期中复习专题4——中考真题专项训练- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

期中复习专题4——中考真题专项训练 一、单选题 1．（2024·广东潮州·中考真题）一元二次方程，其中a，b，c的值分别是（   ） A．2，， B．2，，3 C．2，3， D．2，3，7 2．（2026·海南·中考真题）如图，要使是矩形，需要增加的条件是（     ） A．与互相平分 B． C． D． 3．（2025·西藏林芝·中考真题）方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 4．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东佛山·中考真题）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 6．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江温州·中考真题）如图，在中，为的中点，为靠近点的三等分点，与交于点．过点作内角平分线的平行线交于点，则（   ） A． B． C． D． 9．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 10．（2026·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______． 12．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 13．（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 14．（2025·四川资阳·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为______． 15．（2026·江苏盐城·中考真题）如图1，一束激光通过玻璃砖时传播路径发生改变．图2是其部分光线示意图，其中四边形是矩形，点，分别在边，上，．若，则的度数为__________． 16．（2025·浙江·中考真题）如图，，，点在边上，，，分别交于点，．若，则__________（用含的式子表示）． 17．（2026·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．    18．（2026·辽宁鞍山·中考真题）如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，，，则的长为____．        三、解答题 19．（2024·江苏常州·中考真题）解方程： （1）； （2）． 20．（2026·广东清远·中考真题）如图，四边形是一个边长为1的正方形，是延长线上的一点，且． （1）求的度数． （2）若与相交于点，求线段的长． 21．（2025·浙江杭州·中考真题）已知方程与有一个公共根，设它们另两个根分别为． （1）求的值． （2）的积是否有最大值？若有，请求出；若没有，请说明理由． 22．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中，是的中点．分别延长 ， 交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的周长． 23．（2025·浙江温州·中考真题）如图，在中，于点为的中点，过作交直线于点．求证：． 24．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习专题4一一中考真题专项训练 一、单选题 1.(2024广东潮州中考真题)一元二次方程2x2-7+3x=0,其中a,b,c的值分 别是() A.2,-7,-3 B.2,-7,3 C.2,3,-7 D.2,3,7 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式为x+bx+c=0(a≠0)，解答即可. 本题考查了一元二次方程的一般形式'+bx+c=0(a≠0)及其相关概念，熟练掌握定义是解 题的关键 解：由2x2-7+3x=0. 得a=2,b=3,c=-7, 故选：C. 2.(2026·海南中考真题)如图，要使口ABCD是矩形，需要增加的条件是() A.AC与BD互相平分 B.AB=AD C.AC=BD D.AC⊥BD 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质与判定即可知道答案. 解：A、AC与BD互相平分是ABCD的性质，不能额外证明是矩形，错误； B、AB=AD是邻边相等，邻边相等的口ABCD是菱形，错误： C、AC=BD是对角线相等，对角线相等的口ABCD是矩形，正确： D、AC⊥BD是对角线互相垂直，对角线互相垂直的口ABCD是菱形，错误. 3.(2025·西藏林芝·中考真题)方程ax2-6x+9=0有实数根，则a的取值范围是 （) A.a≤1且a≠0B.a≥1且a≠0 C.a≥1 D.a≤1 【答案】D 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握一元二次方程根的判 别式 方程有实数根，需考虑二次项系数是否为0.当a=0时，方程变为一次方程，有实数根：当 a≠0时，判别式非负， 解：：方程a2-6x+9=0有实数根， 当a=0时，方程为6x+9=0, 3 解得：x= 2 有实数根： 当a≠0时，方程a2-6x+9=0为一元二次方程， ,方程ax2-6x+9=0有实数根， .△=(6)}2-4-a.9=36-36a≥0， .36≥36a. 即a≤1， 综上，a的取值范围是a≤1， 故选：D 4.(2025四川雅安中考真题)如图，直线分别交直线，于点A,B, C,D,E,F,已知AB=2,BC=4,DE=3,则EF的长是() D B E F A.3 B.4 C.4.5 D.6 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可. 解：吗， AB DE ·BCEF' AB=2,BC=4,DE=3, 23 4EF' .EF=6 5.(2025广东佛山中考真题)若x,是方程x2+x-6=0的两个根，则 x--的值为（) A.6 B.-6 C.4 D.-5 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系.对于一元二次方程a心2+bx+c=0 的两个根西：马满足4+名=台、45台·先根据根与系数的关系求出5十5和45的值。再 将x2+x转化成(：+x)-2x,然后将x+x2和x为的值代入即可得解. 解：，，七是方程x2+x-6=0的两个根， +，=6， 1 ∴.xx2-为1-2 =xx2-（x+x2) =6-(-1) =-5, 故选：D 6.(2025·内蒙古中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别 是O(0,0),A(2,),B(L,2),以原点0为位似中心，在第三象限画△OAB与△OAB位 似，若△OAB与△OAB的相似比为2：1，则点A的对应点A的坐标为() B A.（-2,-) B.（4,-2) C.(-1,-2) D.(-2,4) 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关 键.利用相似比为2：1，A(2,1),直接利用相似比可得出坐标. 解：：△OAB'与△OAB位似，相似比为2：1， .OB:OB'=1:2=0A:OA', A(2,),位似中心为原点O, .A'(-4,-2）, 故选：B。 7.(2026河北中考真题)如图，在四边形ABCD中，ADI‖BC,BC=3AD,过点 A作AEI DC交BC于点E,将△ABE沿AE翻折，得到△ABE.B'A,B'E分别与直线 DC交于M,N两点，则△MB'N与△ABE的面积之比为() A B.3 c.4 【答案】C 【分析】首先证明四边形AECD是平行四边形，得到AD=EC,推出BE=2EC,由折叠得， E=BE'S=SE'∠BEA=∠BEA'得到EN=B'N=2B'E，,证明EMN2AR4F,盆 后利用相似三角形的性质求解. 解：：AD‖BC,AEI DC .四边形AECD是平行四边形 ∴.AD=EC ∴.BC=3AD=3EC=BE+EC ∴.BE=2EC 由折叠得，BE=B'E,SMBE=SMBE,∠BEA=∠B'EA .AE DC .∠ENC=∠B'EA,∠BEA=∠C .∴.∠ENC=∠C .∴.EN=EC .B'E=BE=2EN :EN-B'N-IBE AEI DC ∴.∠B'MN=LB'AE,∠B'NM=∠B'EA ∴.△B'MNSAB'AE S.FMN S.WAL1 .S BAE 4 8.(2025浙江温州中考真题)如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,D为AB的中点， E为AC靠近点C的三等分点，BE与CD交于点M,过点M作∠A内角平分线的平行 线交AC于点N,则AN=() B 4 A. 5 6 3 B. 4 C. 7-6 D. 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线截线段成比例的计算方法是解题的关 键。 如图，过点A作∠BAC的平分线，交CD于点G,过点D作DF∥BE,交AC于点F,可得， 0=m-8-v=w0,c=是D,器6由t爱兴 CN CM ,根系4N=4C-CW-即可求解， CN=1 解：如图，过点A作∠BAC的平分线，交CD于点G,过点D作DF∥BE,交AC于点F, G M AD AF CE CM BD FE'FE DM' :D为AB中点， AD=BD=403 2 .AF=FE, ,E为靠近点C的三等分点， :.CE=AF=FE, 1 ..CM=DM=CD, :AG平分LBAC, ∴点G到AD,AC的距离相等， S.uCGCG AC48 S.ADG DG AD 33, 2 :.CG-8CD. 11 CM_11 CG16' :MN∥AG. CN CM ACCG· ..CN-11 ·AN=AC-CN= 4 故选：B 9.(2024广西中考真题)如图，边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为 各边中点，连接AG,BH,CE,DF,交点分别为MN,P,Q,那么四边形 MNP2的面积为() A.1 B.2 C.5 D.10 【答案】C 【分析】先证明四边形MNP巴是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出DO=P, AM=QM,证明△ADG≌aBAH(SAS)得出∠DAG=∠ABH,则可得出∠QMN=∠AMB=90°，同 理∠AQD=90°，得出平行四边形MNP9是矩形，证明△ADO≌aBAM(AAS),得出DQ=AM ,进而得出D0=AM=PO=OM,得出矩形MNP2是正方形，在Rt△ADQ中，利用勾股定理求 出M2=5,然后利用正方形的面积公式求解即可. 解：，四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=DA,AB∥CD,AD∥BC,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， E,F,G,H分别为各边中点， .CG=DG=CD=AH.AE=4B, ∴，DG=CG=AE, “.四边形AECG是平行四边形， .AG∥CE, 同理DFI‖BH, “四边形MNP卫是平行四边形， .AG∥CE, D№_DG-1, :PO CG .D0=P№， 同理AM=OM, ,DG=AH,∠ADG=∠BAH=90°，AD=BA, .△ADG≌aBAH(SAS), ,∠DAG=∠ABH, :∠DAG+∠GAB=90°， .∠ABH+∠GAB=90°， ∴.∠QMN=∠AMB=90°，同理∠AQD=90°， ,平行四边形MNPO是矩形， :∠A0D=∠AMB=90°，∠DAG=∠ABH,AD=BA, .△ADO≌aBAM(AAS). ∴.Dg=AM. 又D0=Pg,AM=OM, .DO=AM=PO=OM ∴.矩形MNPO是正方形， 在Rt△AD2中，AD2=Dg2+Ag, .52=0M2+(20M2, .0M2=5, .正方形MNP2的面积为5， 故选：C 【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾 股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键。 10.(2026山东青岛中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为AD边上 一点，将△ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE,DH的延长线交BC于点F,若 ∠DEH=60°，则FC的长为(). A.4-25 B.1 C.8-4V3 D.25-2 【答案】C 【分析】过H作HM⊥AD于M,延长M交BC于N,根据正方形性质得四边形ABNM是 矩形，根据矩形性质得AM=BN,∠EMH=∠DMH=∠FNH=90°，MN=AB=4,根据折 叠性质得AE=EH,∠AEB=∠HEB,∠ABE=∠HBE,进而求出 ∠ABB=∠EB=AH=60°，∠ABE-∠HE=30°，根据直角三角形中30度所对边性质 得24=：再银酱幻宽定理列方程求业伦-分5。再限聚∠D1:6心求出 M-3O进面得EM=EH=V3.进=步求出M、M、BN、N、DP即 HM=HN,再根据∠MDH=∠HF,∠DMH=∠FNH=9O°，即可证明 △MDH≌aNFH(AMS),进而得MD、FN的长，最后根据FC=FN+NC计算即可得FC的 长 解：如图， MD H F NC ,:'△ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE, ∴.△ABE≌△HBE, ∴.AE=EH,∠AEB=∠HEB,∠ABE=∠HBE, :∠DEH=60°， ∴.∠AEH=180°-∠DEH=120°， :∠AEB=∠HEB=号∠AEH=60°， ∴.∠ABE=∠HBE=30°， AE=IBE 2 ..2AE =BE, AE2+AB2 =BE2,AB=4, A+华=2A,解得：AB-含5， 45, ÷AE=EH 过H作HM⊥AD于M,延长MH交BC于N, :四边形ABCD是正方形， .ADI‖IBC,AD=BC, ∴.HN⊥BC,∠MDH=∠HFN, 四边形ABNM是矩形， ∴.AM=BN,∠EMH=∠DMH=∠FNH=90°，MN=AB=4, ∠DEH=60°即∠MEH=60°， ∴，∠EHM=30°， wH-子5， ∴.HM=VEH2-EM2=2,AM=BN=AE+EM=2√3， .HN MN-HM=2,MD=NC=4-23. ∴.HM=HN=2, 又，∠MDH=∠HFN,∠DMH=∠FNH=90°， :.△MDH≌aNFH(AAS), .MD=FN=4-25, ∴FC=FN+NC=(（4-23+(4-25)=8-43. FC的长为8-4V5. 二、填空题 11.(2026广东深圳中考真题)一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1,则 a= 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得1-3+a=0,解方程即 可得解 解：：一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1, .1-3+a=0, 解得：a=2, 故答案为：2. 12.(2026四川凉山中考真题)四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O,且 满足AO=CO,请添加一个适当的条件： 使四边形ABCD成为菱形.（只 需要添加一个条件即可) 【答案】OB=OD(答案不唯一) 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且AO=CO,只需 证明四边形ABCD是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形. 解：添加条件OB=OD即可， .AO=CO OB=OD ∴.四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴.平行四边形ABCD是菱形 故可添加为OB=OD(答案不唯一). 13.(2026·吉林·中考真题)如图，在△ABC中，AC>AB,点D为边AB上一点， AD=2,BD=1.以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E,连接DE.若 DE∥BC,则AE=- A D 【答案】4 【分析】由作法可知，CE=AD=2,再利用平行线分线段成比例定理求解即可. 解：由作法可知，CE=AD=2, .DE∥BC, AD AE BDCE· 2 AE 12 AE=4. 14.(2025·四川资阳·中考真题)已知m为方程x2+3x-2025=0的根，那么 m3+2m2-2028m+2025的值为一. 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程 两边相等的未知数的值，则m2+3m-2025=0,进而可得m2+3m=2025,m2=2025-3m, 进一步可得m+3m2=2025m,再把所求式子变形为(m+3m2）-m2-2028m+2025,据此求解 即可 解：：m为方程x2+3x-2025=0的根， .m2+3m-2025=0, .m2+3m=2025,m2=2025-3m, .m3+3m2=2025m, .∴.m3+2m2-2028m+2025 =(m3+3m2)-m2-2028m+2025 =2025m-(2025-3m)-2028m+2025 =2025m-2025+3m-2028m+2025 =0, 故答案为：0 15.(2026江苏盐城·中考真题)如图1，一束激光通过玻璃砖时传播路径发生改 变.图2是其部分光线示意图，其中四边形ABCD是矩形，点F,G分别在边AD, BC上， EFI‖HG.若∠EFD=27°，则∠BGH的度数为 E D G H 图1 图2 【答案】27° 【分析】由矩形的性质，结合平行线的性质，推断∠BGH的度数即可. 解：如图所示，延长EF、BC交于点M, F A M B G 图2 ~四边形ABCD是矩形， .ADl/BC. .∠EFD=∠EMC. 又EFI‖HG, .LBGH=∠EMC, 即∠BGH=∠EMC=∠EFD=27°， 故∠BGH的度数为27° 16.(2025·浙江·中考真题)如图，△ABC≌△DAE,∠BAC=∠ADE=90°，点D在边 AC上，AD<AC,AE,DE分别交BC于点F,G.若anB=m,则CG:BG= (用含m的式子表示)· B F D 【答案】m-1/-1+m 【分析】本题考查全等三角形得性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握相关知 识是解题的关键： 首先由全等得到4B=D之然后得到4B/DE·推出CG:BGAD,然后结合aB=m即 可求解. 解：AABC≌ADAE ∴.AB=AD ·.·∠BAC=∠ADE=90° .∠BAC+∠ADE=180° .AB∥DE CG:BG=CD:AD=(AC-AD):AD-AC. 4D-1. 在RIABC中，tanB=4C B' 又tanB=m, AC :.AD =m ..CG:BG=m-1 故答案为：m-1. 17.(2026山东潍坊·中考真题)在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量 塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF 表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直 线上.己知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远跳塔顶B, 视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为 米. 【答案】18218 【分析】如图，过F作F№⊥AB于Q,交CD于H,可得DH=7-1.4=5.6,证明 DH FH △FDH∽aFBQ:可得B0FO,可得QB=16.8:从而可得答案. 解：如图，过F作FO⊥AB于O,交CD于H, FH=CE=10,OH=AC=20,FO=AE=AC+CE=30,EF=CH=AQ=1.4. .DH=7-1.4=5.6, B DC∥BA, .△FDHAFBQ, DH FH B0F0' 105.6 30QB,解得：QB=16.8:经检验符合题意： .AB=A0+2B=1.4+16.8=18.2(米)： 故答案为：18.2 【点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的 关键。 18.(2026辽宁鞍山中考真题)如图，△ABC中，在CA,CB上分别截取CD,CE ，使CD=CE,分别以D,E为圆心，以大于2DB的长为半径作弧，两弧在∠4CB 内交于点F,作射线CF,交AB于点M,过点M作MN⊥BC,垂足为点N,若 BN=CN,AM=4,BM=5,则AC的长为一-. A E 【答案】6 【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到MB=MC,因此∠B=∠BCM,由角平分线定义推 AC AM 出∠ACM=∠B'又∠CAM=∠CAB,推出AACM∽aABC,得到AB=AC,代入有关数据， 即可求出AC的长. 解：由题中作图可知：CM平分∠ACB, .∠ACM=∠BCM, MN⊥BC,BN=CN, ∴.MB=MC, ∠B=∠BCM, .∠ACM=∠B, .·∠CAM=∠CAB .△ACM∽△ABC, AC AM AB AC' ,AM=4,BM=5, .AB=AM+BM=4+5=9, AC 4 .9=AC .AC=6, 故答案为：6. 【点拨】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质， AC AM 相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明。ACM∽AABC,得到AB=AC,从而求出 AC的长， 三、解答题 19.(2024江苏常州中考真题)解方程： (1)(x-1)2=9: (2)x2+2x-4=0 【答案】(1)=4，x=2-2;(2)x=-1+V5,x2=-1-V5 【分析】本题主要考查直接开方法，配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键. (1)直接方法解一元二次方程即可： (2)配方法解一元二次方程即可. (1)解：(x-1)2=9 直接开方得，x-1=3 为=4，x2=-2; (2)解：x2+2x-4=0 移项，配方得，x2+2x+1=5 整理得，(x+)2=5 直接开方得，x+1=±V5 x=-1+V5,x,=-1-V5 20.(2026广东清远中考真题)如图，四边形ABCD是一个边长为1的正方形，E 是CD延长线上的一点，且BD=DE. (1)求∠E的度数. (2)若AD与BE相交于点F,求线段FD的长. B 【答案】(1)∠E=22.5°：(2)DF=2-√2 【分析】(1)由题意易得∠BDC=45°，∠DBE=∠E,然后根据三角形外角的性质可进行求 解： DE DF (2)由题意易得。D6AB5:则有B一尔=2，然后问题可求解。 (1)解：：四边形ABCD是正方形， ∠BDC=45°， BD=DE, ∴.∠DBE=∠E, ,∠BDC=∠DBE+∠E=2∠E=45° .∠E=22.5°： (2)解：：四边形ABCD是正方形，且边长为1， .AB=BC=CD=AD=1,∠A=∠C=∠ADC=90°，BD=V2BC=√2=DE,AB∥CD. .∠ADE=90°=∠A,∠E=∠FBA, ∴.△DEFn△ABF, DE_DF= :.AB AF ..AF= 2 ”AF+DF=I?即2 DF+DF-1. .DF=2-V2. 21.(2025·浙江杭州中考真题)已知方程x+ar+b=0与 x2+bx+a=0(a<0,b<0,a≠b)有一个公共根，设它们另两个根分别为x. (1)求+的值. (2)xx的积是否有最大值？若有，请求出：若没有，请说明理由. 【答案】(1)-1：(2)没有，理由如下： 5-(1-o1-小-1-加=-a=-气+时+1a<0, 当0时，x达有最大值，为 当a=2时，b= 2,与a≠b矛盾， 2没有最大值. 【分析】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系，熟知若方程的两 根为不与，则气+与名。巧后，是解题的关健 (1)设出公共根构造二元一次方程组，解出符合条件的公共根，进一步代入求得答案即 可： (2)根据根与系数的关系，建立关于46的式子，代入(1)中的结果，进一步配方求得答 案即可. (1)解：设xo是方程的公共根， x+a。+b=0 则1+bx+a=0' 两式相减，得(a-b)x,+(亿-)=0， x0=1, ∴.1+a+b=0 x+1=-a 由根与系数的关系，得x+1=b” 两式相加，得x+x3+2=-a-b, x+x2=-1 (2)略 22. (2026江苏扬州中考真题)如图，在口ABCD中，O是CD的中点.分别延长 AO,BC交于点E,连接AC,DE. B (1)求证：四边形ACED是平行四边形： (2)若BE=8,∠BAE=90°，求四边形ACED的周长. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 、AD/BC,即ADIICE, ∴.∠DAO=∠CEO,∠ADO=∠ECO. O是CD的中点， .D0=C0, 在△AOD与△EOC中， ∠DAO=∠CEO ∠ADO=∠ECO DO-CO ∴.△AOD≌aEOC(AAS), .AD=CE, 又，AD/CE, ∴，四边形ACED是平行四边形 (2)16 【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得ADCE,进而推出两组内错角相等，再结合 O是CD中点即D0=CO,证明△AOD≌aEOC(MMS),得AD=CE,依据“一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形ACED是平行四边形： (2)由四边形ABCD是平行四边形得BC=AD,结合(1)中AD=CE得BC=CE,即C为 BE中点，由此求出CE,再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出AC,最后根据平行 四边形周长公式计算四边形ACED的周长即可. 解：(1)略 (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD. 由(1)得AD=CE, :.BC=CE,即C为BE的中点， BE=8,∠BAE=90°， :cE=服=4,4C=服=4， ,四边形ACED是平行四边形， ∴.四边形ACED的周长=2(AD+AC)=2×(4+4)=16 23.(2025·浙江温州中考真题)如图，在△ABC中，AB⊥AC,AH⊥BC于点H,M为 HC的中点，过H作HD⊥AM交直线AB于点D.求证：AB=BD. B 【答案】证明：如图，过点C作CE⊥BC交AM的延长线于点E,延长DH交AM于点F, B 则∠ECM=∠AFD=∠EFD=90° M为HC的中点， ∴.CM=HM AH⊥BC, ∴.∠AHM=90°. 在△EMC和△AMH中， ∠ECM=∠AHM CM=HM ∠EMC=∠AMH ∴△EMC≌△AMH(ASA) .EC=AH, .'∠BHD=∠FHM=90°-∠FMH, ∠E=90°-∠EMC=90°-∠FMH， ∴.∠BHD=∠E. 又∠D=90°-∠BAF, ∠CAE=90°-∠BAF, ∴.∠D=∠CAE .△BDH∽△CAE, HD BD HB EACA=EC· .∠AHB=∠CHA,∠ABH=90°-∠BAH=∠CAH .△ABH∽△CAH, AB HB CAHA AB HB BD CAEC CA .AB=BD. 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，构造全等三角形和相 似三角形是解答的关键. 过点C作CE⊥BC交AM的延长线于点E,延长DH交AM于点F,证明 △EMC2△AMH(ASA),得到EC=AH.证明∠BHD=∠E,∠D=∠CAE,得到 HD BD HB AB HB △BDH∽△CAE,从而EA=CA-EC·证明△ABH∽△CAH,得到CA-A:因此 AB HB BD CA-EC-CA,得证AB=BD 解：略 24.(2025四川乐山中考真题)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将 一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB,若短段与长段的长度之比等于长段 CB AC 的长度与全长之比，即AC=AB,则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金 比，点C叫做线段AB的黄金分割点， 图1 图2 图3 图4 【问题初探】 如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),求黄金比. 解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x. ·CB-AC AC AB' ∴… 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,请作出AC的黄金分割点（要 求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 【知识迁移】 如图3，点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),分别以AC、BC为边在线段 AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD,连结BD、BE.求证：△EAB∽△BCD; 【延伸拓展】 如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M.求证：点M是AD的黄 金分割点 5-1 【答案】[问题初探：黄金比为2： [问题再探]如图，点P即为AC的黄金分割点： B P 图2 [知识迁移] 证明：：四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， :∠EAB=∠BCD=9O°，AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF, :点C为线段AB的黄金分割点， AC BC .AB AC' CD_BC ∴ABAE' .△EABn△BCD: [延伸拓展] 证明：：五边形ABCDE是正五边形， ·∠BAE=∠ABD=(5-2x180 5 -108 4B-AE-DE ∠ABE=∠ABM=∠D4E=∠ADE=x0s0-10s）-=36, ∴.∠DME=∠AEM+∠DAE=36°+36°=72° ∴.∠DEM=∠AED-∠AEM=108°-36°=72°， .∠DME=∠DEM, ∴.DM=DE=AE, ,∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36°. ∴.△AMEAAED, AE AM AD AE' DM AM ·ADDM 点M是AD的黄金分割点. 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可： [问题再探]以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点E,再以A为圆心，AE为半径画弧与 AC相交，交点记为点P,点P即为黄金分割点，由勾股定理可得AB=V5,由作图可得 BC=BE=1,那么4P=AE=V5-1,则CP=AC-AP=2-(V5-=3-5,则 4C2,放C=4p 是5 ACAC,故点p即为黄金分割点： AC_BC [知识迁移]根据点C为线段AB的黄金分割点，得到ABAC,再由正方形的性质得到 CD BC AC=CD=AE'则AB=AE, 再由夹角均为直角即可证明： AE AM DM AM [延伸拓展]先证明DM=DE=AE'AME6AED,则ADAE,那么AD-DM,即可证 明。 解：[问题初探 解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x, CB_AC ·AC-AB' I-x x 解得：古5-1 2 2(舍) AC 5-1 V5-1 黄金比为2； 【点拨】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角 形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识 点并灵活运用是解题的关键