周测四(2.1～2.2)-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

周测四 (时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.（2025一2026昆明检测)若关于x的方程(m 十1)x2十m.x一1=0是一元二次方程，则m 的取值范围是 ( A.m≠-1 B.m=-1 C.m≥-1 D.m≠0 2.已知关于x的一元二次方程x2x一6= 0,其中一次项系数被墨迹污染了.若这个方 程的一个根为一2，则一次项系数为（) A.-2 B.1 C.-1 D.-6 3.(2025一2026萍乡期中)已知关于x的一元 二次方程x2一nx十n=0,其中m,n在数轴 上的对应点如图所示，则这个方程的根的情 况是 n 0 m 第3题图 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 4.一元二次方程3x2一12x一2=0配方后可变 形为 ) A.(x-2)2=10 3 B.(x-2)2=14 3 C.(x+2)2= 10 3 D.(x+2)2-14 3 5.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配 方法解一元二次方程.规则：每人只能看到前 一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传 递给下一人，最后解出方程.过程如图所示： 老师 甲 乙 20r2x1531vVa 第5题图 2.12.2) 满分：100分) 接力中，自己负责的一步出现错误的是 ( A.只有甲B.甲和乙C.甲和丙D.丙和丁 6.若关于x的一元二次方程(m一3)x2十x十m 一9=0的一个根为0，则m的值为() A.-3 B.0 C.3 D.-3或3 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.方程(x一3)2=x一3的根是 8.已知关于x的一元二次方程mx2一2x+3= 0有两个相等的实数根，则m的值为 9.若n是方程2x2一3.x一6=0的一个根，则 2n2-3n+2025的值为 10.如图，数轴上点A代表的数为4x一3，点B 代表的数为x2十2x,点B在点A右侧，则 点A,B之间的距离至少为 A B 4x-3 x2+2x 第10题图 11.已知等腰三角形ABC的三边长为a,b,c, 其中a,b满足a2十b2=6a十12b-45,则 △ABC的周长是 12.定义：方程中含有根号，且被开方数含有未 知数的方程叫作无理方程.例如对于无理方 程√x2一x十1=x,可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式 方程，得x2-x十1=x2; ②第二步，解整式方程，得x=1； ③经检验，x=1是原方程的解. 仿照上述过程，可求出方程√5一2x=1一x 的解为 ←44444 上册限时周测 123 三、解答题（第13小题16分，第14小题10分， 第15小题14分，共40分) 13.运算能力解方程： (1)2y+2)2-6=0. 2)x23x1=0 (3)-3x2+4.x+1=0. (4)(x-1)(x-2)=12. 14.数形结合思想已知□ABCD的两边AB, BC的长是关于x的方程x2-mx+?- 24 =0的两个实数根. (1)求证：无论m取何值，该方程总有两个 实数根. 124 九年级数学BS版 (2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ 求此时菱形的边长 (3)如果AB的长为2，那么□ABCD的周 长是多少？ 15.推理能力(1)①方程x2-2x十1=0的解 为 ②方程x2一3.x十2=0的解为 ③方程x2-4x+3=0的解为 ； …… (2)根据(1)中方程及其解的特征，请猜想： ①方程x2一10x+9=0的解为 ②关于x的方程 的解为x1=1,x2=n. (3)请用配方法解方程x2一10x十9=0，以 验证猜想结论的正确性.:∠BCM+∠MCD=90°， ∴.∠CDN+∠MCD=90°， .∠COD=90°， .DN⊥CM. (2)连接CE并延长交AD于点G,连接GM,如图①. ,四边形ABCD是正方形， M .AD=AB,∠A=90°，BC∥AD .∠ENC=∠EDG. 又，NE=DE,∠NEC=∠DEG, ∴.△CNE≌△GDE(ASA), ∴.CE=GE,CN=GD=1」 图① 又，MF=CF,.EF是△CMG的中位线， EF=号MG 正方形的边长为4，BM=GD=1, ,∴.AM=AG=3. 在Rt△AGM中，由勾股定理，得GM=√AM+AG =√32+32=3√2， EF=3 2 (3)线段PM的长为3Y☑ 17 【解析】(3)如图②，过点B作BH⊥CM于点H. .CM2=BC2+BM2, .CM=√+4=√/17. Sa=CMBH=C·BM, .17BH=4X1, BH=47 17 ∴CH=√BC-BH=16V7 17· ∠BPC=45°， 图2 ∴PH=BH=47 17· ·PC=PH+CH=207 17 ∴PM=PC-CM=3V7 17 周测四(2.1~2.2) 1.A2.C3.A4.B5.C 6.A【解析】，一元二次方程(m一3)x2十x十m2-9=0 的一个根为0，.m2一9=0且m一3≠0，解得m= -3. 7.x1=3,x:=48.3 9.2031【解析】，n是方程2x2一3x-6=0的一个根， .2n2-3n-6=0,.2n2-3n=6,.2m2-3n+2025 =6+2025=2031. 10.2【解析】由题意，得B-A=x2十2x-4x十3=x 54 九年级数学BS版 -2x十3=(x-1)2+2.:(x-1)≥0，.(x-1)2+ 2≥2，即点A,B之间的距离至少为2. 11.15【解析】：a2十b2=6a+12b-45,.a2-6a十b2 -12b+45=0, .a2-6a+9+b2-12b+36=0,.(a-3)+(b- 6)2=0. (a-3)2≥0，(b-6)2≥0，.a-3=0,b-6=0,.a =3,b=6. 根据三角形三边关系，6为腰长，∴.三角形的周长=6 +6+3=15. 12.x=一2【解析】将等式√5一2x=1一x两边同时平 方，转化为整式方程，得5一2x=1-2x十x2,解整式 方程，得x1=2,x2=一2.经检验，x1=2不符合题意， 舍去，x2=一2符合题意.故x=一2是原方程的解. 13.解：(1)原方程可化为(y十2)=12. 两边开平方，得y+2=±2√3， y1=-2+2√5，y2=-2-23. (②)移项得r-号=1.配方：得r-号十（兮） =1+(兮)广，即(。一》广-0两边开平方得 1 3 41 (3)原方程可化为x-3x=3· 配方得(-号)-子 两边开平方，得一号-士。 2+√72-√7 .x1 3 一，x2 3 (4)原方程可化为x2-3.x=10.配方，得x2-3.x十 (》=10+(号》，即(x-》-9两边开平方， 3 7 得x-2=士2心x1=5x:=-2. 14.解：(1)证明：由题意，得△=m2一2m十1=(m-1)2. :无论m取何值，(m一1)≥0，.无论m取何值，该 方程总有两个实数根. (2)若四边形ABCD是菱形，则AB=BC,即方程有 两个相等的实数根，∴.(m一1)2=0，∴.m=1.将m=1 1 1 代人方程，得x-x+4=0,解得工=x=2,故当 m=1时，四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长 (3)根据题意，将x=2代入方程x一mx十？一 24 0,解得m=子将a=号代人方程一mr十号是 =0,得2-名十1=0，解得=2=号BC =2故口ABCD的周长为2×(2+号）=5. 1 15.解：(1)①x1=x2=1 ②x1=1,x2=2 ③x1=1,x2=3 (2)①x1=1,x2=9 ②x2-(1+n)x十n=0 (3)移项，得x2-10x=一9. 配方，得x2-10x+25=16,即(x-5)2=16. 两边开平方，得x一5=±4，即x-5=-4或x-5 =4, 解得x1=1,x2=9. 周测五(2.3~2.4) 1.C2.C 3.A【解析】设每纵列的人数为x,则每横排的人数为 (2x-3). 由题意，得x(2x-3)+2=352. 整理，得2.x2-3.x-350=0, 解得x1=14,x2=一12.5（舍去）， ∴.2x-3=25. 故方队每横排的人数为25. 4.B【解析】，x1,x2是一元二次方程x2一2x-4=0的 两个根，∴x1十x2=2,x1x2=一4， T1T2 5.A【解析】设经过xh,甲、乙两人相距6km.根据题 意，得BC=(10-16x)km,DC=12.xkm.,BC2+ DC2=BD,.(10-16x)2+(12.x)2=62,解得x1=x2 行故最短用时是号 2 6.C【解析】在正方形ABCD中，：AB 5cm,.AC=5√2cm. 由题意，得AP=√2tcm,CQ=tcm, H .PC=(5√2-√2t)cm,BQ=(5 t)cm. 如图，过点P作PH⊥BC于点H,则由勾股定理可 PC2 得，PH+HC=PC,∴PH=HC=√2 =(5- t)cm, .HQ=HC-CQ=5-2tcm. 在Rt△PHQ中，PH+HQ=PQ,即(5-t)2+(5 -2t)2=（√10)2，解得t,=2,t2=4.故在P,Q两点移 动的过程中，当PQ的长度为√I0cm时，t的值为2 或4. 7.12 8.一7【解析】关于x的一元二次方程x2-2x一a=0 的两个根分别记为x1,x2,x1十x2=2,x1x:=一a. x1=-1,x2=3, x1x2=-3=-a,.a=3,∴.a-x-x号=3- (-1)2-3=3-1-9=-7. 9.7【解析】设原正方形空地的边长为xm,则矩形空地 的长为(x一2)m,宽为(x-3)m. 依题意，得(x一2)(x-3)=20. 整理，得x2-5x-14=0,解得x1=7,x2=-2(不合 题意，舍去). 故原正方形空地的边长为7m. 10.一2【解析】，'(a+m)(a+n)=2,(b+m)(b+n)= 2,.a2+(m+n)a+mn-2=0,b2+(m+n)b+mn -2=0. a,b,m,n为互不相等的实数，.a,b可看作方程 x2十(m十n)x十mn一2=0的两个实数根，..ab=mn -2,.∴.ab-mn=-2. 11.4√5一5【解析】如图，先构造一个面 积为x2的正方形，再以正方形的边为 边向外构造四个面积为)x的矩形 2 得到大正方形的面积为55+（受）°×4 =80,则该方程的正数解为V80-号×2=45-5. 12.20【解析】由题意，得前n行的点数之和1+2+3+ 4计5++=》当0” 2 =210时，整理， 得n2+n-420=0,解得n1=20,n2=一21.：n为正 整数，.n=20. 13.解：(1)设AC=x1,BC=x2.由根与系数的关系，得 x1十x2=4-m,x1x2=一4m. 由Rt△ABC斜边AB的长为5，结合勾股定理，得x号 +x=52,∴.x号十x号=(x1十x2)2-2x1x2=(4-m) -2×(-4m)=16-8m+m2+8m=m2+16=25, ∴.m2=9,.m1=3,m2=-3. 当m=3时，x1=4,x2=-3或x1=-3,x2=4; 当m=一3时，x1=3,x2=4或x1=4,x2=3. x1>0,x2>0,.m=-3. (2)①若AB为底边，则BC=AC,即方程有两个相等 的实数根，即x1=x2·由x1十x2=4一m,得x1=x2 =4,0,代人，x,=一4m,得4-m)=一4m.整 2 4 理，得m2十8m+16=0,即(m+4)2=0,解得m= -4,则x1=x2=4,即BC=AC=4,∴.△ABC的周 长为AB+BC+AC=6+4+4=14. ②若AB为腰，则BC=6或AC=6.令x1=6,x2 =4-m-6=-m-2,代入x1x2=-4m,得6· (一m一2)=一4m,解得m=一6，则x2=4,∴.△ABC 的周长为AB+BC+AC=6+6+4=16. 综上，△ABC的周长为14或16. 14.解：(1)220 (2)设参加活动的学生人数为x. 由题意，得x[240-5(x-10)]=3600, 解得x1=18,x2=40. 当x1=18时，240-5×(18-10)=200（元），符合 题意. 上册详解详析 55Λ