周测二(1.3)-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

13.解：(1)AE=EF=AF. (2)证明：如图①，连接AC. :四边形ABCD是菱形，∠ABC =60°，∴.AB=BC,∠BAD ∠BCD=120°， ∴△ABC是等边三角形， .∠BAC=∠BCA=60°，AB=AC, ∴.∠ACF=∠BCD-∠BCA=60°=∠B. :∠EAF=60°， .∠BAE=∠CAF=60°-∠CAE ∠B=∠ACF 在△ABE和△ACF中，AB=AC, ∠BAE=∠CAF .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF. (3)FM的长度为3-√5. 【解析】(1)如图②，连接AC. ,四边形ABCD是菱形，∠ABC =60°， ∴AB=AD,∠D=∠ABC=60°， ∠BAD=180°-∠ABC=120°， .∠BAC=60°. 图② ,E是线段CB的中点， ∴∠BAE=∠CAE-∠BAC=80 :∠EAF=60°， ∴.∠DAF=120°-∠BAE-∠EAF=30°=∠BAE. ∠DAF=∠BAE, 在△DAF和△BAE中，{AD=AB, ∠D=∠ABE, .△DAF≌△BAE(ASA), .AF=AE,△AEF是等边三角形， ..AE=EF=AF. (3)如图③，连接AC,过点A作 AH⊥BC于点H,则∠AHB= ∠AHC=90°. ,∠ABC=∠ACD=60°， 图③ ∴.∠ABE=∠ACF=180°-60 =120°. ∠EAF=∠BAC=60 ∴∠EAB=∠FAC=60°-∠BAF ∠EAB=∠FAC, 在△ABE和△ACF中，AB=AC, ∠ABE=∠ACF, .△ABE≌△ACF(ASA), .BE=CF. :∠AHB=90°，∠ABH=60°，∠BAH=30°， BH-2AB-2, ∴.AH=√AB2-BH=√4-2=23. :∠EAB=15°， .∠AEH=∠ABH-∠EAB=45°， ∴.∠EAH=∠AEH=45°， ∴.EH=AH=23, ..CF=BE=EH-BH=23-2. FM⊥BC,CD∥AB, ∴.∠CMF=90°，∠FCM=∠ABC=60°， ∴.∠CFM=30°， CM=2cF=3×25-2)=5-1.cF-2CM. ∴.FM=√(2CM)2-CMF=√3CM=√5X(5-1)= 3-5. 周测二（1.3) 1.C2.D 3.A【解析】：四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3, AO=CO=BO=DO.·DF垂直平分OC,.OD= DC,∴.OD=DC=OC=√5，即△ODC是等边三角形， ∴AC=23,.BC=WAC-AB=/12-3=3. :△ODC是等边三角形，DE⊥AC,.∠CDE= ∠ODE=30°，.DC=√5CF=√3，∴.CF=1,.BF= 2,.AF=√AB2+BF=√3+4=√7. 4.C【解析】如图，作点B关于AC 的对称点B',连接BB交AC于点 D F,连接B'N,B'M,B'A,作B'E⊥ AB于点E,交AC,AB于点 M',N'. E(N') 由对称的性质，得BF=B'F,BM=B'M,∴BM+MN =B'M+MN.根据三角形三边数量关系可得，B'M十 MN>≥B'N. 根据点到直线垂线段最短可得，B'N≥BE,∴.当点 M,N在垂线BE上，即点M与点M',点N与点N 重合时，BM+MN=B'E,此时值最小. :四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°，.AC= ABFBC35.SAe-AB BC =2AC·BF,∴BF=AB,BC=6X365 AC 3√5 BB =2BF=2×65=25.在RIAABF中，F 5 专AB·BE=BB·AR,BE=WE AE AB 125×125 5 5-24 6 5.46.3 7.43【解析】：四边形ABCD是平行四边形，OA= OB,∴.AO=BO=DO=OC,即AC=BD,∴.□☐ABCD 为矩形，.∠DAB=90°.∠AOD=60°，∴△ADO是 等边三角形，.DO=AD=4,.BD=OD十OB=8.在 Rt△ABD中，AB=√BD-AD=√64-16=4√3. 上册详解详析 51△ 8.4【解析】如图，过点O作OG⊥BC 于点G,则∠A=∠OGF=90°，OG= AB.,四边形ABCD是矩形，O是 AD的中点，AB=2,AD=4,∴.OA= G F AB=OG.,∠EOF=90°，.∠AOE+∠EOG= ∠EOG+∠GOF=90°，.∠AOE=∠GOF,∴.△AOE ≌△GOF(ASA),∴.AE=GF,.EB+BF=EB+AE +BG=AB+BG=4. 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， 0A=0C=号AC.AC.BD.∠C0D=90 DE=专AC0C=DE. DE∥AC, ∴.四边形OCED是平行四边形. 又：∠COD=90°， '.□OCED是矩形. (2)四边形OCED是矩形， 0F-20E-cD-AD-5. 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.AB=CD AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°，∴.∠BAC=∠DCA. ,AB=6cm,BC=8cm,.AC=10cm.,'G,H分别 是AB,DC的中点，AG=号AB,CH=CD, ∴AG=CH.由题意，得AE=CF,∴.AF=CE ∴.△AGF≌△CHE(SAS),∴.GF=HE,∠AFG= ∠CEH,∴.GF∥HE,以E,G,F,H为顶点的四边 形始终是平行四边形 (2)如图，连接GH ,G,H分别是AB,DC 的中点，∴AG=DH.易 证AGHD为矩形，∴.GH =AD=BC=8cm,∴.当 EF=GH=8cm时，四边 形EGFH是矩形.分两种情况讨论： ①E,F相遇前，EF=(10-4t)cm,即10-4t=8,解 得t=0.5: ②若E,F相遇后，EF=(4t-10)cm,即4t-10=8, 解得t=4.5. 故当t为0.5或4.5时，以E,G,F,H为顶点的四边 形是矩形. 11.解：(1)①5/34√106√97 ②PA+PC=PB2+PD (2)成立.理由如下： :四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=∠ABC ∠ADC=∠BCD=90°，∴.∠EAB=∠FBA=90°. ,过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC反向延长线 于点E,F,.∠E=90°，.四边形ABFE和四边形 DCFE都是矩形，.AE=BF,DE=CF. .PD2=DE2+PE=CF2+PE2,PA=AE2+PE2 =BE2+PE2,..PD2-PA=CF2-BE2 52 九年级数学BS版 .PC2=CF2+PF2,PB2=BE2+PF2..PC2- PB2=CF2-BF2,:PC2-PB2=PD2-PA, ∴.PA2+PC2=PB2+PD2. (3)√T-1 【解析】(3)如图，作PM⊥ CA交CA的延长线于点 M,则∠PMC=90°，∴.PC2 P =PM+CM2.PA'=PM2 十AM2. 作BN⊥PM交PM的延长 N 线于点N,作CT⊥NB交NB的延长线于点T,连接 AT,PT. ∠BAC=90°，∴∠BAM=90. :∠AMN=∠N=∠CTN=90°，∴.四边形ABNM 和四边形CTNM都是矩形，.TN=CM,BN=AM, ..PT2=PN2+TN2=PN+CM2,PB2=PN2+ BN2=PN2+AM2,.PT2-PC2=PN2-PM2, PB2-PA?=PN2-PM2,:.PT2-PC2=PB2- PA2.PA=1,PB=3,PC=√5，.PT= √PB+PC-PAF=√32+(3)2-1=√1T. TA+PA≥PT,.TA+1≥√I,.TA≥I 1. ,AB∥MN,∴.∠ABT=∠N=90°，∴.四边形ABTC 是矩形，.TA=BC,.BC>I1一1，.BC的最小 值为√T-1. 周测三（1.4) 1.C 2.B【解析】连接AC,CF,如图 ,四边形ABCD和四边形CEFG 都是正方形， H ∴.∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC =√2BC=2√2，CF=√2CE= 62, .∠ACF=45°+45°=90°. 在Rt△ACF中，AF=√/(2√2)+(6√2)2=45. :H是AF的中点， CH=2AF=25. 3.D【解析】如图，连接BD,EF交于点 O,则BD⊥EF,:正方形ABCD的面 积为16，∴.AD=AB=√16=4，∠A= 90°，∴.BD=AD+AB=4√2，OD =2BD=2V2.:菱形BEDF的面积 为42EF-2X42=20E=号EF=1DE 42 =√OD+OE=3,∴.菱形BEDF的周长=4DE=4 ×3=12. 4.C【解析】如图，在DC上截取DH=BG,连接AH.周测二 (时间：60分钟满 一、选择题（每小题6分，共24分） 1.在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD.下列 说法能使四边形ABCD为矩形的是() A.AB∥CD B.AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D 2.如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过 点O的直线分别与BC,AD交于点E,F,连 接BO,CF.若AB=BO,BE=EO,则下列 结论错误的是 A.AC⊥EF B.EF=FC C.BE+DF=EF D.AD=2AB N 第2题图 第3题图 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,DF垂直平分OC,交AC于点E, 交BC于点F,连接AF.若AB=√3，则AF 的长为 A.7 B.2√2 C.3 D.10 4.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=3.若 AC,AB上各取一点M,N,使BM+MN的 值最小，求这个最小值 ) A.5 B.3/3 c D 26 第4题图 第5题图 二、填空题（每小题7分，共28分） 5.（2025一2026深圳龙华区期末)如图，在矩形 ABCD中，AC,BD相交于点O,OE⊥CD 于点E.若AB=6,AC=10,则OE的长为 (1.3) 分：100分+10分) 6.如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，F, G,H分别是BE,BC,CE的中点.若AF= 3,则GH的长为 F\ 第6题图 第8题图 7.在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,OA=OB.若AD=4,∠AOD=60°，则 AB的长为 8.(教材变式)如图，在矩形ABCD中，AB=2, AD=4,O是AD边的中点，∠EOF=90°， 点E在AB上，点F在BC上，则EB十BF 三、解答题（第9,10小题各15分，第11小题 18分，共48分) 9.如下图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,过点D作DEAC,且DE=2AC. 连接CE,OE,OE交CD于点F. (1)求证：四边形OCED是矩形. (2)若AD=10,求OF的长. 上册限时周测 119 10.几何直观如下图，在矩形ABCD中，AB= 6cm,BC=8cm,对角线AC上的两个动点 E,F分别从点A,C同时出发，相向而行，速 度均为2cm/s,运动时间为t(0≤t≤5)s. (1)若G,H分别是AB,DC的中点，且t≠ 2.5,求证：以E,G,F,H为顶点的四边形 始终是平行四边形 (2)在(1)的条件下，当t为何值时，以E, G,F,H为顶点的四边形是矩形？ 1114115 120 九年级数学BS版 11.项目式学习解答下列问题.(18分) 【问题发现】(1)如图①，在矩形ABCD中， AB=9,BC=12,P是矩形ABCD内一点， 过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC于点 E,F,PE=4,AE=3.则： ①PA= PB= PC= PD= (8分) ②PA2+PC2与PB+PD2之间的数量关系 是 .(2分) 【类比探究】(2)如图②，点P是矩形ABCD 外一点，过点P作EF⊥AD,分别交AD, BC反向延长线于点E,F,(1)中②的结论 还成立吗？请说明理由.(8分) 【拓展延伸】(3)（选做题）如图③，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，P是Rt△ABC 外一点，PA=1,PB=3,PC=3,则BC的 最小值为 .(10分) 图① 图② 图③