第二章 一元二次方程 章末对点导练-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

章末对点导练 已单元考点整合 5.整体思想阅读下列材料： 考点①一元二次方程及相关概念 解方程(x一1)2一5(x一1)十4=0时，可以 将(x一1)看成一个整体.令x一1=y,则原 1.(2025一2026北安检测)关于x的一元二次 方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2 方程3x2一2x+5=0的二次项系数和一次 =4.当y=1时，x-1=1,解得x=2;当y 项系数分别是 ( =4时，x一1=4，解得x=5.故原方程的解 A.3,-2 B.3,2 为x1=2,x2=5. C.3,5 D.5,2 请利用上述方法解方程：(2x一5)2一4(5 2.若x=3是关于x的方程a.x2一bx=6的解， 2x)+3=0. 则2025-6a+2b的值为 考点②一元二次方程的解法 3.数形结合思想若一元二次方程x2一14x十 48=0的两个根分别是一矩形的两邻边长， 则该矩形对角线的长为 4.解下列方程： 考点③ 一元二次方程根的判别式及根与系 (1)x2+4x=-4. 数的关系 6.新定义题对于实数a,b定义运算“☒”为a ⑧b=b2-ab,例如3☒2=22-3×2=一2. 关于x的方程(k一3)☒x=k一1的根的情 况，下列说法正确的是 () (2)2x2-x=x+1. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 7.已知关于x的方程kx2一4kx十k一5=0有 两个相等的实数根，解这个方程. (3)一题多解法2x(x一1)=3(x-1). 442 九年级数学BS版 该店应按原销售单价的 折出 变式题已知关于x的一元二次方程mx 售，使得月获利为2240元. -2x十号-0无实数根，则实数m的取值 范围是 ( A.m<2 B.m≠0 C.m>2 D.m<2且m≠0 已中考真题演练 8.（2025一2026宿州埇桥区检测)已知关于x 11.(2026遂宁)关于x的一元二次方程x2+ 的方程x2一(k十3)x十3k=0. m.x一1=0的根的情况是 (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实 A.有两个不相等的实数根 数根。 B.有两个相等的实数根 (2)若该方程的两个根为x1,x2,且x1十x2 C.没有实数根 5,此时该方程的根为 D.无法确定 12.(2025重庆)某景区2022年接待游客25万 人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024年接待游客达到36万人，那么该景区 这两年接待游客的年平均增长率为() 考点④一元二次方程的应用 A.10%B.20%C.22%D.44% 9.古代数学文化我国古代著作《四元玉鉴》记13.(2026凉山)已知一元二次方程x2+4x一3 载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人 =0的两根是x1,x2,则x12十x22的值为 去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株 椽.”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的 14.(2026南充)关于x的一元二次方程x2一 价格为6210文.如果每株椽的运费为3文， (2k+1)x+k2+k-2=0. 那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等 (1)求证：方程有两个不相等的实数根. 于1株椽的价格.问6210文能买多少株椽. (2)已知方程的两个实数根分别为x1,x2, 设这批椽的数量为x株，则x的值为( 且x1=2x2,求k的值， A.45 B.46C.47 D.48 10.应用意识某店今年初以每件40元的进价 购进一批商品，当商品的销售单价为60元 时，一月份销售64件，二、三月份该商品销 售量持续增长.在销售单价不变的基础上， 三月底的销售量达到100件. (1)求二、三月份销售量的月平均增长率. (2)从四月份起，该店决定采用降价促销. 经调查发现，该商品每降价2元，销售量增 加20件.为尽可能让利于顾客，赢得市场， 上册第二章 43△1 Sapo=2(8-)·21=15, 解得t1=3,t2=5. BC=6cm,6÷2=3(s), .t≤3，.t=3. 故运动时间为3s 7.解：(1)设AB的长为xm, 则AD=(36-2x)m.依题意，得x(36-2x)=160, 解得x1=10,x2=8. 当x=10时，AD=36-2×10=16<18,符合题意； 当x=8时，AD=36-2×8=20>18,不符合题意， 舍去 故养鸡场的长为16m,宽为10m (2)设每只鸡的售价降低y元，则每只鸡的售价定为 (65-y)元 依题意，得(65-y-35)(40+4y)=1600, 解得y1=y2=10,此时65-y=55. 故每只鸡的售价应定为55元. 8.解：(1)y=-2x+240 (2)依题意，得(x-30)(-2x十240)=4000. 整理，得x2一150x十5600=0， 解得x1=70,x2=80. 当x=70时，-2x十240=-2×70+240=100， 则成本为100×30=3000（元）. .3000>2500,.不符合题意，舍去 当x=80时，-2x+240=-2×80+240=80, 则成本为80×30=2400（元）. 2400<2500,.符合题意 故销售价格应定为80元/kg. 9.解：(1)899-219-22×4=592（元）. 故使用优惠券后该电动牙刷每把的购买价格是 592元. (2)设优惠券1应设置为每满200元减x元，则使用优 惠券后该电动牙刷每把的购买价格为899一219一4x= (680-4x)元，日销售量为600+5(x-20)=(500+ 5x)把. 依题意，得(680-4x)(500十5.x)=364000. 整理，得x2一70x+1200=0,解得x1=30,x2=40. 故优惠券1应设置为每满200元减30元或每满200 元减40元. 章末对点导练 1.A2.20213.10 4.解：(1)移项，得x2+4x十4=0. 配方，得(x十2)2=0， 解得x1=x2=一2 (2)移项，得2x2-2.x-1=0. .△=(-2)2一4×2×(-1)=12>0， “x=-（-2)±21±3 4 2 1+51-3 x1= 2 ,x2= 2 122 九年级数学BS版 (3)原方程可变形为2x2-5x十3=0. .b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1>0, 5±√_5±1 ∴x 2×24· 3 六x=2x=1 一题多解法《 (3)移项，得2x(x-1)-3(x-1)=0. 提取公因式(x-1),得(x-1)(2x-3)=0, 即x-1=0或2x一3=0， 3 解得x1=1x=2 5.解：令2x一5=y,则原方程可化为y2+4y+3=0, 解得y1=-1,y2=一3. 当y=-1时，2.x-5=-1,解得x=2; 当y=-3时，2x-5=-3,解得x=1. 故原方程的解为x1=1,x2=2. 6.A【解析】，(k一3)☒x=k-1, .x2-(k-3)x=k-1, .x2-(k-3)x-k+1=0, .△=[-(k-3)]2-4(-k+1)=(k-1)2+4>0, .关于x的方程(k一3)☒x=k一1有两个不相等的实 数根. 7.解：原方程有两个相等的实数根， ∴.k≠0且△=0，即16k2一4k(k-5)=0, 解得k=3,k,=0(不合题意，舍去)》 “原方程可化为-号+-公-0，即-4红十4 =0,解得x1=x2=2. 变式题C【解析1”一元二次方程mr-2z十号=0 无实数根， 1 ∴△=(-2)2-4m·2=4-2m<0,解得m>2. 8.解：(1)证明：由题意，得a=1,b=-(k+3),c=3k, ∴.△=b2-4ac=[-(k+3)]2-4×3k=k2-6k十9= (k-3)2≥0， .无论k取何值，该方程总有两个实数根， (2)x1=2,x2=3 【解析】(2)：该方程有两个根x1,x2, .x1十xg= b=-=(k+3》=5, a 1 解得k=2, ∴原方程为x2-5x十6=0，即(x-2)(x-3)=0, 解得x1=2,x2=3. 9.B【解析】这批椽的数量为x株，每株椽的运费为3 文，少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的 价格，.1株椽的价格为3(x一1)文.依题意，得 3(x-1)x=6210,解得x1=46,x2=-45(不合题意， 舍去).故x的值为46. 10.解：(1)设二、三月份销售量的月平均增长率为x. 依题意，得64(1十x)2=100, 解得x1=0.25=25%,x2=一2.25（不合题意，舍 去). 故二、三月份销售量的月平均增长率为25%. (2)九【解析】(2)设该商品每件降价y元，则每件盈 利60-y-40=(20-y)元，月销售量为100+20×之 =(100+10y)件. 依题意，得(20-y)(100+10y)=2240. 整理，得y2一10y+24=0, 解得y1=4,y2=6. 又要尽可能让利于顾客，y=6, 002×10=0 故该店应按原销售单价的九折出售，使得月获利为 2240元. 11.A12.B13.22 14.解：(1)证明：，△=[一(2k+1)]2一4×1·(k2+k一 2) =4k2+4k十1一4k2一4k十8 =9>0, 方程有两个不相等的实数根。 (2),方程的两个实数根为x1,x2, .x1十x2=2k+1,x1x2=k+k-2. x1=2x22x2十x2=2k+1, ,-26中1.，-22%+D 3 3 4x1x2=k2+6-2=2(2k+1)2 9 整理得k2十k一20=0，解得k1=4,k2=-5. 故k的值为4或一5. 第三章图形的相似 1相似多边形 第1课时线段的比和成比例线段 boo09t'εazV巴 5.0.5cm或2cm或32cm【解析】设再添一条长度为 xcm的线段. 当<1时，片-g解得x=0.5: 4 14 当1≤x<4时，立=8，解得x=2: 当<<8时，-后解得x-2会去)： 当≥8时，-解得x=2 综上，再添一条长度为0.5cm或2cm或32cm的线 段，能使这四条线段是成比例线段， 6.2 7.解：(1)：AB=8cm,BC=12cm,A'B'=4cm,B'C'= 6 cm, :AB-4=1BC61 AB =8=2BC=122 A'B′1B'C'1 (2)由1)可知，AB=2BC=2, A'B'B'C' ·AB BC线段A'B,AB,B'C',BC是成比例 线段. 第2课时比例的基本性质和相似多边形 1.D2.D变式题B 3.c4c5.A6号 7.解：(1)四边形ABCD四边形A'B'C'D',∴.∠C= ∠C'=135, ∴.∠B=360°-135°-96°-60°=69°. (2)四边形ABCD四边形A'B'CD', 0指瓷 :12y-6 127,解得x=4y=18. 8.6或 9.B 10反【解标1根据慰意，得AE=AB,记铝 将AE-名AB代人记- AD=2, 解得铝-区 11.1.2【解析】由题意，得5m被称物=6m熊码，∴.m被称物： m低翳=6：5=1.2. 12.解：号-子 3 ∴.设a=3k,则b=4k. 由a十b=14,得3k+4k=14,解得k=2, ∴.a=6,b=8,故2a-b=12-8=4. 》一题多解法《 b4: 3 a= 46. a+b=14, .三b+b=14,解得b=8,则a=6,故2a-b=2 -8=4. 13.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, ∴.∠FAE=∠AEB. EF∥AB, '.四边形ABEF是平行四边形， AE平分∠BAD, ∴.∠FAE=∠BAE, ∴.∠BAE=∠AEB, ∴.AB=EB, 上册详解详析 23