期中学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

九年级数学BS版上册 期中学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是3，常数项是一1的是() A.-3x2+3x=1B.-3.x2+3x=1C.3x2-3x=-1D.3x2-3x=1 2.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个 点A,B,C都在横线上.若线段BC=2,则线段AB的长是 () A.1 B.2 C.3 D.4 彩的中国梦 第2题图 第4题图 3.(2025一2026抚州期中)若菱形ABCD两条对角线AC和BD的长度是方程(x 一2)(x一4)=0的两根，则该菱形的边长为 () A.√5 B.4 C.25 D.5 4.如图，某校宣传部要在矩形海报的四周增加一圈等宽的白边作为宣传版面.已 知海报的长为2m,宽为1m,海报的面积占整幅宜传版面面积的子，求白边的 宽.若设白边的宽为xm,则根据题意可列方程为 () A2(2+x)1+x)=2x1 B（2+2x)1+2x)=2×1 c22-21-2x)=2x1 D(2+200+2x)=2X1X号 5.(2025一2026郑州检测)某地为了方便司机停泊车辆而设计了图①所示的平行 四边形的停车位.如图②，四边形ACDF为平行四边形，小车实际占用位置为矩 形BCEF.若BC=5m,CE=2m,∠D=45°，则AC的长为 () A.7m B.(5+√2)m C.(5+22)m D.72m F 图① 图② E 第5题图 第6题图 6.如图，正方形ABCD的面积为16cm,△AEF为等腰直角三角形，∠E=90°， AE和BC交于点G,AF和CD交于点H,连接GH,则△CGH的周长为 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.已知一元二次方程x2十k一3=0有一个根为1，则k的值为 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AC=BD.请添加一个条件： ,使四边形ABCD是矩形（写出一种情况即可）. 159 0 D B 6543210 第8题图 第10题图 9.关于x的一元二次方程ax2一2x十3=0有两个不相等的实数根，则整数a的最 大值是 10.如图，测量玻璃管口径的量具ABC,AB的长为3cm,AC被分为6等份.如果 玻璃管口DE正好对着量具上刻度2处(DE∥AB),那么玻璃管口径DE的长 为 cm. 11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1个单位长度.若BC∥x 轴，且点A的坐标是(2,2)，则点C的坐标为 D A D B A 第11题图 第12题图 12.如图，在矩形ABCD中，AD=13,AB=24,E为边AB上的一个动点.将 △CBE沿CE折叠，得到△CB'E,连接AB',DB'.若△ADB'为等腰三角形， 则BE的长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)解方程：x(x-2)十x一2=0. (2)如下图，菱形ABCD中，点E,F分别是AB,BC边上的点，BE=BF.求证： ∠DEF=∠DFE. D 14.如下图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，分别取AB,AC边上的中点D, E,连接DE并延长到点F,使得EF=2DE,连接CF,BE. (1)求证：四边形BCFE是菱形. (2)若DE=4,求四边形BCFE的面积. 15.(2025一2026重庆万州区期未)如下图，在菱形ABCD中，P,Q是对角线BD 上的两点，连接CP,CQ,且BP=DQ. (1)求证：∠BCP=∠QCD. (2)若PQ=CQ,∠DCQ=2∠CDQ,求∠A的度数. 16.如下图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4, 2).C(0.4). (1)以原点O为位似中心，相似比为2，在y轴的左侧，画出△ABC缩小后的图 形△A,BC (2)点C,的坐标为 ；△ABC与△A1B,C,的周长比是 ;△ABC与△A,B,C,的面积比是 y↑ 6 C 4 2 654321,0123456x 2 -3 4 人5 16 17.【背景】 山西是热度较高的旅游目的地之一.某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对 活动方案进行升级，需要对“山西三日游”旅行的定价和报名人数进行调研 【素材1】 活动推出后，9月份报名参加“山西三日游”的人数为1500.随着旅游热度不断 提升，报名人数逐月递增，预计11月份的报名人数将达到2160. 【素材2】 该旅行社“山西三日游”活动的初步方案为30人起组团，每人的团费为900元. 经调查发现，若每人的团费每降低10元，则平均每个团的报名人数会增加1 人（每人的团费不低于750元）. 【问题解决】 (1)求从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率， (2)若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求每人的团费. 114141 160 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如下图，在□ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于 点F. (1)求证：AF=AB. (2)G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H.若AG=2, FG=6,求GH的长. D GA 19.已知关于x的一元二次方程x2一m.x+m一1=0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根。 (2)□ABCD的两边AB,AD的长是已知方程的两个实数根. ①若口ABCD是矩形，且m=5,求矩形的面积； ②当取何值时，□ABCD是菱形？请求出菱形的边长， 20.【课本再现】 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 (1)如图①，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD.求证： □ABCD是矩形. 图① 161 【知识应用】 (2)如图②，AD是△ABC的中线，AE∥BC,且AE=2BC,连接DE,CE. ①求证：AB=DE; ②当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？请说明理由. 图② 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）》 21.如图①，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园. 已知矩形的边CD为院墙，AD和BC与院墙垂直. (1)当围成的矩形养殖园面积为108m2时，求AB的长. (2)如图②，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上 两道隔离网.已知两道隔离网与院墙垂直.此时养殖园的面积能否达到100m? 若能，求出AB的长；若不能，请说明理由， D D 图① 图② 22.如下图，O为正方形ABCD对角线的交点，点E,F分别在正方形边BC,CD 上，BE=CF,连接OE,OF,EF. (1)求证：∠EOF=90°. 0 B EN C (2)M为CD的中点，N为BC的中点，MN与EF交于点K.请探究点K是否 平分EF. 六、解答题（本大题共12分） 23.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，点D在边BC上由点C向点B运 动（不与点B,C重合），过点D作DE⊥AD,交射线AB于点E. (1)分别探究以下两种特殊情形时线段AE与BE之间的数量关系，并说明理由. ①点E在线段AB的延长线上，且BE=BD; ②点E在线段AB上，且BE=DE. (2)若AB=6. ①当器-合时求AE的长： ②直接写出运动过程中线段AE长的最小值. B DO E 备用图 1141115 162∠EGB=∠MBP,.△EGBn△MBP,GE BM MP =EB' BM EG MP BE' .BE=EF=2FG...EG=EF+FG=3FG. BM EG 3 ·MP=BE=2 ,四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC, ∴.△ABC是等边三角形，∠BAC=60°， ∴.△AMP是等边三角形，.AM=MP, 六AB=BC=AM+BM=号MP, .'∠AMP=∠ABC,∠BAC=∠MAP, △AMP△ABC.÷S=()广=（号） SAABC 4 22.解：(1)相似.理由如下：，四边形PEVF是矩形， .PF∥l,PE∥MN.:DQ⊥PQ,∴.DQ∥PF, .∠CPR=∠PDQ.AD⊥I,AD∥BC,PF∥L, ∴.BR⊥PF,.∠CRP=∠PQD=90°，∴△PDQ ∽△CPR. (2)①如图，延长CR交直线l于点G,则点B到地面 L的距离即为BC+CR+RG的长.四边形PENF 是矩形，∴.∠FPE=∠PEG=90°.由(1)得BR⊥ PF,∴.∠PRG=90°，∴.四边形PEGR是矩形，.RG =PE..PE=1.16 m,CR=1.44 m,BC=AD= 1m,.BG=BC+CR+RG=BC+CR+PE=1+ 1.44+1.16=3.6(m). 故点B到地面1的距离为3.6m. E G ②道闸长AB=4m,设PC=xm,则DP=(4一x)m. 由)知△PDQn△CPR器品：点D距地 面0.2m,PE=1.16m,CR=1.44m,.PQ=PE- 1.44 x QE=1.16-0.2=0.96(m)心0.964=x,解得x =2.4,.PC=2.4m. 23.解：(1)在Rt△ABC中 :∠ACB=90°，AC=8,BC=6, .AB=10. .CD⊥AB c AC-AB CD. CD-6X8 10 =4.8,即线段CD的长为4.8. (2)设CQ=t,DP=t,则CP=4.8-t. ①如图①，当PQ⊥CD时，△QCP∽△ABC, 识-记即6-18解得-8 图① 图② ②如图②，当PQ⊥AC时，△PCQ∽△ABC, 器器。 =6,解得1=1,8. 综上所述，当t为3或1.8时，△CPQ与△ABC 相似. (3)①若CQ=CP,如图③，则t=4.8-t,解得 t=2.4. 图③ 图④ 图⑤ ②若PQ=PC,如图④，过点P作PH⊥QC于点H, .QH-CH-7QC- 易证△CHPP△BCA, 0蛋 144 0,解得1=5 ③若QC=QP,如图⑤，过点Q作QE⊥CP,垂足为 E.CE-EP-PC2.4- 易证△QEC∽△ACB, 需器 1 2.4-21 6 品解得器 综上所述，当：为24或或行时，△CPQ为等腰 三角形. 期中学业质量自我评价 1.D2.D3.A4.B5.A 6.C【解析】延长CB至点M,使BM=DH,连接AM, 如图所示 G E 上册详解详析 73△ ,四边形ABCD为正方形，且面积为16cm2, .∴.AB=AD=BC=CD=4cm,∠BAD=∠ABC=∠D =90°. ∴.∠ABM=90°， ∴.∠ABM=∠D=90° AB=AD. 在△ABM和△ADH中，∠ABM=∠D, BM=DH, ∴.△ABM≌△ADH(SAS), ∴.AM=AH,∠BAM=∠DAH. △AEF是等腰直角三角形，∠HAG=45°， ∴.∠BAG+∠DAH=45°， ∴.∠MAG=∠BAG+∠BAM=∠BAG+∠DAH= 45°，∴.∠MAG=∠HAG=45° 在△AMG和△AHG中， AM=AH, ∠MAG=∠HAG, AG=AG, ∴.△AMG≌△AHG(SAS),∴.GM=GH, ∴.△CGH的周长=GH+CG+CH=GM+CG+CH =BM+BG+CG+CH=DH+BC+CH=BC+CD =8cm. 7.28.AB=CD(答案不唯一)9.一110.2 11.(3,1)【解析】，四边形ABCD为正方形，且边长为 1个单位长度，∴.AB=BC=CD=AD=1,AD∥BC. .BC∥x轴，AD∥BC∥x轴.又，点A的坐标为 (2,2),点C的坐标为(3,1). ,【解析】如图，过点B作MN⊥CD 于点M,交AB于点N. 四边形ABCD为矩形， ,.BC=AD=13,CD=AB=24,∠B=∠BCD= ∠CDA=∠DAB=90° .MN⊥CD,.∠NMD=∠NMC=90°， ,.四边形ANMD和四边形BCMN均为矩形， .MN=AD=13.AN=DM.MC=BN. ①如图①，当AD=B'D=13时 M B 图① 由折叠的性质，得BC=BC=13,BE=B'E, ..B'C=B'D. 又：MNLCD,∴.CM=DM=2CD=12, ∴.B'M=√BC2-CM=√132-122=5， .B'N=MN-B'M=8. :B'E2=B'N2+NE2,∴.B'E2=64+(12-B'E)2, 六BE=B'E=26 3 74 九年级数学BS版 ②：AB'的最小值=AC-B'C=√24+137-13 >13, .AB'>AD,不存在AB'=AD的情况. ③如图②，当AB'=B'D时，易知B'为MN的中点， BM=BN号 ·BN=MC=VBC-BM=13 2 :B'E2=B'N2+NE2, BE-('+(8-BE), BE-B'E-13/3 3 ④如图③，当点B'在直线CD的上方，且AD=B'D 时，易知M为CD的中点， ∴.DM=CM=12,则B'M=√13-12=5， .B'N=18. 在Rt△ENB'中，BE2=(B'E-12)2+182, BE=BE-婴 综上所述，E的长为或 2 图② 图③ 13.解：(1)x(x-2)+x-2=0,.(x-2)(x+1)=0 x-2=0或x+1=0,即x1=2,x2=-1. (2)证明：，四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD =AD,∠A=∠C.:BE=BF,AB-BE=BC BF,即AE=CF. DA=DC. 在△DAE和△DCF中，{∠A=∠C, AE=CF. .△DAE≌△DCF(SAS), .DE=DF,.∠DEF=∠DFE 14.解：(1)证明：，∠ABC=90°，∠A=30°，E是AC边 上的中点， :ACB=60,BE-AE=CE-2AC. ∴△EBC为等边三角形， .BE=BC=CE. :AB边上的中点为D, ∴.DE是△ABC的中位线， ∴.DE∥BC,BC=2DE. .EF=2DE, .BC=EF, ,.四边形BCFE是平行四边形 .'BE=BC. .四边形BCFE是菱形. (2).'DE=4,.'.BC=BE=EF=AE=2DE=8. :∠ABC=90°，DE∥BC,∴.∠ABC=∠BDE=90°， ∴.BD=√BE-DE=√82-4=45， .四边形BCFE的面积为BD·EF=4√5X8 323 15.解：(1)证明：.四边形ABCD是菱形，.BC=CD, ∴.∠CBD=∠CDB. BC=DC, 在△BCP和△DCQ中，{∠CBP=∠CDQ, BP=DQ, .△BCP≌△DCQ(SAS),∴.∠BCP=∠DCQ. (2).△BCP≌△DCQ,.CP=CQ 又PQ=CQ,△PCQ是等边三角形，∴.∠PQC= ∠PCQ=60°. :∠DCQ=2∠CDQ,∠PQC=∠DCQ+∠CDQ, ∴.∠PQC=3∠CDQ, ∴.∠CDQ=20°，.∠DCQ=∠BCP=40°， ∴.∠BCD=∠BCP+∠PCQ+∠DCQ=140°. :四边形ABCD是菱形，∴.∠A=∠BCD=140°. 16.解：(1)如图，△A,B,C1即为所求. 654321.01 4563 16 (2)(0,-2)2:14:1 17.解：(1)设从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动 报名人数的月平均增长率为x 由题意，得1500(1+x)2=2160, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍 去). 故从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人 数的月平均增长率为20%. (2)设每人的团费降低a元. 由题意，得(900-a)(30+号)=3200. 解得a1=500,a2=100. 当a=500时，900一a=400<750,该方案不符合 题意； 当a=100时，900一a=800>750,该方案符合题意. 故每人的团费为800元. 18.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,CD∥AB ∴.∠D=∠FAD,∠DCE=∠F E是AD的中点，∴DE=AE, ∴.△CDE≌△FAE(AAS),∴.CE=FE. AE沿是1. ..AF=AB. (2):四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB=AF=FG+AG=8. ,BF∥CD,∴.∠FCD=∠F 又.∠FCG=∠FCD, ∴.∠F=∠FCG,.CG=FG=6. :CD∥AG, .△DCH∽△AGH, 盟9 GH· 解得GH=1.2. 19.解：(1)证明：.△=m2一4(m一1) =m2-4m+4 =(m-2)2≥0， .无论m取何值，方程总有两个实数根. (2)①m=5,∴.原方程为x2-5.x十4=0， 解得x1=1,x2=4, 即AB,AD的长分别为1,4， .矩形的面积=1×4=4. ②.□ABCD是菱形， ..AB=AD, ∴.△=0，即(m-2)2=0,解得m=m2=2. 当m=2时，原方程为x2-2x十1=0，解得x1=x2 =1. 故当m=2时，□ABCD是菱形，菱形的边长为1. 20.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .A-TAC.OB-OD-BD. 又AC=BD, 六OA=OD=OB=2BD, ∴.∠ABO=∠BAO,∠ADO=∠DAO. ,∠ABO+∠BAO+∠ADO+∠DAO=180°， .∠BAO+∠DAO=90°，即∠BAD=90°， .□ABCD是矩形 (2)①证明：：AD是△ABC的中线， D-CD-BC. AE-2BC. ∴.AE=BD :AE∥BC, .四边形ABDE是平行四边形， ..AB=DE. ②当△ABC满足AB=AC时，四边形ADCE是矩 形.理由如下： :AE=2BC,BD=CD=专BC, 1 ..AE=CD. :AE∥BC, 上册详解详析 5△ .四边形ADCE是平行四边形. .'AB=DE, .当AB=AC时，AC=DE .四边形ADCE是矩形 21.解：(1)设AB=xm,则AD=BC=30 2m. 根据题意，得0。 ·x=108. 整理，得x2-30x十216=0， 解得x1=12,x2=18(18>15,舍去). 故AB的长为12m. (2)不能.理由如下： 设AB=m则AD=BC=30产m 根据题意得0， ·x=100 整理，得x2一30x+400=0. △=(-30)2-4×1×400=-700<0， 该方程无实数根， ,.此时养殖园的面积不能达到100m. 22.解：(1)证明：：四边形ABCD为正方形，∴.OB=OC, ∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45° 在△OBE和△OCF中， OB=OC, ∠OBE=∠OCF, BE=CF. .△OBE≌△OCF(SAS), ∴.∠BOE=∠COF, ∴.∠BOE+∠EOC=∠COF+∠EOC, 即∠BOC=∠EOF,.∠EOF=90°. (2)如图，过点E作EQ⊥BC交直线MN于点Q. ,M为CD的中点，N为BC的中点， MN是△BCD的中位线， ∴.MN∥BD,∴.∠MNC=∠DBC 45°，∠NMC=∠BDC=45°， ∴.∠ENQ=∠MNC=45. :EQ⊥BC..∠QEN=90°， ∴.∠EQN=∠ENQ=45°， ..EQ=EN. BN=BC=CD=CM.BE=CF. .EN=FM,∴.EQ=FM. 在△KEQ和△KFM中， |∠EQK=∠FMK, ∠EKQ=∠FKM, EQ=FM. .△KEQ≌△KFM(AAS), KE=KF,即点K平分EF 23.解：(1)①AE=2BE. 理由：DE⊥AD, .∠ADE=90°， .∠AED+∠EAD=90°，∠BDE+∠BDA=90 76 九年级数学BS版 .BE=BD. .∠AED=∠BDE, ∠EAD=∠BDA, ..AB=BD, ∴.BE=BD=AB, ∴AE=2BE. ②AE=2BE. 理由：如图①. ∠BAC=90°，∠C=60°， ∠B=30°. .BE=DE, ∴.∠EDB=∠B=30°， ∴∠AED=∠EDB+∠B=60. DE⊥AD, ∴.∠EDA=90°， .∠EAD=30°， ..AE=2DE. ..AE=2BE. B D 图① 图② (2)①如图②，过点D作DF⊥AB于点F,则∠AFD =∠BFD=90°. DE⊥AD,.∠ADE=90°， ∴.∠AFD=∠ADE. 又：∠FAD=∠DAE, ∴.△AFD∽△ADE, 册品0器 FD DE 器停0- 设FD=√3m,则AF=2m. ,∠BAC=90°，∠C=60°，.∠B=30°， .在Rt△BDF中，BD=2FD=25m, ∴.BF=√BD-FD=3m. AB=6, .BF+AF=6,即3m+2m=6,m=5, ..AF= PD=63 12 5 AD=√AF+FD=6V7 5 △AFD△ADE, 126√7 .AF_AD 5 ADAE, 67=AE 5 ..AE= ②线段AE长的最小值为4. 【解析】(2)②如图③，取AE的中点G,连接DG .DE⊥AD,.∠ADE=90°..DG是斜边上的中 线，.AE=2DG,DG=AG=EG.当AE的长最小 时，DG的长最小，此时易知DG⊥BC.·∠B=30°， ..BG=2DG,..AE=BG,..BE=AG...AG=EG= BE,.AE-2 AB=4,即线段AE长的最小值为4. 图③ 第四章学业质量自我评价 1.D2.A3.B 4.D【解析】由三视图，得此几何体为直四棱柱，∴.S=4 ×1×2=8(cm2). 5.C【解析】由俯视图可知，最下面一层一定有4个小正 方体；由主视图和左视图可知，上面一层至少有处在对 角位置上的2个小正方体.故搭成该几何体的小正方 体的个数最少为6. 6.A【解析】如图，过点D作DF∥AE,交 AB于点F.设塔影留在坡面DE部分对 应的塔高AF=h,m,留在平地BD部分F 对应的塔高BF=h,m,则铁塔的高为(h, B D +h2)m.CD=12m,B是CD的中点， BD=2CD=6m.h:18=1.62h,=14.4. .h2:6=1.6:1,.h2=9.6,.AB=14.4+9.6= 24(m),.塔AB的高度为24m. 7.5√38.99.1.5m10.π11.乙 12.6或7或8【解析】综合主视图和俯视图，这个几何 体的底层有4个小正方体：第二层最少有1个，最多 有2个：第三层最少有1个，最多有2个，.搭成这个 几何体至少需要小正方体的个数为4十1十1=6，至 多需要小正方体的个数为4十2十2=8，即这个几何 体可能是由6或7或8个小正方体搭成的， 13.解：(1)三视图如图所示. 主视图 左视图 俯视图 (2)图①中木杆的影子是在灯光下形成的，图②中木 杆的影子是在太阳光下形成的.小树的影子分别如图 ①②所示. 图① 图② 14.解：该几何体的三视图如图所示 主视图 左视图 俯视图 15.解：(1)如图所示 5m 广告墙 3 m B FD Q(E) (2)设AB的影长为xm.根据题意，得AF∥CQ,AB ⊥BQ,CD⊥BQ,.∠AFB=∠CQD,∠ABF= ∠CDQ=90.△ABF∽△CDQ,CD-,即 CD AB 3 5 20 DQBF4=…x= 3 .20 故木杆AB的影长是3m 16.解：(1)如图所示. (2)由三视图可知，该几何体是一个底面以3,4为直 角边长的直角三角形、高为4的三棱柱，∴.表面积为3 1 ×4+4×4+5×4+2×2×3X4=60. 17.解：根据题意，得△APD∽△A'PB,△PDE △PBP', AD-PD.PD_DE·ADDE ‘ABPB'PB=BP心 A'B BP' DE=CP'=1.BC=AD=3.AB=31 3 解得A'B=12, .点A'到CD的距离为A'B+BC=12+3=15. 18.解：(1)这个几何体的俯视图如图所示. 上册详解详析 7n个