精品解析：北京市昌平区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

数学试卷 2025.7 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求集合，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 故选：A. 2. 已知 ，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 3. 从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令事件表示：所选3人中恰有2名男生，利用组合数和古典概型公式即可求解. 【详解】令事件表示：所选3人中恰有2名男生，所以， 故选：D. 4. 下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数和增函数，逐项验证是否满足题意即可. 【详解】对于A：由为奇函数，故A错误；对于B：由在为增函数，故B错误； 对于C：令，，所以为偶函数，当时，为增函数，故C正确； 对于D：令，，所以为偶函数，令，，由在为减函数， 在为增函数，根据复合函数的单调性有在单调递减，故D错误. 故选：C. 5. 已知函数 则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的图象可由的图象向右平移 个单位得到 B. 函数的图象关于直线 对称 C. 函数的图象关于点 对称 D. 函数在内有2个零点 【答案】D 【解析】 【分析】对于A由图像的变换即可判断，对于B计算即可判断，对于C计算即可判断，对于D计算在内的零点即可判断. 【详解】对于A：由的图象向右平移个单位得，故A错误； 对于B：由，故B错误； 对于C：由，故C错误； 对于D：令，解得，当时，，当时，， 当时，，所以在内的零点为和，故D正确. 故选：D. 6. 若“”是真命题，则实数m的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由题意有，由， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 即实数m的最小值为， 故选：B. 7. 某城市甲区域的人口总数约为，乙区域的人口总数约为：则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，） A. 0.5 B. 1 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由对数运算法则求出，然后与选项中的各数的对数值比较可得. 【详解】，则， 又，所以与最接近， 故选：C. 8. 设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】充分性：， 例如，则，在时，取最大值，因此是不充分的， 必要性：当时，对任意的无穷等比数列， 若，必存在正整数，使得时，，时，，所以时，最大（若，则是最大值）， 若，则是中的最大值，若，只要比较前后的正项的大小即可得（注意中正负项是两项两项间隔的） 若，则，是递减数列，中第一个正项即为最大值， 因此是必要的， 所以应为必要不充分条件， 故选：B． 9. 在 中， 若， 则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式得，利用正弦定理得，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为， 由有， 利用正弦定理有：，即， 由余弦定理有，所以是钝角三角形， 故选：C. 10. 已知函数 若存在，，使得，则n的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，又，，，，可求的最大值． 【详解】， ， ， 当，时，， ，又，． 故选：A． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出使函数式有意义的自变量范围即可． 【详解】由题意，解得且， 所以定义域为． 故答案为：． 12. 已知为等差数列， 为前项和. 若10为与的等差中项， 则 _______ 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质有，最后利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若 则 _____ 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数， ①当时，若函数有三个不同的零点，则实数k的一个取值为______; ②若函数在，上都是增函数， 则实数a的取值范围为______ 【答案】 ①. (答案不唯一) ②. 【解析】 【分析】①有三个不同的交点，同一坐标系内画出与的图象，数形结合得到，进而即得；②只需在上单调递增，当时，不合要求，舍去；需，对称轴为，需满足，解得. 【详解】①时， ， 有三个不同的零点，即有三个不同的交点， 同一坐标系内画出与的图象，如下： 需满足，故实数k的一个取值为； ②由于在上单调递增， 所以只需在上单调递增， 当时，为常数函数，不合要求，舍去； 显然，，， 对称轴为，需满足，解得， 故答案为：； 15. 已知数列满足，且，给出下列四个结论： ①可能为等比数列； ②若，则为递减数列； ③不可能为递增数列； ④存在实数a，使得， 都有 其中所有正确结论的序号是______ 【答案】①②④. 【解析】 【分析】构建，分析的值域以及与4的大小关系.分、、、和五种情况，分析数列的单调性以及取值范围，结合相应项逐项分析判断即可. 【详解】构建， 可得，当且仅当时，等号成立； 令，解得或；令，解得或；令，解得. 因为， 则，且， （1）若，则，即； 可得，且，可得， 依次类推可得； （2）若，则，； 依次类推可得； （3）若，则，且，可得， 可得，且，可得， 依次类推可得； （4）若，则，， 依次类推可得； （5）若，则，且，可得， 可得，且，可得， 依次类推可得； 对于①：由（4）可知：若，则， 此时数列为公比为1的等比数列，故①正确； 对于②：由（5）可知：若，则， 此时数列为递减数列，故②正确； 对于③：由（3）可知：若，则， 此时数列为递增数列，故③错误； 对于④：由（3）可知：若，则， 即， 都有，故④正确； 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 设等差数列 的公差为d，前n项和为 等比数列 的公比为q.若 （1）求数列 的通项公式； （2）求和: 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出可得；求出可得 ； （2）利用等比数列求和公式可得答案. 【小问1详解】 若 则，解得， 所以； ，所以，则； 【小问2详解】 由（1）， 所以 . 17. 某同学用“五点法”画函数 在某一周期，内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0 x 0 0 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式和单调递减区间； （2）若函数 求函数在上的最小值. 【答案】（1）见解析；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据五点法完成表格，根据五点法即可求和单调减区间； （2）由三角恒等变换得，由得，进而求得. 【小问1详解】 由题意有： ωx+φ 0 x 0 0 0 由五点法得：，单调减区间为； 【小问2详解】 ， 由有：， 所以当时，， 所以在上的最小值为. 18. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 10 50 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，设成功的总次数为X，估计X的数学期望； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为 ，直接写出方差 的大小关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算甲款机器人单次送餐成功的频率，利用频率估计概率即可求解； （2）先求的可能取值，再求对应的概率，利用数学期望公式即可求解； （3）由，利用二项分布即可求，进而求解. 【小问1详解】 设甲款机器人单次送餐成功的概率为，则； 【小问2详解】 设乙款机器人单次送餐成功的概率为，设丙款机器人单次送餐成功的概率为， 所以， 的可能取值为， 所以， ， ， ， 所以； 【小问3详解】 由题意有， 所以， 所以. 19. 在中， （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求 的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）先判断存在且唯一，由正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理有：，又， 所以，又，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）有，，由余弦定理有：， 条件①：， 由正弦定理有：，又有， 所以，又，所以有两个解，不满足题意； 条件②：， 由正弦定理有：，又有，又， 所以有唯一解，当时，由有，解得， 所以； 条件③：， 由，又由正弦定理得， 由条件②即可求解. 20. 已知函数. （1）当时， （i） 求曲线在点处的切线方程; （ii） 当时， 求函数的最大值; （2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）;（ii）在 处函数取得最大值为. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义，根据条件的解析式，求出、的值即可求出; （ii）分析出的单调区间，得到极值，分析得出最值即可. （2）利用，，联立解出不等式即可. 【小问1详解】 （i）当时，，， ，， 切线方程的点斜式为：， 整理得：. （ii），，对任意实数恒成立 的符号由决定： 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递减. 是极小值点，时，， 时，，故， ∴当时，在 处函数取得最大值为. 【小问2详解】 , , 是函数的极大值点, ， ， ,化简得. 设， , 为了确保是极大值点,还需满足， ， ，解得：， 的取值范围是. 21. 已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P. （1）检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N； （2）对任意具有性质 P 的集合S，证明： （3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1）集合不具有性质 P， 具有性质 P，，. （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用性质的定义判断出具有性质的集合，利用集合，的定义写出，. （2）据具有性质的集合满足，总有，得到得到；当时，，求出中的元素个数. （3）当时，根据定义可得中元素的个数不多于中元素的个数，即，当时，根据定义可得中元素的个数不多于中元素的个数，即.，进而可得结论 【小问1详解】 因为时，且，所以集合不具有性质. 因为时，，总有， 所以集合具有性质，其相应的集合和是 ，. 【小问2详解】 首先，由中元素构成的有序数对共有个. 因为，所以； 又因为当时，， 所以当时，. 从而，集合中元素的个数最多为， 即. 【小问3详解】 ，证明如下： 当时，根据定义， ，，且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立. 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 当时，根据定义，，， 且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立， 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 2025.7 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的图象可由的图象向右平移 个单位得到 B. 函数的图象关于直线 对称 C. 函数的图象关于点 对称 D. 函数在内有2个零点 6. 若“”是真命题，则实数m的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 某城市甲区域的人口总数约为，乙区域的人口总数约为：则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，） A. 0.5 B. 1 C. D. 10 8. 设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在 中， 若， 则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 10. 已知函数 若存在，，使得，则n的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______. 12. 已知为等差数列， 为前项和. 若10为与的等差中项， 则 _______ 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若 则 _____ 14. 已知函数， ①当时，若函数有三个不同的零点，则实数k的一个取值为______; ②若函数在，上都是增函数， 则实数a的取值范围为______ 15. 已知数列满足，且，给出下列四个结论： ①可能为等比数列； ②若，则为递减数列； ③不可能为递增数列； ④存在实数a，使得， 都有 其中所有正确结论的序号是______ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 设等差数列 的公差为d，前n项和为 等比数列 的公比为q.若 （1）求数列 的通项公式； （2）求和: 17. 某同学用“五点法”画函数 在某一周期，内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0 x 0 0 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式和单调递减区间； （2）若函数 求函数在上的最小值. 18. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 10 50 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，设成功的总次数为X，估计X的数学期望； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为 ，直接写出方差 的大小关系. 19. 在中， （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求 的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数. （1）当时， （i） 求曲线在点处的切线方程; （ii） 当时， 求函数的最大值; （2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围. 21. 已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P. （1）检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N； （2）对任意具有性质 P 的集合S，证明： （3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $