北京市昌平区2025-2026学年高二下学期期末自编模拟数学试卷

**基本信息** 北京市昌平区高二期末模拟数学试卷，以函数、导数、概率统计等核心知识为载体，通过网民数据统计、声压级计算等真实情境及“G集合”“性质P”等创新定义，考查数学思维与应用能力，适配高二期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/50|集合运算、函数性质、充分必要条件|结合函数图像判断（第6题）、新定义“G集合”（第10题），体现数学眼光| |填空题|5/25|函数值域、概率、导数应用|分段函数零点问题（第13题）、对数函数定义域（第14题），考查数学思维| |解答题|5/75|概率统计（网民数据）、导数极值与不等式、创新定义“性质P”|以十年网民数据为情境（第16题），设计“性质P”证明（第20题），凸显数学语言表达|

北京市昌平区2025~2026学年度第二学期高二期末模拟 数学试卷 （时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，R，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”、“欢乐世园共绘展板”、“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．180种 5．已知函数，当时，在内的极值点的个数为（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（      ） A． B． C． D． 7．设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（    ） A． B． C． D． 8．声压级（）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为（分贝）.人类产生听觉的最低声压为（微帕），通常以此作为声压的基准值.声压级的计算公式为：，其中是测量的有效声压值，声压的基准值，.由公式可知，当声压时，.若测得某住宅小区白天的值为，夜间的值为，则该小区白天与夜间的有效声压比为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数．若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”．给出下列5个集合： ①；②；③； ④；⑤． 其中是“集合”的所有序号是（    ） A．②③ B．①④⑤ C．③⑤ D．①②④ 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的值域为 ． 12．若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级的概率均为，且三门课程的成绩是否取得等级互不影响．则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级的概率为 ． 13．已知函数其中．①若，则的最小值为 ；②关于的函数有两个不同零点，则实数的取值范围是 ． 14．若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 15．已知函数，其定义域记为集合，给出下列四个结论： ①且； ②若，则； ③存在，使得； ④对任意，存在使得. 其中所有正确结论的序号是 . 3、 解答题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（19朝阳）随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据. 年份 网民人数 互联网普及率 手机网民人数 手机网民普及率 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 （互联网普及率（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率（手机网民人数/人口总数）×100%） （Ⅰ）从这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率； （Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记为手机网民普及率超过50%的年数，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）若记年中国网民人数的方差为，手机网民人数的方差为，试判断与的大小关系.（只需写出结论） 17．（23东城）已知函数，. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，求证：恰有2个极值点； (3)若，不等式恒成立，求的最小值. 18．（东城五中）已知函数，且． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值． 19．（24五中）已知函数，（）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，请判断是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； (3)当时，若对于任意，不等式恒成立，求k的取值范围． 20．（朝阳期末）设集合 ，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件： ①； ②，，两两交集为空集； ③，则称集合具有性质. （Ⅰ） 已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个. 试卷第1页，共3页 试卷 第1页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 高二期末模拟 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B C B B B C C 1．C 【分析】化简集合A，求出并集即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的并集，属于基础题. 2．B 【分析】取特殊值排除ACD选项，由指数函数的单调性证明不等式，即可得出正确答案. 【详解】当时，，则A错误； 在上单调递减，，则，则B正确； 当时，，则C错误； 当时，，则D错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题. 3．A 【分析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案. 【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点 而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但 所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题. 4．B 【分析】从6人中选1人负责“征集留言”，从剩下的人中选2人负责“共绘展板”，再从剩下的人中选3人负责“发放彩绳，即可得出不同的分配方案. 【详解】从6人中选1人负责“征集留言”，从剩下的人中选2人负责“共绘展板”，再从剩下的人中选3人负责“发放彩绳，则不同的分配方案共有种 故选：B 【点睛】本题主要考查了分组分配问题，属于基础题. 5．C 【分析】求导令导函数等于0，得出，将问题转化为函数，，，的交点问题，画出图象即可判断. 【详解】令得出 令函数，，， 它们的图象如下图所示 由图可知，函数，，，有两个不同的交点，则在内的极值点的个数为2个 故选：C 【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题. 6．B 【分析】根据解析式依次求出函数的定义域、奇偶性、函数值，用排除法得出结论． 【详解】解：∵，∴函数的定义域为， 又， 则函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项； 又，故排除C、D两个选项； 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，一般根据函数的定义域、奇偶性、特殊点的函数值、单调性解题，一般用排除法，属于中档题． 7．B 【分析】由题设，根据所过的点可得，结合图象求出极小值点并代入求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设. 【详解】由题设，，则，故， 所以， 令，可得或，由图知：且处有极小值， 所以，即，，经验证满足题设， 故. 故选：B 8．B 【分析】根据已知公式，分别计算出白天和夜间的有效声压值，即可求得答案. 【详解】由题意可设该小区白天的有效声压值为,则, 设该小区夜间的有效声压值为,则, 故, 故选：B 9．C 【分析】当时，求出函数的零点，即可判断， 当时，，令，解得或对分类讨论： ①当时，不满足条件；②当时，由题意可得，解得答案． 【详解】解：当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去； 当时，，令，解得或， ①当时，， 当或时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 是函数的极小值点，0是函数的极大值点， 由，可得函数存在正零点，不满足条件； ②当时，， 当或时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 是函数的极小值点，0是函数的极大值点， 函数存在唯一的零点，且，则， 即，，解得：， 综上可得：实数的取值范围是， 故选：． 10．C 【分析】根据集合是“集合”，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，逐项判定，即可求解. 【详解】题意，集合是“集合”，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直， 对于①中，，假设集合是“集合”， 则存在两点，，满足，即，方程无解， 所以假设不成立，所以集合不是“集合”； 对于②中，函数，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，且当时，，图象如图所示，      设图象上对任意一点时，则， 若令，即，也即， 由函数的图象与函数的图象无交点，即无解，      所以， 故对于时不存在，此时不存在一点，使得成立， 所以集合不是“集合”； 对于③中，集合的图象表示一个在轴上方的半圆（包括轴上的点）， 如图所示，根据圆的性质，可得对任意一点，总是存在一点，使得成立， 所以集合是“集合”；    对于④中，函数，当点时， 若，则不成立， 所以集合不是“集合”； 对于⑤中，函数，其大致图象如下.    设是其图象上任意一点，由图可知直线的斜率的范围是 根据图象可得，其图象上任意一点，总是存在一点，使得成立， 所以集合是“集合”. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合是“集合”的新定义及应用，其中解答的关键是理解对于任意，存在，使得成立，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 11． 【分析】利用导数求出函数的单调性，由单调性即可得出值域. 【详解】 当 ，当 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 则 即函数的值域为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的值域，属于基础题. 12． 【分析】利用次独立重复试验的公式即可求解. 【详解】这三门课程的等级性考试取得的等级可看成进行3次相互独立的重复试验 因而小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级的概率为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了次独立重复试验的概率问题，属于基础题. 13． 【分析】①讨论和时，函数的单调性，由单调性得出函数的最小值； ②令，则，将函数的零点问题，转化为函数与函数的交点问题，讨论的范围，即可得出的范围. 【详解】①当时，在区间上单调递减，则 当时，在区间上单调递增，则 则的最小值为 ②令，则 当时，函数的图象如下图所示    则，则函数与函数有两个交点，则满足题意 当时，函数的图象如下图所示    则，则函数与函数只有一个交点，则不满足题意 综上， 故答案为：①② 【点睛】本题主要考查了由分段函数的单调性求最值以及由函数的零点个数求参数的范围，属于中档题. 14．(-2,2) 【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得. 故答案为：. 15．①②④ 【分析】根据解析式求定义域判断①，利用对数运算化简及对数函数的单调性判断②，求函数导数， 利用导数分析函数的单调性及范围可判断③，取后利用对数运算化简可判断④. 【详解】由知，且，解得且， 所以且，故①正确； 当时， ， 因为，当时，， 当时，因为，， 所以，故②正确； ，当时，，， 所以，又，所以，在上 单调递减，当时，单调递增，所以， 同理可得，在上单调递减， 又时，，所以， 当时，，所以，即当时， 函数图象在轴下方单调递减，当时，函数图象在上方单调递减， 所以不存在，使得，故③错误； 由②可联想考虑当时，， 即对任意，存在使得，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：判断③时，关键在于求导数后，能分类讨论得到导数的符号，判断出函数的单调性，再分析两段函数图象的上下界，才能作出正确的结论. 16．（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ） 【分析】（Ⅰ）由表格得出手机网民人数占网民总人数比值超过的年份，由概率公式计算即可； （Ⅱ）由表格得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，计算数学期望即可； （Ⅲ）观察两组数据，可以发现网民人数集中在之间的人数多于手机网民人数，则网民人数比较集中，而手机网民人数较为分散，由此可得出. 【详解】解：（Ⅰ）设事件：“从这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民总人数比值超过”. 由题意可知：该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的年份为，共6个 则. （Ⅱ）网民人数超过6亿的年份有共六年，其中手机网民普及率超过 的年份有这年.所以的取值为. 所以， ， . 随机变量的分布列为 .    （Ⅲ）. 【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率，离散型随机变量的分布列，数学期望等，属于中档题. 17．(1). (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求得，令，可得，求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解； （2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解； （3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 令，可得， 则的关系，如图下表： 1 2 0 极大值 综上可得，函数. （2）解：由函数， 可得， 因为， 所以方程有两个不同的根，设为且，则有 极小值 极大值 综上可得，函数恰有2个极值点. （3）解：因为，所以，不等式恒成立， 设，可得， 所以的关系，如图下表： 1 0 极大值 所以，所以实数的最小值为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 18．(1) (2)增区间，减区间 (3) 【分析】（1）根据已知条件列方程组，从而求得. （2）利用导数求得的单调区间. （3）结合的图象、切线以及不等式恒成立求得的最大值. 【详解】（1）依题意，，解得. （2）由（1）得，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减. （3）由（2）得， 所以的图象在处的切线方程为，此时. 同时，，因此在时恒成立， 直线是曲线的切线，则， 结合图象可知，当时，不恒成立. 当时，，恒成立. 当时，，因此，所以的最大值为. 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. 19．(1) (2)不存在，理由见详解 (3) 【分析】（1）先求得，从而得到，，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程； （2）先求，要判断是否存在极值，即判断在上单调情况，即判断在上的符号情况； （3）将原恒成立条件转化为对于任意，不等式恒成立，从而构造函数，再根据函数在定义域上的最值即可求得k的取值范围． 【详解】（1）由，则，所以，， 故曲线在点处的切线方程为，即． （2）由，， 则，， 令，， 则，， 当，即时，，此时单调递减； 当，即时，，此时单调递增， 所以， 所以对任意，都有， 所以在上单调递增，即不存在极值． （3）当时，， 对于任意，不等式恒成立， 等价于对于任意，不等式恒成立， 等价于函数在上单调递增， 等价于导函数在上恒成立， 等价于对于任意，不等式恒成立， 令，则，， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减， 所以，即， 故k的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定的不等式等价转化，构造函数，进而通过导函数使问题得到解决是解答此类问题的关键． 20．（Ⅰ）不具有，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（Ⅰ）由条件易得集合具有性质，对集合中的进行讨论，利用题设条件得出集合不具有性质； （Ⅱ）利用反证法，假设具有性质的集合有限个，根据题设条件得出矛盾，即可证明具有性质的集合有无穷多个. 【详解】解：(Ⅰ)具有性质，如可取； 不具有性质；理由如下： 对于中的元素，或者 如果，那么剩下个元素，不满足条件； 如果，那么剩下个元素，也不满足条件． 因此，集合不具有性质.   （Ⅱ）证明：假设符合条件的只有有限个，设其中元素个数最多的为. 对于，由题设可知，存在，满足条件. 构造如下集合 由于 所以 易验证，，对集合满足条件，而 也就是说存在比的元素个数更多的集合具有性质，与假设矛盾． 因此具有性质的集合有无穷多个. 【点睛】本题主要考查了集合的应用，涉及了反证法的应用，属于较难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $