湖南益阳市桃江县第一中学2025-2026学年第二学期高二知识检测数学试卷(6月24日)

**基本信息** 2025学年高二数学周测试卷，120分钟150分，19题覆盖数列、向量、概率等模块，解答题以考试得分规则（17题）、轨迹方程（18题）等情境设计，体现数学应用与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|单选含数列、圆锥体积，多选涉概率互斥独立（9题）、曲线整点（10题）|基础与辨析结合，如第8题函数零点与极值综合| |填空题|3题/15分|正六棱锥体积（12题）、函数恒成立（13题）、椭圆方程（14题）|几何与代数融合，第12题结合球相切求体积最值| |解答题|5题/77分|立体几何证明与二面角（15题）、概率分布列（17题）、数列新定义（19题）|综合性强，19题以集合子集和为载体，考查逻辑推理与创新思维|

2025学年第二学期高二知识检测 数 学 试 题 时间:120分钟 满分:150分 试题卷共4页，共19道题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列为等差数列，，则 A．2 B．4 C．8 D．10 2．已知，，与的夹角为，则 A． B．2 C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为 A． B．2 C． D． 5．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为 A．10 B．11 C．12 D．14 6．已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率 A． B． C． D．2 7．已知曲线在处的切线与直线垂直，则 A． B． C． D．1 8．设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则 A． B． C．A与B为互斥事件 D．A与B相互独立 10．已知曲线，下列结论正确的是 A．曲线关于直线对称 B．曲线上恰好有4个整点（即横，纵坐标均是整数的点） C．曲线上存在一点，使得到点的距离小于1 D．曲线所围成区域的面积大于4 11．已知正项等比数列的公比为，前项的积为，当且仅当时，取得最大值，则下列说法正确的是 A． B．数列为等比数列 C．使数列的前项的积取最大值时，最大正整数的值为198 D．若数列的前项的积大于1成立最大正整数的值为396，则的最大正整数的值为198 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设正六棱锥的底面中心为，若该棱锥的侧棱均与以为球心，半径为1的球相切，则该棱锥体积的最小值为________. 13．设函数， 其中.若不等式对任意恒成立，则________. 14．已知椭圆C： 的上顶点为B，两个焦点分别为，离心率为，P为线段F1F2上动点，且P到直线的距离之和为，则椭圆C的标准方程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 16．(15分)在中，已知. (1)求； (2)若为的平分线，面积为14，求. 17．(15分)某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 18．(17分)已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 19．(17分)已知数列是首项为1，公比为的等比数列，设集合，对的任意子集，记的所有元素和为，规定空集的元素和为． (1)若，求； (2)若，，证明：； (3)若，，，从下面两个结论中选择一个证明： ①的充要条件是；②不存在，使得． 注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分． 2025学年第二学期高二知识检测数学答题卡 姓名:________________ 班级:________________ 1、 选择题(58分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2、 填空题(15分) 12. ________________ 13.________________ 14.________________ 3、 解答题(77分) 15. (13分) 16. (15分) 17. (15分) 18. (17分) 19.(17分) 数学 第1页 共4页 数学 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 2025学年第二学期高二知识检测 数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A C A A A A D AB BD ABD 1．C 【详解】在等差数列中，由，解得. 2．A 【详解】由题意得. 故选：A． 3．C 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以，，故选：. 4．A 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 因为圆锥的体积是，其侧面积是底面积的3倍， 所以即，解得． 5．A 【详解】该组数中位数为，70百分位数为，所以，故.故选：A. 6．A 【详解】双曲线的顶点到渐近线的距离为， 即，又，则，即，则离心率. 7．A 【详解】因为，则，可得，即曲线在处的切线斜率，且直线的斜率，由题意得，解得. 8．D 【详解】由题意，当时，， 因为函数，若在上有且只有个零点， 则，解得． 又对任意实数，在上存在极值点，且的长度为， 而函数的最小正周期为，则，解得， 综上，的取值范围是. 9．AB 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，事件可以同时发生，则A与B不互斥，C错误； 对于D，，由选项AB知，，则A与B相互不独立，D错误. 10．BD 【详解】方法一：，代入则，即曲线不是关于对称，，整点，，，共4个，B对．设，，C错． 如图，曲线所围成区域的面积大于4，D对， 方法二：对于A，在曲线上，关于的对称点，而不在曲线上， 曲线不关于直线对称，A错． 对于B，由，当时，；当时，； 当时，，舍；当时，也舍，当时， 曲线上恰有4个整点及，B正确． 对于C，设为曲线上的点，， 到的距离，C错． 对于D，曲线关于轴对称，考察曲线在第一象限与轴围成的面积，为曲线第一象限上任一点，在曲线上， ，也在曲线上，且时， ，当且仅当或1时取“＝”， 始终在上方，即在直线上方； 且时，， 当且仅当时取“＝”，始终在直线上方，曲线所围区域面积，D正确， 故选：BD． 11．ABD 【详解】正项等比数列，当且仅当时，取最大值， 则且时，时，， 是等比数列，A，B正确； 的前197项都大于1，第198项开始可能小于1，第199项后一定小于1 前197项积最大，C错误； 的前项积 成立的最大正整数为396，即， 即，，时，时， 的最大正整数为198，D正确； 故选：ABD． 12． 【详解】由对称性，球的大圆与等腰的两腰相切，设正六边形外接圆半径为，正六棱锥的高为， 在中，斜边上的高为1，，， 因此，该棱锥的体积， 令，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，所以当时，， 所以该棱锥体积的最小值为. 故答案为：. 13．/ 【详解】若 ，取，所以， 则， 所以的根为且，的根为且， 由于与均为首项系数为正的三次多项式，要使其乘积恒成立，则它们的零点必须完全相同， 所以只有当时，成立， 所以，所以. 故答案为：. 14． 【详解】由题意可知，， 则直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 设，且P到直线的距离之和为， 即， 即，又，所以，且， 则，所以椭圆C的标准方程为.故答案为： 15． 【详解】（1） 如图，连结，交于，连结. 在三棱柱中，侧面是平行四边形，故是的中点， 又因是的中点，则得. 因平面平面，故得平面. （2）因侧面均为正方形，则. 又因平面，故平面. （方法一）三棱柱是直三棱柱，侧面底面. 过点作于点，过点作于点，连结. 因为平面，平面平面， 所以平面，又因平面，则, 因.则平面， 因平面，故. 即是二面角的平面角. 因为侧面均为正方形，， 所以，所以,. 在直角中，， 故， 在直角中，，故. 即二面角的余弦值为. （方法二）如图，以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系. 因，侧面均为正方形，故. 由，可得. 设平面的法向量， 则有，故可取； 又,设平面的法向量， 则有，故可取. 设二面角的大小为，由图知，为锐角， 则.所以二面角的余弦值为. 16． 【详解】（1）在中，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 所以， 所以， 又因为，所以. （2）由，所以， 所以. 记中角A、B、C所对的边为a、b、c， 由正弦定理可得，所以， 所以， 解得（负值舍去），所以. 又由，得， 所以由，得， 所以，解得. 17． 【详解】（1）恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 （2）由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： 18． 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 19． 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以． （2）因为，所以， 因为，所以，所以． （3）若选①． 充分性：若，由定义，显然成立． 必要性：若，记集合的最大项为，集合的最大项为， 假设，则，所以， 由（2）知，，所以，矛盾． 假设，类似可得，矛盾．所以． 记集合去掉后得到集合，记的最大项为，集合去掉后得到集合，记的最大项为 同上分析可得．以此类推，集合和中元素完全相同，即． 若选②． 假设存在，使得． 记数列的前项和为，因为，所以， 设的最大元素为，则， 若，则，矛盾． 若，设去掉后得到集合，则， 所以，矛盾． 综上，不存在，使得． 数学答案 第1页(共10页) 数学答案 第1页(共10页) 学科网（北京）股份有限公司 $