精品解析：湖南邵阳市两校2025-2026学年高二下学期六月质检数学试题

2026年上学期高二六月质检 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则B=（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 8 6. 函数在处取得最值，则下列命题正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B. 点为图象的一个对称中心 C. D. 在区间上单调递减 7. 已知抛物线，焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，过B作l的垂线交l于点D，若的面积为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知互不相等的一组数据的平均数为，记为，则这组新数据与原数据相比，一定不变的量有（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 标准差 10. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. 若为直线的方向向量，为平面的法向量，则 B. 若为直线的方向向量，为平面的法向量，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，且为直线的方向向量，则点到直线的距离为 11. 已知数列满足，，则（ ） A. 数列单调递减 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行四边形中，，，点为的中点，若，则___________． 13. 平面上一系列点，其中，已知在曲线上，圆与y轴相切，且圆与圆外切，则的坐标为__________；记，则数列的前6项和为__________． 14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，为上一点，，，. （1）若，求外接圆的半径； （2）设（为锐角），若，求的面积. 16. 如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点. （1）若平面平面直线，求证：； （2）当平面平面时，求CP的长度. 17. 某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画○的球”． 红球 蓝球 画○ 画× （1）求和． （2）该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖． （ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理； （ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励元，二等奖奖励元，三等奖奖励元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过元，则的最大值为多少？ 18. 设椭圆 （1）若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； （2）若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，.若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； （3）若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二六月质检 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求得，再求出共轭复数. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：D 2. 已知集合，，若，则B=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由，则，即1是方程的一个根，求出的值，然后再求集合B. 【详解】由，则，即1是方程的一个根 所以，即. 此时方程的根为或. 所以 故选：D 【点睛】本题考查根据集合的交集求参数，属于基础题. 3. 已知等差数列中，，，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】数列的公差. 4. 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用一些特殊值，逐步求出的值，再解不等式即可. 【详解】刚下课时，代入函数得，解得. 将代入，得，即，解得. 所以. 二氧化碳浓度达到国家标准，则，即. 得，所以，得. 该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为8. 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知等式，用的代数式表示，代入所求代数式中，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由，则，由，则，则， 故 （当且仅当 时等号成立），所以. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是用的代数式表示，再利用基本不等式进行求解. 6. 函数在处取得最值，则下列命题正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B. 点为图象的一个对称中心 C. D. 在区间上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，得出是正弦函数对称轴，即可求出，再结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由函数在处取得最值，则图象关于直线对称，得，而，则，，所以. 对于A，将的图象向右平移个单位长度后得，函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，A错误； 对于B，，所以点不是图象的对称中心，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，正弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，D正确. 7. 已知抛物线，焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，过B作l的垂线交l于点D，若的面积为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，结合焦半径可得，根据的面积可解得，进而得，即可求解. 【详解】焦点,设直线的方程为,联立直线与抛物线的方程得， 设,则，所以， 故， ，化简得，所以， 由，所以,故， 故选：B 8. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中“凹函数”的定义，f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0对任意x∈(﹣1，+∞)都成立， 同构为ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)，利用g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函数，得不等式 lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值，求出的最大值，即可得解. 【详解】解：因为 所以f'(x)=mex+(x+1)[lnm﹣ln(x+1)]+1，f″(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1， 因为在区间(﹣1，+∞)上为“凹函数”， 所以f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0对任意x∈(﹣1，+∞)都成立， 因为mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0⇔mex+lnm>ln(x+1)+1 ⇔ex+lnm+(x+lnm)>ln(x+1)+(x+1) ⇔ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)， 且g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函数， 所以ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1) ⇔x+lnm>ln(x+1)⇔lnm>ln(x+1)﹣x， 由题意，lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值， ， ， ， 单调递增； ，单调递减， ， 即lnm>0，所以m>1， 故选：A 【点睛】注意同构法在解题中的应用，对于常见形式的同构要熟练运用,如 =. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知互不相等的一组数据的平均数为，记为，则这组新数据与原数据相比，一定不变的量有（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 标准差 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用极差的定义及平均数的定义，可知选项A正确；选项C，利用平均数的定义可知选项C正确；再通过举特例，计算出中位数和标准差，即可判断出选项B和D的正误. 【详解】设中的最大数为，最小数为，因为， 显然有，所以选项A正确， 新数据的平均数为， 所以选项C正确， 不妨取这组数据为，此时，中位数为， 标准差为， 则这组新数据为，此时平均数为， 中位数为，标准差为， 所以选项B和D错误， 故选：AC. 10. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. 若为直线的方向向量，为平面的法向量，则 B. 若为直线的方向向量，为平面的法向量，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，且为直线的方向向量，则点到直线的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】A由坐标知，结合直线方向向量、平面法向量判断；B由即可判断；C由投影向量定义求在上的投影向量；D应用向量法求点线距离. 【详解】A：由题设，即，故，对； B：，即与不垂直，故不可能成立，错； C：在上的投影向量，对； D：由题设，到直线的距离为，错. 故选：AC 11. 已知数列满足，，则（ ） A. 数列单调递减 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：通过计算得到，则有，即可得到；对B：作差构造不等式计算即可得；对C：通过计算、找出反例即可得；对D：通过递推公式变形，再构造放缩可得. 【详解】对A选项：由，，则， 依次类推可得当时，有， 故，故数列单调递减，即A正确； 对B选项：由， 则， 由，当时，， 故， 即，故B正确； 对C选项：，则，， 即，故C错误； 对D选项：由，故， 即， 故有，，， ， 累加有，即，故，， 故，即有， 又， 故当时，， ，，， 又， 累加有，， 即， 即，故， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用递推关系合理构造及放缩法的巧妙运用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行四边形中，，，点为的中点，若，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，即可求解． 【详解】解：设， 在平行四边形中，，，点为的中点， ， 解得或（舍去）． 故答案为：． 13. 平面上一系列点，其中，已知在曲线上，圆与y轴相切，且圆与圆外切，则的坐标为__________；记，则数列的前6项和为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由圆与y轴相切得出圆的半径为，由圆与圆外切，得出，进而由递推公式结合求解即可. 【详解】因为圆与y轴相切，所以圆的半径为， 又圆与圆外切，所以. 两边平方并整理得，结合， ，得， 即，，以此类推 因为，所以，故. 数列的前6项和为 故答案为：；. 14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种. 【答案】 【解析】 【分析】设，则有，可知的最小值为，最大值为，根据这三个数的构成进行分类讨论即可得. 【详解】由，可得， 所以. 不妨设，则，还有一个数为， 显然，， 对于任意取值，都有如下情况， 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法. 因为，所以一共有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，为上一点，，，. （1）若，求外接圆的半径； （2）设（为锐角），若，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可求出，再根据正弦定理即可求出； （2）由题意可知，由平方关系求得，设，在中由余弦定理即可求出的值，由正弦定理可求得，再根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】（1）由余弦定理得，解得； 又，解得；∴外接圆的半径为. （2）由，所以，所以； 由，得； 设，则，， 在中，，，，， 由余弦定理得，解得； 所以，； 由正弦定理，即，解得； 所以，即的面积为. 16. 如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点. （1）若平面平面直线，求证：； （2）当平面平面时，求CP的长度. 【答案】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）或2 【解析】 【分析】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 17. 某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画○的球”． 红球 蓝球 画○ 画× （1）求和． （2）该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖． （ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理； （ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励元，二等奖奖励元，三等奖奖励元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过元，则的最大值为多少？ 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】(1)由条件概率公式可直接求得答案； (2)(i)计算出颜色和符号均相同的概率、仅颜色相同或仅符号相同的概率、颜色和符号均不相同的概率，再比较大小关系即可判断； (ii)结合(i)的计算结论计算数学期望，解不等式即可得答案. 【小问1详解】 由题意得， . 【小问2详解】 （i）在一次摸球的结果中， ，，，. 所以两次摸球的结果中， 颜色和符号均相同的概率为， 仅颜色相同或仅符号相同的概率为， 颜色和符号均不相同的概率为. ，不符合“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”的标准，故该奖项设置不合理. （ii）设一次抽奖的奖金为元，由题意知，，. 按照题意，奖金越高，概率越小，结合（i），可知的分布列为 所以， 令，得，即的最大值为180. 18. 设椭圆 （1）若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； （2）若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，.若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； （3）若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 【答案】（1）椭圆方程为，其焦点坐标为， （2），. （3）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质可得； （2）先求出椭圆方程，由两直线平行设出直线的方程，直曲联立由韦达定理表示出弦长公式和点到直线的距离公式，再用换元法令结合辅助角公式和二次函数的性质可得； （3）记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为，由圆的性质得到点的位置，再结合椭圆的性质确定距离可得. 【小问1详解】 由和可得，，所以椭圆方程为，其焦点坐 标为， 【小问2详解】 由和可得，，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得， ， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为 ， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑 ， 令，则，则，则 ， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 【小问3详解】 如图，记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上，则. 又，，即当点位于椭圆上时，取得最大值. 令，则点在椭圆上， 易知，等号成立时当且仅当 ， 于是椭圆上的点，除点外均在椭圆的内部. 综上所述，的最大值为. 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）1 【解析】 【分析】（1）对原函数进行求导，代入求解即可. （2）求出函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性. （3）首先将不等式变形，参变分离为在上恒成立，转化为求函数的最值问题，求解即可. 【小问1详解】 已知，则. 因为，则，解得， 【小问2详解】 由（1）知， . 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以. 故整数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $