第二章 2 一元二次方程的解法-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

2一元二次方程的解法 第1课时 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 色课内基础闯关 6.公元9世纪，阿拉伯数学家花刺 知识点① 子米在解方程x2+2x-35=0 直接开平方法 时采用的方法是构造如图所示 1.方程x2=5的解是 的图形.一方面，大正方形的面 A.5 B.25 第6题图 积为(x+1);另一方面，它又等于35十1，据 C.±25 D.土√5 此可得方程的一个正数解为x=5.按照这种 2.下列方程可用直接开平方法求解的是 构造方法，我们在求方程x2十4x=5的一个 正数解时，可以构造图形 Ax2=9 B.4x2-4x-3=0 C.x2-3x=0 D.x2-2x-1=9 变式题具体值→求字母取值范围 若关于x的一元二次方程(x十2)2=m 1可以用直接开平方法求解，则m的取值 范围是 3.用直接开平方法解方程： 2-8=0 (2)(x-4)2=25. 7.用配方法解下列方程： (1)(2025一2026兰州期中）x2-2x一7=0. 知识点② 配方 4.填空： (1)x2+4x+ =(x十 )2. (2)x2+ x+9=(x+ (3)4x2+ +9=(2x+ )2 知识点③ 用配方法求解二次项系数为1的 (2)x2-12x-5=0. 一元二次方程 5.(2025一2026宿州泗县检测)用配方法解 元二次方程x2一2x一6=0，此方程可化为 ( A.(x-2)2=5 B.(.x-2)2=7 C.(x-1)2=5 D.(x-1)2=7 426 九年级数学BS版 已课外拓展提高 综合能力提升 8.若方程x2一6.x一5=0用配方法可配成(x十 12.推理能力我们知道“a2≥0”，其中a可以 p)2=q的形式，则直线y=x十q不经过 表示任意实数，也可表示任意代数式.有时 我们通过将某些代数式配成完全平方式进 A.第一象限 B.第二象限 行恒等变形来解决符号判断、大小比较等 C.第三象限 D.第四象限 问题，简称“配方法” 9.将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加 例如：x2+2x十2=x2+2x+1+1=(x十 a b a b 1)2+1. 一条竖直线记成 ,定义 =ad c d d .(x+1)2≥0， x+1 x-l .(x+1)2+1≥>1， bc. 6,则x 1-xx+1 即x2+2x+2≥1. 试利用“配方法”解决以下问题： 10.解下列方程： (1)填空：x2一2x十4=A2+B,则代数式A a32x-8》-25=0 = ,常数B= (2)已知a2+b2=6a-4b-13,则a6= (3)已知代数式M=4x一5，N=2x2-1,试 比较M,N的大小. (2)x2-2x=2x+1. 11.情境应用（教材变式)在学校劳动基地里 有一块长40m、宽20m的矩形试验田.为 了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、 横开辟三条等宽的小道，如下图.已知这块 矩形试验田中种植的面积为741m,小道 的宽为多少米？ 知识要点归纳 1.直接开平方法：利用平方根的定义直接解一元 二次方程的方法。 2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方 程的步骤：①移项；②配方，将方程化为(x十m) =n(≥0)的形式：③用直接开平方法求解. 上册第二章 27 第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 色课内基础闯关 5.跨物理学科一小球以15m/s的速度竖直向 上弹出，它在空中的高度h(单位：m)与时间t 知识点① 用配方法求解二次项系数不为1的 (单位：s)满足关系式h=15t一5t2.当t= 一元二次方程 s时，小球的高度为子m 25 1.如图，用配方法解方程22一x一2=0的四 课外拓展提高 个步骤中，出现错误的是 6.小明用配方法解关于x的方程2x2一ax十b 22--2=0→x2-2x=4x2-2+1=5→e-1=5→x=5+1 3 ① ②③ ④ 0,得工2士25则+b的值为 第1题图 ( A.① B.② C.③ D.④ A.3 B.-3 C.5 D.-5 2.用配方法解一元二次方程-3x2+12x-2= 7.若a,b,c为△ABC的三边长，且满足a2+ 0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则a+b b2+c2-ab-bc-ca=0,则△ABC的形状 的值为 ) 是 三角形 A号 9 c. 4 0.3 8.新定义题关于x的一元二次方程a1(x m)2十k=0与a2(x一m)2十k=0称为“同族 3.用配方法解方程： 二次方程”.如2(x一3)2十4=0与3(x一3)2 )2+-3=0 十4=0是“同族二次方程”.现有关于x的一 元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+2)x2十 (b一4)x+8=0是“同族二次方程”，那么代数 式a.x2+bx+2026的最小值是多少？ (2)5x2+10x-15=0. 知识要点归纳 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方 知识点② 配方法的应用 程的一般步骤：(1)将方程的二次项集数化为1： 4.无论x取何值，代数式3x2-6.x+11的值 (2)移项；(3)配方，把原方程化为(x十m)三n 的形式；(4)求解，当n≥0时，用直接开平方法求出 A.总大于8 B.总不小于8 方程的解：当n<0时，直接判断方程无实数解. C.总不小于11 D.总大于11 428 九年级数学BS版 第3课时 用公式法求解一元二次方程 课内基础闯关 即x1=-2,x2=-1. 请你分析以上解答过程有无错误，如有错 知识点①用公式法解一元二次方程 误，请写出正确的解答过程. 1,在用求根公式x=二b生v公4ac求一元二 2a 次方程的根时，小珺正确地代入了a,b,c的 值得到x= 3±√(-3)2-4X2×(- 2×2 2,则 她求解的一元二次方程是 A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-3.x+2=0 D.3.x2-2.x+1=0 2.将方程2x2十8=9x化为一般形式是 知识点② 一元二次方程的根的判别式 ,其中a= .6 5.新定义题定义新运算“※”：对于实数m,n, ,C= ,则b2一4ac p,9有[m,p]※[q,n]=mm十pq,其中等式 ,用求根公式可得x1= 右边是通常的加法和乘法运算.例如：[2,3] ※[4,5]=2×5+3×4=22.若关于x的方 x2= 程[x2+1,x]※[5-2k,k]=0有两个实数 3.用公式法解下列方程： 根，则k的取值范围是 () (1)x2-2x=4x-5. A<且大于0 BS CA≤且6头0 D≥ 6.若关于x的一元二次方程ax2-2x十1=0 有两个实数根，求a的取值范围. (2)x(x+3)=12+8x. 4.纠错题解方程x2=一3x+2时，有一名同 变式题(2025一2026九江永修检测)关于 学的解答过程如下： x的一元二次方程(a-1)x2+2.x一1=0 解：，a=1,b=3,c=2, 有两个实数根，则a的取值范围为() .b2-4ac=32-4×1×2=1, A.a≥0 B.a≤2 x=-6±y2-4ac=-3±-3±1 C.a≤2且a≠1 D.a≥0且a≠1 2a 2×1 2 上册第二章 29 已课外拓展提高 综合能力提升 7.定义：cx2十bx十a=0是一元二次方程ax 10.新定义题如下图，四边形ACDE是证明勾股 十bx十c=0的“倒方程”.下列四个结论错误 定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC 的是 和Rt△BED的边长，易知AE=√2c,这时我 A.如果ac>0,那么这两个方程一定都有两 们把关于x的形如a.x2十√2cx十b=0的一元 个不相等的实数根 二次方程称为“勾系一元二次方程” B.如果x=2是x2十2x+c=0的“倒方程” 请解决下列问题： 的解，那么c=一5 (1)试判断方程x2+2x+1=0是否是“勾 系一元二次方程”，并说明理由. C.如果一元二次方程a.x2一2x十c=0无解， (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程” 那么它的“倒方程”也无解 D.如果x=t(t≠0)是一元二次方程ax2十 ax2十√2cx+b=0必有实数根， (3)若x=-1是“勾系一元二次方程”a.x bx十c=0的一个根，那么x=也是“倒 +√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 方程”cx2十bx十a=0的一个根 的周长是12，则△ABC的面积为 8.分类讨论思想若等腰三角形的一边长是4， 另两边的长是关于x的方程x2一6x十n=0 的两个根，则n的值为 9.(2025一2026乐平期中)已知关于x的一元 二次方程x2+2a.x+3a十4=0有两个相等 的实数根 (1)求a的值. 求代数式号。-2的 知识要点归纳 1.求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2十 bx十c=0(a≠0)，当b2一4ac≥0时，它的根是x -b±Vb2-4ac 2a 2.公式法：用求根公式解一元二次方程的方法 3.一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac.当 △>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根：当△<0时，方程 没有实数根 430 九年级数学BS版 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 课内基础闯关 (2)用指定的方法解下列一元二次方程： ①x2+3.x一10=0（配方法）： 知识点①用因式分解法求解一元二次方程 ②4x2-7x+2=0(公式法)： 1.方程(x一2)(x十3)=0的解是 ③x2一3x=0(因式分解法). A.x=2 B.x=-3 C.x1=2,x2=3 D.x1=2,x2=-3 2.纠错题下面是小明同学解一元二次方程的 过程，请认真阅读并解决相应的问题， 解：2(x十3)2=x(x+3). 两边都除以(x十3)，得2(x十3)=x. 第一步 去括号，得2x十6=x.第二步 移项、合并同类项，得x=一6.第三步 (1)以上解方程的过程，从第 步 开始出现错误，错误的原因是 (2)请你写出正确的解答过程， 知识点③ 因式分解法的应用 5.(教材变式)为免费领取某活动吉祥物，小康 和小明参与了转发集赞活动.已知两人集赞 的个数为相邻的偶数，且两数之积为960，则 小康和小明两人所集赞个数中的较小偶数 是 () 知识点② 用适当的方法求解一元二次方程 A.24 B.26 C.28 D.30 3.解方程2(x一2)2=3(2一x)最合适的方法 6.已知三角形两边的长分别是8和6，第三边 是 ) 的长是方程5x-10=(x-2)2的一个实数 A.配方法 B.公式法 根，则该三角形的周长是 () C.因式分解法 D.直接开平方法 A.21 B.21或16C.16 D.22 4.(1)我们已经学习了一元二次方程的四种解 变式题若三角形三边的长均能使代数式 法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分 (x一6)(x一3)的值为零，则此三角形的周 解法.请从以下一元二次方程中任选一个， 长是 并选择你认为适当的方法解这个方程： A.9或18 B.12或15 ①x2-3x+1=0;②(x-1)2=3; C.9或15或18 D.9或12或15 ③2x2-7x+3=0;④x2-2x=4. 上册第二章 巴课外拓展提高 已综合能力提升 7.若关于x的方程x2+2x一3=0与 11.运算能力在对多项式进行因式分解时，有 x+3 一种方法叫“十字相乘法” 。有一个解相同，则a的值为 1 如分解二次三项式2x2+5x一7时，具体步 骤如下： A.1 B.1或-3 ①首先把二次项的系数2分解为两个因数 C.-1 D.-1或3 的积，即2=2×1，把常数项一7也分解为 8.已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8(m2+n2+ 两个因数的积，即-7=一1×7； 2)=0,则m2十n2的值为 ) ②按下图所示的方式书写，采用交叉相乘 A.一8或2 B.-2或8 再相加的方法，使结果恰好等于一次项的 C.2 D.8 系数5，即2×(-1)+1×7=5： 9.如图，数轴上点A对应的数为3x+1,点B ③这样，就可以按下图中虚线所指，对2x 对应的数为x2+2x.若AB=5,且点A在原 +5x-7进行因式分解了，即2x2+5x一7 点的左侧，则x的值为 =(2x+7)(x-1). A B 3x+1 x2+2x 第9题图 10.情境应用如右图，有一张 边AB靠墙的矩形桌子 请你仔细体会上述方法，并利用此法解以 ABCD,长120cm,宽60cm. 下方程： B F 有一块矩形桌布EFMN,其面积是桌面面 (1)x2+4x+3=0. 积的2倍，并且铺在桌面上时，三边垂下的 (2)2x2+3.x-20=0. 长度中有两边相等(AE=BF),另外一边 (CD与MN之间的距离)是AE的2求这 块桌布的长和宽. 知识要点归纳 因式分解法的步骤：①移项，将方程的右边化为 0;②化积，把方程的左边分解为两个一次因式的 积；③转化，令每个因式分别为0，转化为两个 元一次方程；④求解，解这两个一元一次方程，它 们的解就是原方程的根。 432 九年级数学BS版.x一4=2或x一4=-3， ∴.x=6或x=1. 故方程(x一4)2+b(x-4)十c=0的根是x1=6,x2 =1. 8.解：(1)一元二次方程3.x2一4.x一7=0是“凤凰方程” 理由如下： 由题意，得a=3,b=-4,c=-7, ∴.a-b+c=3-(-4)-7=0. 故一元二次方程3.x2一4x-7=0是“凤凰方程”. (2)由题意，得a=2,b=-m,c=5. ,2x2-m.x十5=0是关于x的“凤凰方程”， ∴.a-b+c=2-(-m)+5=0, 即2+m+5=0, 解得m=一7. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解二次项系数 为1的一元二次方程 1.D2.A变式题m>1 3.解：(1)方程可化为x2=16, 两边开平方，得x1=4,x2=-4. (2)两边开平方，得x-4=士5， 即x-4=5或x-4=-5,x1=9,x2=-1. 4.(1)42(2)63(3)12x35.D 6.B【解析】，x2+4x=5,∴.x2十4x十4 =5十4，按照这种构造方法，一方面，大 正方形的面积为(x十2)；另一方面，它 2 又等于5十4，据此可得方程的一个正数 解为x=1.故可构造的图形如图. 7.解：(1)移项，得x2-2x=7. 配方，得x2-2x+1=7+1, 即(x-1)2=8. 两边开平方，得x-1=士2√2， 懈得x1=2√2+1，x2=-2√2+1. (2)移项，得x2一12x=5. 配方，得x2一12x+36=41,即(x一6)2=41. 两边开平方，得x-6=士√4红， 解得x1=6十√4I,x2=6-√4T. 8.C 9.士√2【解析】由题意，得(x十1)(x+1)一(x一1)(1一 x)=6,x2+2x+1+x2-2x+1=6,.2x2+2=6. 化简，得x2=2,解得x=士√2. 10.解：(1)整理方程，得(2x-3)2-75=0. 移项，得(2x-3)2=75. 两边开平方，得2x-3=土5√3， 3+5√33-53 解得x1= ,x2 2 2 (2)移项，得x2-4x=1. 配方，得x2-4x十4=1十4，即(x-2)=5. 两边开平方，得x-2=±√5， 解得x1=2+√5，x2=2-5. 16 九年级数学BS版 11.解：设小道的宽为xm,则剩余部分可合成长(40一 x)m、宽(20-x)m的矩形.依题意，得(40-x)(20 x)=741.整理，得x2-60x+59=0,由配方法解得 x1=1,x2=59.又20-x>0,.x<20,.x=1. 故小道的宽为1m. 12.解：1)x-13(2) 1 (3)N-M=2x2-1-(4x-5)=2x2-1-4x+5= 2.x2-4x+4=2(x2-2x+1)+2=2(.x-1)2+2. 2(x-1)2≥0， .2(x-1)2+2>0, 即N-M>0,.M<N. 【解析】(1)x2-2x+4=x2-2x+1+3=(x-1)2+ 3.(2)原式配方，得a2-6a+9+b2+4b+4=0, 即(a-3)2+(b+2)2=0. (a-3)2≥0，(b+2)2≥0， .a-3=0,b十2=0， 解得a=3,b=一2， =g-- 第2课时用配方法求解二次项系数 不为1的一元二次方程 1.D 2.D【解析】-3x2+12x-2=0, 2」 两边都除以（一3），得x-4x+3=0. 移项，得x2一4x= 2 3 配方，得x2-4x十4= 3+4, 即(x-2)=10 10 104 六a=-2,b=3a+b=-2+3-3 3.解：(1)两边都乘4，得x2十4.x-12=0. 移项，得x2+4x=12. 配方，得x2+4x+4=12+4, 即(x+2)2=16. 两边开平方，得x+2=士4， 解得x1=一6，x2=2. (2)两边都除以5，得x2十2x一3=0. 移项，得x2十2x=3. 配方，得x2+2x+1=3+1, 即(x十1)2=4. 两边开平方，得x+1=士2， 解得x1=1,x2=-3. 4.B【解析】3.x2-6x+11=3(x-1)2+8.(x-1)≥ 0,∴代数式3x2-6x+11的值总不小于8. 1 或号【解折1当为-空m时，5-151-5，解得 5.2或2 -分，=放当1=名：或号时，小球的高度为 5 5 25 4m. 6.A【解析】两边都除以2，得r2-受x十名=0， b 移项，得-21=-公 b 配方，得-号+（任）=名+() 即(-)广-a8% 16 两边开平方，得：一骨=士一西 4 3 由题意可知2± 2· a 则 解得a=6,b=-3. 4 2， 故a十b=3. 7.等边【解析】原式两边都乘2，得2a2+2b2+2c2一 2ab-2bc-2ca=0. 整理，得(a2-2ab+b2)+(b2-2bc十c2)+(c2-2ca+ a2)=0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0. .(a-b)2≥0，(b-c)2≥0，(c-a)2≥0， ..a-b=0,b-c=0,c-a=0, ,.a=b=c. 故△ABC是等边三角形. 8.解：2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0 是“同族二次方程”，∴.(a十2)x2十(b-4)x十8=(a十 2)(x-1)2+1,.(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)x -2(a+2)x+a+3, 心2a2〉=6-4解得a5, b=一10， .a.x2+bx十 2026=5.x2-10x+2026=5(x-1)2+2021. (x-1)2≥0，.5(x-1)2+2021≥2021，即a.x2+ bx+2026的最小值为2021. 第3课时用公式法求解一元二次方程 1.A 2.2x2-9x+8=02-98179+☑ 4 9-√17 4 3.解：(1)移项，得x2-6x十5=0. ,a=1,b=-6,c=5, ∴.△=b2-4ac=(-6)2-4×1X5=16>0, x=6±I6 2 3士2，即x1=5,x,=1. (2)整理，得x2-5.x-12=0. a=1,b=-5,c=-12, ∴.△=b2-4ac=(-5)2-4×1×(-12)=73>0, x=5±，E,即x,-5+3x,=5二y丽 2 2 2 4.解：解答过程有错误.正确的解答过程如下： 整理方程，得x2十3x一2=0. a=1,b=3,c=-2, .4=b2-4ac=32-4X1×(-2)=17>0, .. -3士√ 2 ,即x,=二3+7 2 =317 5.C【解析】根据题意，得k(x2+1)十(5一2k)x=0. 整理，得kx2十(5一2k)x十k=0. :方程有两个实数根， k≠0且4=(6-2)2-40≥0.解得k≤且k≠0， 6.解：一元二次方程有两个实数根， ∴.△≥0且a≠0，即(-2)2-4a≥0且a≠0，解得a≤1 且a≠0， .a的取值范围为a≤1且a≠0. 变式题D【解析】根据题意可得a一1≠0且△=22一 4(a-1)(-1)≥0，解得a≥0且a≠1. 7.A【解析】A.对于方程cx2十bx十a=0和ax2十bx十 c=0,其根的判别式均为△=b2一4ac.:ac>0, ∴.一4ac<0.又.b≥0，∴.△的取值不确定，故无法确 定这两个方程一定都有两个不相等的实数根，选项A 结论错误，符合题意. B.由题意，得cx2十2x十1=0是一元二次方程x2十2x 十c=0的“倒方程”.将x=2代人cx2十2x十1=0，解 得c=一{，故选项B结论正确，不符合题意。 C.:一元二次方程a.x2一2x十c=0无解，.△=4一 4ac<0.,它的“倒方程”的根的判别式也为△=4一 4c,∴.它的“倒方程”也无解，故选项C结论正确，不符 合题意. D.若x=t(t≠0)是一元二次方程a.x2十bx十c=0的 一个根，则有a+r+c=0.c(）广+6…()+a =+ 乡十a=心十加十=0，即x=}也是倒方 程”cx2十bx十a=0的一个根，故选项D结论正确，不 符合题意 8.8或9【解析】当4为腰长时，将x=4代人x2一6x+ n=0,得42一6×4十n=0,解得n=8.将n=8代入原 方程，得x2-6x十8=0，解得x1=2,x2=4.2十4= 6>4,.n=8符合题意.当4为底边长时，关于x的方 程x2一6x十n=0有两个相等的实数根，∴△=（一6） 一4n=0,解得n=9,x=6生0 2 3,即x1=x2=3. 3十3=6>4，∴.n=9符合题意.综上，n的值为8 或9. 9.解：(1)：关于x的一元二次方程x2+2a.x十3a十4=0 有两个相等的实数根， .∴.△=(2a)2-4×1×(3a+4)=0, 解得a1=-1,a2=4. a-2 2原式三a+va-Da-2)a+1)-（a二2列 a+1 a-2 a+1 (a+1)(a-1)a(a-2)a(a-1)1 上册详解详析 17△ 当a=一1时，原代数式无意义： 1 1 当a=4时，原式=4×(4-112 10.解：(1)方程x2十2x十1=0是“勾系一元二次方程”. 理由：√2c=2,∴c=√2.a=1,b=1,∴.a2+b2= c2,∴.以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形，且c 为斜边的长，∴.方程x2+2x十1=0是“勾系一元二次 方程” (2)证明：，a.x2十√2cx十b=0是“勾系一元二次方 程”，∴.a,b,c为同一直角三角形的三边长，且c为斜 边的长，.c2=a2+b2.△=（√2c)2-4ab=2c2 4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0，∴.关于x的 “勾系一元二次方程”a.x2十√2cx十b=0必有实数根. (3)2 【解析】(3)，x=-1是“勾系一元二次方程”ax2十 √2cx+b=0的一个根，∴.a-√2c+b=0,.a+b= 2c.,四边形ACDE的周长是12，.2(a十b)十√2d =12,∴.2W2c+√2c=12,∴.c=22,.a+b=√2× 2√2=4，∴.(a+b)2=16,.a2+2ab+b2=16.:a2+ b2=c2=(22)2=8,.2ab+8=16,.ab=4, 2×4=2. 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 1.D 2.解：(1)一代数式(x+3)的值可能为0 (2)移项，得2(x十3)2-x(x十3)=0， .(x+3)[2(x+3)-x]=0,即(x+3)(x+6)=0, 解得x1=-3,x2=一6. 3.C 4.解：(1)示例：选择x2-3x十1=0. .a=1,b=-3,c=1, 84=（-3》-4×1X1=9-4=5>0x=3±5 2 ,=3+5.=3-5 2x2 2 (2)①移项，得x2+3.x=10. 949 配方，得x2+3x+4=4 即(+)-9 -± 3 两边开平方，得x十 解得x1=-5,x2=2. ②.a=4,b=-7,c=2, .△=(-7)2-4×4×2=49-32=17>0， 7士√17 7+√177-17 8 x1= t,= 8 8 ③因式分解，得x(x一3)=0， .x=0或x一3=0，解得x1=0,x2=3. 5.D【解析】设小康和小明两人所集赞个数分别为x, (x一2).根据题意，得x(x一2)=960.整理，得x2-2x 418 九年级数学BS版 一960=0，解得x1=32,x2=一30（不符合题意，舍 去)，则32-2=30（个），∴.小康和小明两人所集赞个 数中的较小偶数是30. 6.A【解析】.5x一10=(x一2)2，整理，得(x一2)(x一 7)=0,∴.x一2=0或x一7=0， 解得x1=2,x2=7. 当三角形的第三边的长是2时，2+6=8，不符合三角 形三边的关系，舍去： 当三角形的第三边的长是7时，三角形的周长是6十8 +7=21. 综上所述，该三角形的周长是21. 变式题C【解析】令(x一6)(x一3)=0，解得x1=6, x2=3. 当三角形为等腰三角形时，若腰长为3，则三边长分别 为3,3,6，不能构成三角形，舍去； 若腰长为6，则三边长分别为6,6,3，三角形的周长为6 +6+3=15. 当三角形为等边三角形时，边长为3或6，三角形的周 长为9或18. 综上，三角形的周长为9或15或18. 7.C 8.D【解析】设y=m十n2,原方程可变形为y(y十2) 一8(y+2)=0.整理，得(y十2)(y一8)=0， 解得y1=-2,y2=8. m2+n≥0，.m2+n2的值为8. 9.一2【解析】根据题意，得x2+2x-(3.x十1)=5.整 理，得x2-x-6=0.因式分解，得(x十2)(x-3)=0, 解得x1=-2,x2=3.当x=-2时，3.x十1=-5<0， 符合题意；当x=3时，3x+1=10>0,不合题意， 舍去. 故x的值为一2. 10.解：设垂下的长度BF为xcm,则AE=BF=xcm. 根据题意，得(120+2(60+2+）=2×120×60， 整理，得x2+100x-2400=0,即(x-20)(x+120) =0, 解得x1=20,x2=一120（不符合题意，舍去）， 3 3 120+2x=120+2×20=160,60+2x=60+2× 20=90. 故这块桌布的长为160cm,宽为90cm. 11.解：(1)x2+4x+3=(x+3)(x+1)=0, .x十3=0或x+1=0,解得x1=-3,x2=-1. (2)2x2+3x-20=(x+4)(2x-5)=0, 5 r十4=0或2x-5=0,解得x1=-4,x,=2: 解题技巧专题一元二次方程根的 判别式的应用技巧 1.C2.D3.C 4.无实数根【解析】，a,b,c是△ABC的三边长，∴.a -b<c,a+c>b,∴.a-b-c<0,a-b+c>0.:△=