=14,得3k+4k=14,解得k=2, ∴.a=6,b=8,故2a-b=12-8=4. 》一题多解法《 b4: 3 a= 46. a+b=14, .三b+b=14,解得b=8,则a=6,故2a-b=2 -8=4. 13.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, ∴.∠FAE=∠AEB. EF∥AB, '.四边形ABEF是平行四边形， AE平分∠BAD, ∴.∠FAE=∠BAE, ∴.∠BAE=∠AEB, ∴.AB=EB, 上册详解详析 23 四边形ABEF是菱形， ∴.BF平分∠ABC. (2),四边形ABEF为菱形， .BE=EF=AB=6. AB BC ,四边形ABCD四边形CEFD,. CE EF ,即 6 BC BC-66, 解得BC=3+3√5（负值已舍去）， .BC=3+35. 第3课时 等比性质 1.C2.2 AB BC CD DA 4 3.解：“AB=BC=CD=DA=7' AB+BC+CD+DA 4 “AB+BC+CD+DA=7 ,四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD 24cm, 24 4 六A'B+B'C牛CD+DA=7' .A'B'+B'C'+C'D+A'D'=42cm, ∴.四边形A'B'C'D'的周长为42cm. ◆一题多解法《 AB BC CD DA 4 “AB=BC =C'D=DA=7 4 7C'D'.AD .AB-4ABBC-7B'CCD= 4 =7A'D, ,四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD =24cm, 4 .AB+BC+CD+AD-7(A'B'+B'C'+C'D' +A'D')=24cm, A'B'+B'C+C'D'+A'D'= 4 ×24=42 (cm), ∴.四边形A'B'C'D'的周长为42cm. 4号 5.解：分两种情况讨论：①当a十b十c≠0时. ..btc_a+c_atb 2(a+b+c2=2, =t a b c a+b+c .t2-21-1=22-2×2-1=-1. ②当a+b+c=0时，b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c, :btc_atc_atb =1=-1 b ∴.t2-21-1=(-1)2-2×(-1)-1=2. 综上所述，t2一2t一1的值为一1或2. 6解：1号--号--6-d≠0 24 九年级数学BS版 .a-c2 …6-d51 e 2 2a+3c-4e2 +3d-4f≠0，心26+3d-4f-5 2探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 1.B2.A3.A变式题D4.A 5.C【解析】·∠ADE=∠C,∠A=∠A, △ADEAACB.÷C-A据即子-S 46 解得AE=3. 6.△ACD和△CBD 2 7.3【解析】：△ABC是等边三角形，∠B=∠C= 60°.∠APC=∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD, ∠B=∠APD=60°，.∠BAP=∠CPD.∠B= ∠C,-△ABP∽APCD,PC=CD.PC=BC 2 BP3-1=2,AB=3,3=CDCD3 8.解：(1)证明：四边形ABCD为菱形， ∴.∠ACD=∠BCA. ,∠ACD=∠ABE, ∴.∠BCA=∠ABE. ,∠BCA=∠EBA,∠CAB=∠BAE, ∴.△ABC∽△AEB. (2)'△ABC△AEB, AB AC AEAB' AB=6,AC=4, 64 AE=6' .AE=9. 9.4【解析】共有4对相似三角形：△ABC∽△CDA, △ABE∽△GCE,△GDAC∽△GCE,△GDAc∽△ABE. 10.-1【解析】如图，过点A作AG⊥y A↑ 轴，过点C作CF⊥y轴，垂足分别为 G,F. B 由题意知，∠ABG=∠CBF,∠AGB= 10 ∠CFB=90°，'.△AGB∽△CFB, 既需g%a(-2 B(0,1), AG=2:BG=5-1-4.CF-AG-2 F 1-n=2,2m-n=-1. 一m 11.解：(1)证明：：AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠CAB. ∠ADC=∠ACB=90°，.△ADC∽△ACB,