第二章 3 一元二次方程的根与系数的关系&4 一元二次方程的应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

[-(a-b]r-4xc2=a-6)2-c2=a-b-c)a -b+c)<0关于x的方程4x2-(a-b)x+c2=0 无实数根 5.1或2【解析】.直线y=一3x一a不经过第三象限， ∴.a=0或a<0. 当a=0时，原方程是一元一次方程，故有一个实数根： 当a<0时，原方程是一元二次方程，.△=（一3）2 4a=9-4a.a<0,∴.-4a>0,∴.9-4a>0,∴.△>0， ,.方程有两个不相等的实数根.综上，原方程的根的个 数为1或2 6.B 7.D【解析】由题意，得x·m.x十x十1=0，即m.x2十x 十1=0.，关于x的方程【x,x十1】★(m.x)=0有两个 不相等的实数根，∴△=12一4m>0,且m≠0，解得m <行且m0, 8号9.0（答案不唯-） 10.解：(1)证明：当2一k=0,即k=2时，方程为2x一2= 0,解得x=1; 当2一k≠0，即k≠2时，方程为一元二次方程，△=k -4(2-k)·(-2)=k2-8k+16=(k-4)2≥0， 则此时方程有实数根。 综上，无论k取何值，此方程总有实数根。 (2)此方程有两个整数根，.方程为一元二次方程， k≠2.a=2-k,b=k,c=-2,.x= 一k士√(k-4) 2(2-k) 一k-(k一42=1，x2= ,解得x,=2(2-k) -k+(k-4)一22 2(2-k)2-kk-2 :x1,x2为整数，k为正整数， .k=1或3或4. 计算技巧专题一元二次方程的解法 1.解：移项，得3.x(3.x+1)-2(3x十1)=0 因式分解，得(3x一2)(3x十1)=0， .3x-2=0或3x+1=0, 2 1 解得x=3=一3 2.解：整理，得(x-2)2=2. 两边开平方，得x一2=√2或x一2=一√2， x1=2十√2，x2=2-√2 3.解：移项，得x2-4x=一1. 配方，得x2-4x十4=-1十4，即(x一2)2=3. 两边开平方，得x一2=土√3， ∴.x1=2十√5，x2=2-√5. 4.解：a=2,b=-6,c=-1, ∴.△=b2-4ac=(-6)2-4×2×(-1)=44>0, x=-(-6)±V年_6±2页3士m 2×2 4 2 ,3+厘，3 2 2 5.解：令2x2-3.x=y,则原方程可化为y2+5y+4=0, 解得y1=-4,y2=-1. 当y=-4时，2x2-3x=-4,即2x2-3x+4=0,此 时△=（一3）2一4×2×4=一23<0，方程无实数根， 舍去； 当y=一1时，2x2一3x=一1， 1 解得x,=2x=1. 故原方程的解为=2：=1. 6.解：分两种情况： 0当2x+3≥0，即x≥-是时，原方程化为x 2(2x+3)+9=0. 整理，得x2-4.x十3=0，解得x1=1,x2=3; @当2r+8<0,即<一号时，原方程化为r+2(2x +3)十9=0.整理，得x2+4.x+15=0. ,△=4-4×1×15=-44<0， .方程无实数根，舍去. 综上所述，原方程的解是x1=1,x2=3. 3一元二次方程的根与系数的关系 1.A 2.A【解析】一元二次方程x2一3x十1=0的两个根 为x1,x2x-3.x1=-1,x1十x2=3, .x7-5x1-2x2=x-3.x1-2(x1+x2)=-1-2X3 =-7. 3.A【解析】：关于x的一元二次方程x2+2x十p=0 的两个根为x1,x2, ∴x1十x2=-2,x1x2=p. 1+1=3. TI T2 :,+=3,即-3，解得力=一号 2 JIT2 4.解：由题意，得△=16-4k+4≥0，解得k≤5. ,x1,x2是方程的两个实数根， .x1十x2=-4,x1x2=k-1. :gx+2写×(-40<2- 解得>子：6<长的取值范围是写<k< 5.一4【解析】.方程有两个实数根， .△≥0，即(2m)2-4(m2-m)≥0，解得m≥0. x1x2=2,即m2-m=2,解得m1=2,m2=-1(舍 去)， ∴.x1+x2=-2m=-2X2=-4. 6.5 7.q十p十1【解析】设关于x的方程a.x2+bx十c=0(a ≠0)的两个根为x1,x2,则x1十x2=p,x1x2=q,∴.关 于y的方程a(y-1)2十b(y-1)十c=0的两根为y1 上册详解详析 19个 =x1+1,y2=x2+1,∴.y1y2=(x1+1)(x2+1)= x1x2+(x1+x2)+1=q+p+1. 5 a十(-2)=- 3 8.解：根据根与系数的关系，得 解 a·(-2)= -4k 3 1 a3 得 1 k2 故k的值为2，方程的另一个根a的值为3： 一题多解法 把x=一2代入原方程，得3×(-2)2+5×(-2) 一4k=0,解得k=之： 1 故原方程为3x2十5.x一2=0，解得x1=-2,x 1 3, 1 “k的值为？，方程的另一个根a的值为 4一元二次方程的应用 第1课时一元二次方程在 几何及行程问题中的应用 1.D 2.B【解析】：HM:EM=8:9,∴.设HM=8.x,EM= 9.x.:四边形ABCD、四边形EBGF、四边形HNQD 均为正方形，∴.HD=NQ=2,BG=BE,BC=AD= AB.由题意，得AH=EM=9x,AE=HM=8.x, ..AB=BC=AD=9x+2,..BG=BE=AB-AE= 9x十2-8.x=x十2.BG,NQ,BC的长是某个直角 三角形的三边长，其中BC的长是斜边长，∴.BG+ NQ=BC,(x+2)2+2=(9x+2),解得x=0 (负值已会去4B=9X品+2-器 3.解：设通道的宽度为xm. 由题意，得32×20-32x-20x+x2=540. 化简，得x2一52x十100=0， 解得x1=50(不合题意，舍去)，x2=2, .x=2 故通道的宽度为2m. ◆一题多解法 设通道的宽度为xm. 由题意，得(32一x)(20一x)=540, 解得x1=50(不合题意，舍去)，x2=2, x=2. 故通道的宽度为2m. 4.24.5【解析】设甲、乙两人相遇的时间为t,则乙走了 420 九年级数学BS版 3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t一10)步.依题意，得 102+(3t)2=(7t-10)2.整理，得2t2-7t=0,解得t1 7 =2,=0(不合题意，舍去)71=24.5，故相遇时 甲走的步数是24.5. 5.解：设相遇时补给船航行了x n mile,即DE=n mile. ,军舰的速度是补给船的2倍，所用的时间相同， .'.AB+BE=2x n mile. '.'AB+BC=3 n mile, .∴.EC=(3-2x)n mile.. 在Rt△CDE中，DC=1 n mile. 根据勾股定理可得x2十1=(3-2x)2, 25 解得x1=2 +25 ,=2+3(不合题意，舍去). 故相遇时补给船航行了(2-2)nmic 6.10m,8m【解析】设矩形猪圈垂直于住房墙的一边长 为xm,则另一边长为(26-2x)m.依题意，得x(26- 2x)=80.化简，得x2-13x十40=0，解得x1=5,x2= 8.当x=5时，26-2x=16>12(舍去)；当x=8时，26 一2x=10<12,符合题意.故所围猪圈的长为10m,宽 为8m时，猪圈面积为80m 7号 【解析】当运动时间为ts时，AP=3tcm,CQ =2tcm.如图，过点P作PH⊥CD于点H,.四边形 APHD是矩形. ,四边形ABCD是矩形， .'CD=AB 16 cm,PH BC=6 cm, DH=AP=3t cm, .HQ=CD-DH-CQ=(16-5t)cm. 由勾股定理，得PH+HQ=PQ, ∴.62+(16-51)2=102， 8 24 解得4=5：=5 824 故1的值为亏或亏 8.解：(1)设裁去的正方形的边长为xcm.由题意，得(32 一2x)(14一2x)=280,解得x1=2,x2=21(不合题意， 舍去) 故裁去的正方形的边长为2cm. (2)能.设左边的正方形的边长为ycm. 由题意，得14-2y).32,2y=180,解得，=1，= 2 22(不合题意，舍去). 故盒子的体积为180×1=180(cm3). 9.解：存在. ,'OE垂直平分AB,AB=200cm, .OA=100cm. 设两只老鼠同时爬行xs 当老鼠C在OA上运动时，AC=2xcm,OC=(100一 2x)cm,OD=3x cm. 由Sa6m=20C·0D,得2(100-2x)·3x=1800. 整理，得x2-50x十600=0， 解得x1=20,x2=30. 当x=20时，2x=40<100: 当x=30时，2x=60<100, .x=20和x=30均符合题意. 故当爬行20s或30s时，两只老鼠与点O组成的三角 形的面积为1800cm. 第2课时一元二次方程在营销 及其他问题中的应用 1.C【解析】设月平均增长率为x. 根据题意，得200(1十x)=288, 整理，得(1十x)2=1.44, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（舍去）， .月平均增长率为20%. 2.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x. 依题意，得128(1十x)2=288, 解得x1=0.5=50%,x2=一2.5（不合题意，舍去）. 故进馆人次的月平均增长率为50%. (2)学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次.理由 如下： ,进馆人次的月平均增长率为50%， ∴.第四个月的进馆人次为288×(1十50%)=432. 432>400, ∴学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次。 3.C4.(x+16)(200-5x)=12005.B变式题6 6.2.45 7.6【解析】设李白早餐饮酒x斗，则午餐饮酒(x+1) 斗，晚餐饮酒(x+2)斗.根据题意，得x(x十1)十(x十 1)(x+2)+x(x+2)=146,解得x1=6,x?=-8(不 合题意，舍去).故李白早餐饮酒6斗· 8.D 9.解：(1)m=5.x+50 (2)当1≤x≤30时，(43一18)(5.x十50)=4250，解得 x=24; 当31≤x≤50时，（-2x+55-18）(5x+50) =4250. 整理，得x2一64x十960=0， 解得x1=24(不合题意，舍去)，x2=40. 故超市在第24天或第40天销售该种水果可获利 4250元. 10.解：(1)2010 (2)设再次购进m个A款钥匙扣，则再次购进(80一 m)个B款钥匙扣. 依题意，得30m十25(80-m)≤2200， 解得m≤≤40. 设再次购进的A,B两款钥匙扣全部售出后获得的总 销售利润是心元， 则=(45一30)m+(37一25)(80-m)=3m+960. .3>0, ∴.心随m的增大而增大， .当m=40时，心取得最大值，最大值为3×40十960 =1080,此时80一m=80-40=40. 故当再次购进40个A款钥匙扣、40个B款钥匙扣时， 才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元. (3)设将B款钥匙扣的销售价定为a元/个，则每个的 销售利润是(a一25)元，平均每天可售出4十2(37 a)=(78-2a)个. 依题意，得(a一25)(78一2a)=90. 整理，得a2一64a+1020=0, 解得a1=30,a2=34. 故将B款钥匙扣的销售价定为30元/个或34元/个 时，能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元. 【解析】(1)设购进A款钥匙扣x个、B款钥匙扣 y个. 依题意，得口十y=30, 得30x+25y=850.解得V=10, 故购进A款钥匙扣20个、B款钥匙扣10个. 应用技巧专题一元二次方程在 实际问题中的应用 1.B【解析】设这两个数中较大的数为x,则较小的数为 (x-1). 依题意，得x(x-1)=132,解得x1=12,x2=-11(不 合题意，舍去)， .这两个数中较大的数为12. 2.13或一13【解析】设较小的整数为x,则较大的整数 为(x+1). 依题意，得x(x+1)=42. 整理，得x2十x一42=0， 解得x1=6,x2=一7. 当x=6时，x+(x+1)=6+(6+1)=13: 当x=-7时，x+(x+1)=-7+(-7+1)=-13. 综上所述，这两个数的和为13或一13. 3.92或29【解析】设这个两位数个位上的数字为x,则 十位上的数字为(11-x). 依题意，得x2十(11-x)2=85. 整理，得x-11x十18=0， 解得x1=2,x2=9. 故这个两位数是92或29. 4.解：设这个最小数为x,则最大数为(x十8). 依题意，得x(x十8)=84. 整理，得x2+8.x-84=0, 解得x1=6,x2=一14（不合题意，舍去）. 故这个最小数为6. 5.解：设周瑜逝世的年龄的个位上的数字为x,则十位上 的数字为x一3. 根据题意，得10(x-3)十x=x2,解得x1=5,x2=6. 当x=5时，周瑜逝世的年龄是25岁. ,而立之年为三十岁，25<30，∴不符合题意，舍去 当x=6时，周瑜逝世的年龄是36岁，符合题意. 故周瑜逝世的年龄是36岁. 6.B【解析】设运动时间为ts,则BP为(8一t)cm,BQ 为2tcm, 上册详解详析 21个3 一元二次方程的根与系数的关系 课内基础闯关 易错点忽视△≥0 知识点① 利用根与系数的关系求两根之 5.若关于x的一元二次方程x2十2mx十 和、两根之积 m2一m=0的两个实数根为x1,x2,且 1.已知关于x的一元二次方程x2十4x-5=0 满足x1x2=2,则x1十x2的值为 的两个实数根分别为x1和x2,则x1十x2十 x1x2的值为 已课外拓展提高 ----------------------0 A.-9B.-1 C.9 D.1 2.已知一元二次方程x2一3.x+1=0的两个根 6.（2025一2026宿州埇桥区检测)已知a,b是 一元二次方程x2+3x一1=0的两个根，则 为x1,x2,则x-5x1一2x2的值为( a2b+ab2+2= A.-7 B.-3 C.2 D.5 7.若关于x的方程ax2十bx+c=0(a≠0)的 知识点② 利用根与系数的关系求字母的值 两根之和为p,两根之积为q,则关于y的方 或取值范围 程a(y一1)2+b(y一1)十c=0的两根之积 3.若关于x的一元二次方程x2+2x十p=0 是 (用含p,q的代数式 的两个根为x1,且上+】-3，则p的值 表示) 8.一题多解法已知关于x的一元二次方程 为 3x2+5x一4k=0的一个根是一2，求k和方 A号 C.-6 D.6 程的另一个根a的值. 4.已知关于x的一元二次方程x2+4x+k一1 =0.若x1,x2是方程的两个实数根，且满足 3(x1十x2)<2x1x2,求k的取值范围. 知识要点归纳 1.一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二 次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两个实数根 b x1x2,那么x,十x2=一 a=c a 2.重要的变形：（1)x+x=（x1十x2)2 2x1x2;(2)(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2; TI T2 TIx2 上册第二章 35△ 4一元二次方程的应用 第1课时 一元二次方程在几何及行程问题中的应用 色课内基础闯关 知识点②利用一元二次方程解决行程问题 知识点① 利用一元二次方程解决几何问题 4.古代数学文化《九章算术》中记载：“今有二 1.如图，一次函数y=一2x十6的图象交x轴于 人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南 点A,交y轴于点B,点P在线段AB上（不 行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何.” 与点A,B重合)，过点P分别作OA和OB 大意是甲、乙二人同时从同一地点出发，在单 的垂线，垂足分别为C,D.当矩形OCPD的 位时间内，甲走7步，乙走3步.乙一直向东 面积为4时，点P的坐标为 ( ) 走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向 走了一段后与乙相遇.问相遇时甲、乙各走了 A.(2,2) 多少步.相遇时甲走的步数是 C.1,40或(5) D.(1,4)或(2,2) 5.如右图，一艘军舰位于点A 处，在其正南方向有一目标 B,在点B的正东方向有一B 目标C,且AB+BC=3 n mile,在AC上有 一艘补给船D,DC=1 n mile.军舰从点A O C 第1题图 第2题图 出发，向AB,BC方向匀速航行，补给船同时 2.如图，四边形ABCD、四边形EBGF、四边形 从点D出发，沿垂直于AC的方向匀速直线 HVQD均为正方形，BG,NQ,BC的长分别是 航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的 某个直角三角形的三边长，其中BC的长是斜 速度是补给船的2倍，军舰在由点B到点C 边长.若HM:EM=8:9,HD=2,则AB的 的途中与补给船相遇于点E处，则相遇时补 长为 ( 给船航行了多远？ 号 9 6. C.3 D.22 3.一题多解法在宽为20m、长为32m的矩形地 面上铺540m的草坪，并留出如下图所示的宽 度相同的通道（阴影部分）.通道的宽度为多少？ 436 九年级数学Bs版 已课外拓展提高 易错点 忽略了方程的根应使实际问题有 意义 6.情境应用如图，一农户 住房墙12m 要建一个矩形猪圈，猪圈 工1m 的一边利用长为12m的 第6题图 住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成.为方便进出，在垂直 巴综合能力提升 于住房墙的一边留一个1m宽的门.当 9.几何直观如下图所示，一根木棍OE垂直平 所围矩形猪圈的长、宽分别为 分柱子AB,AB=200cm,OE=260cm.一 时，猪圈面积为80m2. 只老鼠C由柱子底端点A以2cm/s的速度 7.如图，在矩形ABCD中，AB=A 向顶端点B爬行；同时，另一只老鼠D由点 16cm,BC=6cm,点P从点A出 O以3cm/s的速度沿木棍OE爬行.当老鼠 发沿AB以3cm/s的速度向点B C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两 移动，到达点B停止；同时，点Q 只老鼠与点O组成的三角形的面积为 第7题图 从点C出发沿CD以2cm/s的速 1800cm2?若存在，求出爬行的时间；若不 度向点D移动（点P停止时点Q也停止） 存在，请说明理由 设运动时间为ts,当PQ=10cm时，t的值 为 8.有一块长32cm、宽14cm的矩形铁皮， (1)如图①，如果在铁皮的四个角裁去四个 边长一样的正方形后，将其折成底面积为 280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方 形的边长 (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体 盒子.为了合理利用材料，某学生设计了如 图②所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来 的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方 形.问能否折出底面积为180cm2的有盖盒 知识要点归纳 子.如果能，请求出盒子的体积；如果不能， 1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、 请说明理由. 解、验、答 2.检验所列方程的解是否符合题意，一般需检验 其解的正确性与合理性。 图① 图② 上册第二章 37 第2课时 一元二次方程在营销及其他问题中的应用 课内基础闯关 A.每顶帐篷单价为x元 知识点①平均变化率问题 B.降价后平均每天可出售(200一x)顶 C.每顶帐篷单价应降低x元 1.(2025一2026宿州埇桥区检测)某超市一月 份的营业额为200万元，三月份的营业额为 D.降价后每顶帐篷利润为(60+。×4)元 288万元.该超市营业额的月平均增长率为 4.情境应用某商店将进货价格为20元/个的 ( 商品按单价36元售出时，能卖出200个.已 A.10%B.15% C.20% D.25% 知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少 2.某校为响应市全民阅读活动，利用节假日面 5个.设这种商品的单价上涨x元时，获得的 向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月 利润为1200元.根据题意可列方程为 进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个 月进馆288人次.若进馆人次的月平均增长 知识点③ 其他问题 率相同 5.情境应用某女子冰壶比赛有若干支队伍参 (1)求进馆人次的月平均增长率。 加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45 (2)因学校条件限制，图书馆月接纳能力不 场.参加比赛的队伍共有 () 超过400人次.在进馆人次月平均增长率不 A.8支 B.10支 C.7支 D.9支 变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月 的进馆人次？请说明理由. 变式题单循环问题（握手等）→双循环问 题（互送东西、互发信息等） 毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相 约送礼物，每2名同学都互送1件礼物，共 送出礼物30件.该兴趣小组的同学共有 名 6.跨物理学科如图，如果把一 个物体从地面以12m/s的 速度竖直上抛，那么物体经 过xs离地面的高度为(12x 第6题图 知识点②销售问题 4.9x2)m.根据物理学规律，物体经过 3.(2025一2026北安检测)某店销售一批户外 s落回地面（结果保留两位 帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平 小数). 均每天可售出60顶；单价每降低10元，每天 7.古代数学文化《李白饮酒》数谜诗—李白 可多售出4顶.已知该店想平均每天盈利 每天不离酒，三餐依次增一斗；三餐斗数两 12160元，可列方程为(200-x)(60+6× 两乘，乘积相加一四六；要知酒仙量如何，求 出每餐饮几斗？根据此诗可算出，李白早餐 4)=12160.下列表述正确的是 饮酒 斗 38 九年级数学BS版 已课外拓展提高 (2)第一次购进的钥匙扣售完后，该网店计 8.跨生物学学科某树主干长出若干数目的枝 划再次购进A,B两款钥匙扣共80个（进 干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主 货价和销售价都不变)，且进货总价不高于 干、枝干和小分支的总数是43.若设主干长 2200元.应如何设计进货方案，才能获得 出x个枝干，则可列方程为 ( ) 最大销售利润？最大销售利润是多少？ A.(1+x)2=43 B.x(1+x)=43 (3)该网店打算把B款钥匙扣降价销售，如 C.x2+2x+1=43 D.x2+x+1=43 果按照原价销售，那么平均每天可售出4 9.某超市拟于10月1日前mkg阶 个，经调查发现，每个降价1元，平均每天 50天里销售某种水果，其 250 可多售出2个.将B款钥匙扣的销售价定 为多少时，能使B款钥匙扣平均每天的销 进价为18元/kg.设第x 0 240 售利润为90元？ 天的销售价格为y(单位： 元/kg),销售量为m(单位：kg).该超市根据 以往的销售经验得出以下的销售规律： ①当1≤x≤30时，y=43;当31≤x≤50时， y与x满足y=一2x+55: 1 ②销售量m与x的关系如上图所示 (1)m与x的关系式为 (2)超市在第几天销售该种水果可获利 4250元？ 知识要点归纳 已综合能力提升 1.平均增长（降低）率问题：设a为起始量，b为 终止量，n为增长（降低）的次数，平均增长率公 10.应用意识某网店从工厂购进A,B两款钥 式为a(1十x)”=b(x为平均增长率)，平均降低 匙扣，进货价和销售价如下表： 率公式为a(1一x)”=b(x为平均降低率). 钥匙扣 A款 B款 2.营销利润问题：利润=售价一进价；利润率= 进货价/（元/个）】 30 25 利润 进价 ×100%=售价进价×100%：售价=进价 进价 销售价/（元/个） 45 37 X(1十利润率)；总利润=销售总额一总成本；总 (1)该网店第一次用850元购进A,B两款 利润=每件商品的利润X销售总数」 钥匙扣共30个，则购进A款钥匙扣 3.其他问题：传播问题、工程问题等。 个、B款钥匙扣 个 上册第二章 39△