第二章 应用技巧专题 一元二次方程在实际问题中的应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

整理，得x2-50x十600=0， 解得x1=20,x2=30. 当x=20时，2x=40<100: 当x=30时，2x=60<100, .x=20和x=30均符合题意. 故当爬行20s或30s时，两只老鼠与点O组成的三角 形的面积为1800cm. 第2课时一元二次方程在营销 及其他问题中的应用 1.C【解析】设月平均增长率为x. 根据题意，得200(1十x)=288, 整理，得(1十x)2=1.44, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（舍去）， .月平均增长率为20%. 2.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x. 依题意，得128(1十x)2=288, 解得x1=0.5=50%,x2=一2.5（不合题意，舍去）. 故进馆人次的月平均增长率为50%. (2)学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次.理由 如下： ,进馆人次的月平均增长率为50%， ∴.第四个月的进馆人次为288×(1十50%)=432. 432>400, ∴学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次。 3.C4.(x+16)(200-5x)=12005.B变式题6 6.2.45 7.6【解析】设李白早餐饮酒x斗，则午餐饮酒(x+1) 斗，晚餐饮酒(x+2)斗.根据题意，得x(x十1)十(x十 1)(x+2)+x(x+2)=146,解得x1=6,x?=-8(不 合题意，舍去).故李白早餐饮酒6斗· 8.D 9.解：(1)m=5.x+50 (2)当1≤x≤30时，(43一18)(5.x十50)=4250，解得 x=24; 当31≤x≤50时，（-2x+55-18）(5x+50) =4250. 整理，得x2一64x十960=0， 解得x1=24(不合题意，舍去)，x2=40. 故超市在第24天或第40天销售该种水果可获利 4250元. 10.解：(1)2010 (2)设再次购进m个A款钥匙扣，则再次购进(80一 m)个B款钥匙扣. 依题意，得30m十25(80-m)≤2200， 解得m≤≤40. 设再次购进的A,B两款钥匙扣全部售出后获得的总 销售利润是心元， 则=(45一30)m+(37一25)(80-m)=3m+960. .3>0, ∴.心随m的增大而增大， .当m=40时，心取得最大值，最大值为3×40十960 =1080,此时80一m=80-40=40. 故当再次购进40个A款钥匙扣、40个B款钥匙扣时， 才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元. (3)设将B款钥匙扣的销售价定为a元/个，则每个的 销售利润是(a一25)元，平均每天可售出4十2(37 a)=(78-2a)个. 依题意，得(a一25)(78一2a)=90. 整理，得a2一64a+1020=0, 解得a1=30,a2=34. 故将B款钥匙扣的销售价定为30元/个或34元/个 时，能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元. 【解析】(1)设购进A款钥匙扣x个、B款钥匙扣 y个. 依题意，得口十y=30, 得30x+25y=850.解得V=10, 故购进A款钥匙扣20个、B款钥匙扣10个. 应用技巧专题一元二次方程在 实际问题中的应用 1.B【解析】设这两个数中较大的数为x,则较小的数为 (x-1). 依题意，得x(x-1)=132,解得x1=12,x2=-11(不 合题意，舍去)， .这两个数中较大的数为12. 2.13或一13【解析】设较小的整数为x,则较大的整数 为(x+1). 依题意，得x(x+1)=42. 整理，得x2十x一42=0， 解得x1=6,x2=一7. 当x=6时，x+(x+1)=6+(6+1)=13: 当x=-7时，x+(x+1)=-7+(-7+1)=-13. 综上所述，这两个数的和为13或一13. 3.92或29【解析】设这个两位数个位上的数字为x,则 十位上的数字为(11-x). 依题意，得x2十(11-x)2=85. 整理，得x-11x十18=0， 解得x1=2,x2=9. 故这个两位数是92或29. 4.解：设这个最小数为x,则最大数为(x十8). 依题意，得x(x十8)=84. 整理，得x2+8.x-84=0, 解得x1=6,x2=一14（不合题意，舍去）. 故这个最小数为6. 5.解：设周瑜逝世的年龄的个位上的数字为x,则十位上 的数字为x一3. 根据题意，得10(x-3)十x=x2,解得x1=5,x2=6. 当x=5时，周瑜逝世的年龄是25岁. ,而立之年为三十岁，25<30，∴不符合题意，舍去 当x=6时，周瑜逝世的年龄是36岁，符合题意. 故周瑜逝世的年龄是36岁. 6.B【解析】设运动时间为ts,则BP为(8一t)cm,BQ 为2tcm, 上册详解详析 21个 1 Sapo=2(8-)·21=15, 解得t1=3,t2=5. BC=6cm,6÷2=3(s), .t≤3，.t=3. 故运动时间为3s 7.解：(1)设AB的长为xm, 则AD=(36-2x)m.依题意，得x(36-2x)=160, 解得x1=10,x2=8. 当x=10时，AD=36-2×10=16<18,符合题意； 当x=8时，AD=36-2×8=20>18,不符合题意， 舍去 故养鸡场的长为16m,宽为10m (2)设每只鸡的售价降低y元，则每只鸡的售价定为 (65-y)元 依题意，得(65-y-35)(40+4y)=1600, 解得y1=y2=10,此时65-y=55. 故每只鸡的售价应定为55元. 8.解：(1)y=-2x+240 (2)依题意，得(x-30)(-2x十240)=4000. 整理，得x2一150x十5600=0， 解得x1=70,x2=80. 当x=70时，-2x十240=-2×70+240=100， 则成本为100×30=3000（元）. .3000>2500,.不符合题意，舍去 当x=80时，-2x+240=-2×80+240=80, 则成本为80×30=2400（元）. 2400<2500,.符合题意 故销售价格应定为80元/kg. 9.解：(1)899-219-22×4=592（元）. 故使用优惠券后该电动牙刷每把的购买价格是 592元. (2)设优惠券1应设置为每满200元减x元，则使用优 惠券后该电动牙刷每把的购买价格为899一219一4x= (680-4x)元，日销售量为600+5(x-20)=(500+ 5x)把. 依题意，得(680-4x)(500十5.x)=364000. 整理，得x2一70x+1200=0,解得x1=30,x2=40. 故优惠券1应设置为每满200元减30元或每满200 元减40元. 章末对点导练 1.A2.20213.10 4.解：(1)移项，得x2+4x十4=0. 配方，得(x十2)2=0， 解得x1=x2=一2 (2)移项，得2x2-2.x-1=0. .△=(-2)2一4×2×(-1)=12>0， “x=-（-2)±21±3 4 2 1+51-3 x1= 2 ,x2= 2 122 九年级数学BS版 (3)原方程可变形为2x2-5x十3=0. .b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1>0, 5±√_5±1 ∴x 2×24· 3 六x=2x=1 一题多解法《 (3)移项，得2x(x-1)-3(x-1)=0. 提取公因式(x-1),得(x-1)(2x-3)=0, 即x-1=0或2x一3=0， 3 解得x1=1x=2 5.解：令2x一5=y,则原方程可化为y2+4y+3=0, 解得y1=-1,y2=一3. 当y=-1时，2.x-5=-1,解得x=2; 当y=-3时，2x-5=-3,解得x=1. 故原方程的解为x1=1,x2=2. 6.A【解析】，(k一3)☒x=k-1, .x2-(k-3)x=k-1, .x2-(k-3)x-k+1=0, .△=[-(k-3)]2-4(-k+1)=(k-1)2+4>0, .关于x的方程(k一3)☒x=k一1有两个不相等的实 数根. 7.解：原方程有两个相等的实数根， ∴.k≠0且△=0，即16k2一4k(k-5)=0, 解得k=3,k,=0(不合题意，舍去)》 “原方程可化为-号+-公-0，即-4红十4 =0,解得x1=x2=2. 变式题C【解析1”一元二次方程mr-2z十号=0 无实数根， 1 ∴△=(-2)2-4m·2=4-2m<0,解得m>2. 8.解：(1)证明：由题意，得a=1,b=-(k+3),c=3k, ∴.△=b2-4ac=[-(k+3)]2-4×3k=k2-6k十9= (k-3)2≥0， .无论k取何值，该方程总有两个实数根， (2)x1=2,x2=3 【解析】(2)：该方程有两个根x1,x2, .x1十xg= b=-=(k+3》=5, a 1 解得k=2, ∴原方程为x2-5x十6=0，即(x-2)(x-3)=0, 解得x1=2,x2=3. 9.B【解析】这批椽的数量为x株，每株椽的运费为3 文，少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的 价格，.1株椽的价格为3(x一1)文.依题意，得 3(x-1)x=6210,解得x1=46,x2=-45(不合题意， 舍去).故x的值为46. 10.解：(1)设二、三月份销售量的月平均增长率为x.应用技巧专题 一元二次方程在实际问题中的应用 题型① 数字问题 十位恰小个位三，个位平方与寿符： 1.(教材变式)已知两个相邻自然数的积是 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 132,则这两个数中较大的数是 ( A.11 B.12 C.13 D.14 2.已知两个连续整数的积为42，则这两个数的 和为 3.一个两位数的个位上的数字与十位上的数字的 和为11，并且个位上的数字与十位上的数字的 平方和为85，则这个两位数是 题型② 几何图形问题 4.2025年7月1日是中国共产党成立104周 6.（教材变式)如图，在 年，在该月月历表上可以用一个方框圈出4 △ABC中，∠ABC=90°， 个数（如下图所示）.若圈出的4个数中，最 AB=8cm,BC=6cm.动 小数与最大数的乘积为84，求这个最小数. 点P,Q分别从点A,B同A 2025年07月 时开始移动，点P的速度 第6题图 日一二三四五六 12345 建党节 为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,点Q移动 6789101112 13141516171819 到点C时停止，点P也随之停止运动.若 20212223242526 2728293031 △PBQ的面积为15cm,则运动时间为 () A.2s B.3s C.4s D.5s 7.(2025一2026佛山顺德区检测)如下图，某农 户准备利用一面长为18m的墙，用总长度 为36m的篱笆围成一个矩形养鸡场.养鸡 场的一边靠墙，另三边用篱笆围起来，围成 矩形的养鸡场四周不能有空隙。 (1)若要围成养鸡场的面积为160m2,求养 鸡场的长和宽. 5.跨语文学科子日：“吾十有五而志于学，三 十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而 耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.” 读诗歌，列方程解题： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 40 九年级数学BS版 (2)某超市购进该农户养的鸡，其成本价为9.情境应用“双十一”活动期间，某旗舰店优 每只鸡35元.该超市计划以每只鸡65元的 惠活动如图①所示，现该旗舰店促销一款标 价格出售，预计每天可售出40只.经过市场 价为899元/把的电动牙刷.根据图①的优 调查发现，售价每降低1元，每天可多售出4 惠活动，给出的优惠明细如图②所示。 只鸡.若该超市希望每天销售鸡的利润达到 优惠明细 优惠券 满减券 每满200减20 ￥600 1600元，则每只鸡的售价应定为多少元？ ￥20 当前购买价格 优惠券2店铺商品券 满599使用 当前购买可使用以下优惠： ￥219 899-219-80=600 说明 标价商品券满减券 1.优惠券根据标价优惠. 满599每满200 2.以上优惠券可叠加使用 减219减20 图① 图② 按上述优惠，平均每天可卖600把电动牙 刷，通过市场调查发现，不改变优惠券2的 情况下，若优惠券1每满200元多减1元，日 销售量增加5把（如每满200元多减1元，即 每满200元减21元，电动牙刷的日销售量为 题型③ 销售问题 605把). 8.某商店以30元/kg的价格新进一批茶叶，经 (1)优惠券1设置为每满200元减22元，则 调查发现，在一段时间内，销售量y(单位： 使用优惠券后该电动牙刷每把的购买价格 kg)与销售价格x(单位：元/kg)之间的函数 是多少元？ 关系如下图所示. (2)若要使日销售总额达到364000元，则优 (1)根据图象，写出y与x的函数关系式： 惠券1应设置为每满200元减多少元？ (2)商店想在销售成本不超过2500元的情 况下，使销售利润达到4000元，则销售价格 应定为多少？ y/kg 160 040120x元kg) 上册第二章 41△