第二章 1 认识一元二次方程-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

第二章 一元二 1 认识一 第1课时 已课内基础闯关 知识点①一元二次方程的定义 1.(2025一2026宿州砀山期中)下列方程中，是 关于x的一元二次方程的是 () A.(x+2)(x-3)=0B. 2x-4=x C.x2-1=2 D.x+y2=1 T 知识点②一元二次方程的一般形式 2.把一元二次方程2(x+1)+(2x一1)2=0化 成一般形式，结果正确的是 () A.4x2-4x+1=0 B.2x2-2x+3=0 C.4x2-2x+3=0 D.4x2+3=0 知识点③建立一元二次方程模型 3.古代数学文化《九章算术》中有一问题，大 意是现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有 绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在 地面的部分尚有4尺.若牵着绳索退行，在 离木柱根部8尺处时绳索用尽，问：绳索有 多长？若设木柱的长度为x尺，根据题意， 可列方程为 易错点忽视一元二次方程中二次项系数 不为0 4.（2025一2026九江永修检测)若关于x 的方程(m一2)xml一2x一3=0是一元 二次方程，则 ( A.m=2 B.m=-2 C.m=±2 D.m≠士2 九年级数学BS版 次方程 元二次方程 元二次方程 已课外拓展提高 5.(2025一2026深圳罗湖区期末)若关于x的 一元二次方程(x+2)2=m(2x十1)中不含 x的一次项，则m的值是 变式题不含一次项→常数项为0 若关于x的一元二次方程(m-2)x2-x +m2一4=0的常数项为0，则m的值为 6.纠错题关于x的一元二次方程x2十(2a 1)x十5-a=ax十1的一次项系数为4，求 常数项的值.下面是乐乐同学的解题过程， 请判断是否正确.若不正确，请给出正确的 解题过程 乐乐同学的解题过程如下： 由题意，得2a一1=4，解得0， 55 常数项为5一2=2 知识要点归纳 1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且 都可以化成a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠ 0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程 2.一般形式：a.x2+b.x十c=0(a,b,c为常数，a≠ 0),其中ax2为二次项，a为二次项系数；bx为 一次项，b为一次项系数；为常数项 第2课时 一元二 已课内基础闯关 知识点① 一元二次方程的解 1.赋值法（2025一2026宿州埇桥区检测)方程 x2=2x的根是 A.x=2 B.x=-2 C.x1=0,x2=-2 D.x1=0,x2=2 2.(2025一2026佛山顺德区检测)若x=3是关 于x的方程x2一4x十m=0的一个根，则m 的值为 A.3 B.4 C.-4 D.-3 变式题直接求值→整体求值 已知m为一元二次方程x2+3x一2025= 0的一个根，那么2m2+6m-2025的值为 ( A.2025 B.-2025 C.0 D.4050 3.欧几里得的《几何原本》记载对B, 于形如x2十ax=b2的方程，可 用如图所示的解法：作 第3题图 R△ABC,其中∠C=90°，AC=b,BC= 2 在斜边AB上截取BD=BC.则该方程的其 中一个正数根是 A.线段AC的长 B.线段BC的长 C.线段AD的长 D.线段CD的长 4.请写出一个以x=2为其中一个根的一元二 次方程： 知识点②用估算法求一元二次方程的近似解 5.根据下表中的对应值判断方程x2十3x一5 =0的一个根的取值范围为 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+3x-5 -0.490.040.59 1.16 欠方程的解及其估算 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 已课外拓展提高 6.观察表格，一元二次方程x2十x=1.2的一 个近似解是 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x2+x0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A.0.7 B.1.19 C.1.44 D.1.71 7.整体思想若关于x的方程x2十bx十c=0的 根是x1=2,x2=一3，则方程(x一4)2十 b(x一4)十c=0的根是 8.如果一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0) 满足a一b十c=0,那么我们称这个方程为 “凤凰方程” (1)判断一元二次方程3.x2一4x一7=0是否 为“凤凰方程”，并说明理由 (2)已知2x2一mx十5=0是关于x的“凤凰 方程”，求m的值. 知识要点归纳 1.一元二次方程的解：能够使一元二次方程两边 相等的未知数的值. 2.一元二次方程近似解的求法：估算法. 上册第二章 2514.【解析】如图，过点F分别作 FM⊥BC,FN⊥AB,垂足分别为 M,N,连接AM,则∠FMC=90°. ,四边形ABCD为正方形， ∠ABC=90°， .∠ABC=∠FMC, .AB∥FM,.FN=BM. 1 SAa=ZAB·FV,SAAIN=2AB·BM, ∴.SAABF=SAABM· CF⊥BE,垂足为F,AB=1=BC,∠EBC=30°， .∠BFC=90°，CF=2BC=2 .∠CFM=90°-∠BCF=30°， CM-TCF- BM=BC-CM=3 4 1 33 ∴.SAABF=S△ABN=2 ×1×4=8 15.解：(1)，BQ∥AC, ∴∠PAC=∠QBA. :∠BPC=∠CAQ, ∴∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠QAB, ∴∠PCA=∠QAB. I∠PAC=∠QBA, 在△PAC和△QBA中，AC=BA, ∠PCA=∠QAB, ∴.△PAC≌△QBA(ASA), ..AP=BQ=2. (2)CD=QE.理由如下： 如图①，连接AQ. ,四边形AEBD为矩形， .BE∥AD, ∴.∠PAC=∠QBA. 在△PAC和△QBA中， (AC=BA. 图① ∠PAC=∠QBA, AP=BQ, .△PAC≌△QBA(SAS), ∴∠CPA=∠AQB, ∴.180°-∠CPA=180°-∠AQB,即∠BPC =∠AQE. 又，∠BPC=∠BCD, .∠BCD=∠AQE. ,四边形AEBD为矩形， .BD=AE,∠BDC=∠BDA=∠E=90°， .△BDC≌△AEQ(AAS), .CD=QE. (3)BP=2QE.理由如下： 如图②，延长AD至点F,使得AF=AB,连接 BF.PF. .AF=AB, 1 ∠DFB=∠ABF=2(I80°- ∠DAP)=90°2∠DAP F D 图② ∠EAQ=2∠DAP, ∴.∠DFB=90°-∠EAQ=∠EQA. 由(2)同理可得，△DFB≌△EQA(AAS), .FD=QE. .AB=AF, ..AP+BP=AD+FD=AD+QE. ,四边形AEBD为矩形，.AD=BE, ..AP+BP=BE+QE=BQ+2QE. AP=BQ,∴.BP=2QE. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.A 2.C【解析】2(x+1)+(2x-1)2=0,.2x十2+4x2 -4x+1=0,.4x2-2x+3=0. 3.x2+82=(.x+4)24.B 5.2【解析】原方程可化为x2十4x十4=2m.x十m. 移项，得x2十（4一2n)x+(4一m)=0. 由不含x的一次项，得一次项系数4一2m=0, 解得m=2. 变式题-2 6.解：不正确.正确的解题过程如下： 整理，得x2十(a一1)x十4一a=0. 由题意，得a一1=4，解得a=5, .4一a=一1，∴.常数项是一1. 第2课时一元二次方程的解及其估算 1.D 2.A 变式题A【解析】：m为一元二次方程x2+3x一 2025=0的一个根，.m2+3m=2025, .2m2+6m=2(m2+3m)=4050,.2m2+6m-2025 =2025 3.C【解析】由勾股定理，得BC2+AC2=AB2.,BD= BC-2.AC=0.AB=2+AD.()+=(2 十AD）.整理，得AD2十a·AD=b.x2十a.x=b2, .线段AD的长是方程x2十a.x=b的一个正数根. 4.x2一4=0（答案不唯一） 5.B6.A 7.x1=6,x2=1【解析】设1=x一4，则方程(x一4)2十 b(x一4)十c=0变为t2十bt十c=0. ,方程x2十bx十c=0的根是x1=2,x2=-3, ∴t=2或t=-3. ,t=x-4, 上册详解详析 15Λ .x一4=2或x一4=-3， ∴.x=6或x=1. 故方程(x一4)2+b(x-4)十c=0的根是x1=6,x2 =1. 8.解：(1)一元二次方程3.x2一4.x一7=0是“凤凰方程” 理由如下： 由题意，得a=3,b=-4,c=-7, ∴.a-b+c=3-(-4)-7=0. 故一元二次方程3.x2一4x-7=0是“凤凰方程”. (2)由题意，得a=2,b=-m,c=5. ,2x2-m.x十5=0是关于x的“凤凰方程”， ∴.a-b+c=2-(-m)+5=0, 即2+m+5=0, 解得m=一7. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解二次项系数 为1的一元二次方程 1.D2.A变式题m>1 3.解：(1)方程可化为x2=16, 两边开平方，得x1=4,x2=-4. (2)两边开平方，得x-4=士5， 即x-4=5或x-4=-5,x1=9,x2=-1. 4.(1)42(2)63(3)12x35.D 6.B【解析】，x2+4x=5,∴.x2十4x十4 =5十4，按照这种构造方法，一方面，大 正方形的面积为(x十2)；另一方面，它 2 又等于5十4，据此可得方程的一个正数 解为x=1.故可构造的图形如图. 7.解：(1)移项，得x2-2x=7. 配方，得x2-2x+1=7+1, 即(x-1)2=8. 两边开平方，得x-1=士2√2， 懈得x1=2√2+1，x2=-2√2+1. (2)移项，得x2一12x=5. 配方，得x2一12x+36=41,即(x一6)2=41. 两边开平方，得x-6=士√4红， 解得x1=6十√4I,x2=6-√4T. 8.C 9.士√2【解析】由题意，得(x十1)(x+1)一(x一1)(1一 x)=6,x2+2x+1+x2-2x+1=6,.2x2+2=6. 化简，得x2=2,解得x=士√2. 10.解：(1)整理方程，得(2x-3)2-75=0. 移项，得(2x-3)2=75. 两边开平方，得2x-3=土5√3， 3+5√33-53 解得x1= ,x2 2 2 (2)移项，得x2-4x=1. 配方，得x2-4x十4=1十4，即(x-2)=5. 两边开平方，得x-2=±√5， 解得x1=2+√5，x2=2-5. 16 九年级数学BS版 11.解：设小道的宽为xm,则剩余部分可合成长(40一 x)m、宽(20-x)m的矩形.依题意，得(40-x)(20 x)=741.整理，得x2-60x+59=0,由配方法解得 x1=1,x2=59.又20-x>0,.x<20,.x=1. 故小道的宽为1m. 12.解：1)x-13(2) 1 (3)N-M=2x2-1-(4x-5)=2x2-1-4x+5= 2.x2-4x+4=2(x2-2x+1)+2=2(.x-1)2+2. 2(x-1)2≥0， .2(x-1)2+2>0, 即N-M>0,.M<N. 【解析】(1)x2-2x+4=x2-2x+1+3=(x-1)2+ 3.(2)原式配方，得a2-6a+9+b2+4b+4=0, 即(a-3)2+(b+2)2=0. (a-3)2≥0，(b+2)2≥0， .a-3=0,b十2=0， 解得a=3,b=一2， =g-- 第2课时用配方法求解二次项系数 不为1的一元二次方程 1.D 2.D【解析】-3x2+12x-2=0, 2」 两边都除以（一3），得x-4x+3=0. 移项，得x2一4x= 2 3 配方，得x2-4x十4= 3+4, 即(x-2)=10 10 104 六a=-2,b=3a+b=-2+3-3 3.解：(1)两边都乘4，得x2十4.x-12=0. 移项，得x2+4x=12. 配方，得x2+4x+4=12+4, 即(x+2)2=16. 两边开平方，得x+2=士4， 解得x1=一6，x2=2. (2)两边都除以5，得x2十2x一3=0. 移项，得x2十2x=3. 配方，得x2+2x+1=3+1, 即(x十1)2=4. 两边开平方，得x+1=士2， 解得x1=1,x2=-3. 4.B【解析】3.x2-6x+11=3(x-1)2+8.(x-1)≥ 0,∴代数式3x2-6x+11的值总不小于8. 1 或号【解折1当为-空m时，5-151-5，解得 5.2或2 -分，=放当1=名：或号时，小球的高度为 5 5 25 4m.