精品解析：北京人大附中2025-2026学年高二（下）期末数学试题

高二年级样题 数学 2026.07 本样题共6页，共两部分，19道题，满分100分．考试时长90分钟．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样题上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知是等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3. 从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列，其前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有3个极值点 D. 6. 目前某城市无人机配送已实现常态化运营．随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单．用频率估计概率．在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数存在单调递减区间，则其导函数可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数，．下列结论中正确的是（ ） A. ，使得对任意实数x，恒成立 B. ，使得方程恰有3个不同的实数根 C. ，函数存在最小值 D. ，函数在上单调递减 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 12. 某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 13. 已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________． 14. 已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________． 15. 已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论： ①当时，为递减数列； ②存在实数m，不是等比数列； ③当时，； ④当时，，，当时，都有． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 17. 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率． （1）估计这批太空辣椒种子发芽的概率； （2）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望； （3）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合． 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号） 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 19. 已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”. 分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集； 已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列； 集合是“独立的”，求证：存在，使得. 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷19道题，共100分；Ⅱ卷10道题，共50分． Ⅰ卷、Ⅱ卷共29题，合计150分，练习时长120分钟，练习日期：2026年7月7日； 请在密封线内填写个人信息． Ⅱ卷（共10道题，满分50分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 20. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 21. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 22. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 23. 正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 24. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 25. 已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 26. 数列满足，，则_________． 27. 如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则_________，_________. 28. 直线与函数和的图象分别相切于点和点，则_________（用表示），_________． 29. 数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为_________，此时的取值范围是_________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级样题 数学 2026.07 本样题共6页，共两部分，19道题，满分100分．考试时长90分钟．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样题上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知是等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式结合已知条件求出公差，再代入计算． 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 因为，所以，解得， 所以． 2. 函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即可． 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 3. 从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第一象限点横、纵坐标均为正的特征，利用分步乘法计数原理计算符合条件的有序数对个数． 【详解】平面直角坐标系中，第一象限内的点满足横坐标且纵坐标，题设给出的数中，大于的数为，共个，要求选取两个不同的数组成有序数对， 选横坐标：从个正数中任选1个，共种选法 选纵坐标：由于为不同的数，故从剩余个正数中任选个，共种选法， 根据分步乘法计数原理，符合条件的点的总个数为． 4. 已知是等比数列，其前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据等比数列的通项公式，已知，， 则，， 等比数列前项和公式为， 则， 又，， 则. 5. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有3个极值点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象确定原函数的性质，导函数的正负确定原函数的单调性，根据导函数零点左右导数的正负确定极值点的情况. 【详解】，，在区间上单调递减，选项A错误； 时，，当时，，当时，， 所以不是极值点，选项B错误； 的3个零点，，， 当时，，当时，，不是极值点， 当时，，当时，，是极小值点， 当时，，当时，，是极大值点， 有个极值点，选项C错误； ，，在区间上单调递增，，选项D正确. 6. 目前某城市无人机配送已实现常态化运营．随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单．用频率估计概率．在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是. 7. 已知函数存在单调递减区间，则其导函数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数在定义域内单调递增，故A错误； 对于选项B：因为，所以函数在定义域内单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，所以函数存在单调递减区间，故C正确； 对于选项D：因为的定义域为， 当时，则，可得，即； 当时，则，可得，即； 综上所述：，所以函数在定义域内单调递增，故D错误. 8. 已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，所以在上单调递增，无极值点， 当时，，当时，，在上单调递减， 又在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线， 所以是函数唯一的极值点； 当时，令，则（舍去）， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线， 所以函数有两个极值点，分别为和，不符合题意， 综上，的取值范围为. 9. 设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例验证充分性，结合公差符号对趋势的影响验证必要性，从而判断出条件关系. 【详解】 充分性判断：取，，所有项都不为0，符合题意，此时， 当为奇数且不断增大时，会无限减小，没有下界，因此没有最小值， 即“”不是“有最小值”的充分条件； 必要性判断：假设，无穷等差数列单调递减，必然存在正整数，当时，所有， 且随增大趋向正无穷。 此时对于大于的奇数，为负数，且随增大无限增大， 即会无限减小趋向负无穷，没有最小值， 因此若有最小值，必然， 即“”是“有最小值”的必要条件； 综上，""是"有最小值"的必要不充分条件. 10. 已知函数，．下列结论中正确的是（ ） A. ，使得对任意实数x，恒成立 B. ，使得方程恰有3个不同的实数根 C. ，函数存在最小值 D. ，函数在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】直接由判断A，设，通过导数确定其单调性，结合零点存在定理判断B，设，利用导数确定的单调性，结合参数范围判断CD. 【详解】对A，因为，所以A错； 对B，显然有一个解是， 时，设，则， 设 ，则，由得， 时，，递增，时，，递减， 所以， 当时，，当时，， 当时，，所以存在两个零点，设为， 则当或时，，递减，当时，，递增， 又当时，，当时，，所以可能有三个零点， 例如当时，，即方程恰有3个不同的实数根，其中，B正确； 对C，设， 则， 令得，解得或， 若，则当或时，，递减，时，，递增， 所以在时取得极小值，在时取得极大值， 又时，的衰减速度远快于二次函数增长速度，极限为0，， 时，，，当时，， 所以不是最小值，即无最小值；C错. 对D，若，则，则在和上单调递减，在上单调递增， 所以在上不是单调递减，D错. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 【答案】 15 【解析】 【详解】在的展开式中，含的项为，其系数为15. 12. 某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定随机变量的取值，求出不同值的概率，根据数学期望公式求解. 【详解】随机变量的可能取值为， ，、 ， ， . 13. 已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由递增得所有项，结合是递减等比数列，可知首项为正、公比在内，据此举例即可. 【详解】设等比数列的公比为，： 因是递增数列，故对任意，有， 即数列的所有项均为正数，因此，. 又是递减数列，故，因此. 如， 验证递减：，满足条件； 验证递增：前项和，，满足条件. 14. 已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，根据的正负即可得出的单调递增区间；再分类讨论的范围，数形结合即可求解． 【详解】当时，， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以的单调递增区间为； 当时，，满足至少有2个零点； 当时，令， 设，则， 所以在处的切线斜率为1， 所以当时，与只有一个交点，如图所示， 所以当时，与至少有两个交点，如图所示， 所以． 15. 已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论： ①当时，为递减数列； ②存在实数m，不是等比数列； ③当时，； ④当时，，，当时，都有． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】① 将代入得通项，由正负交替不单调递减，判断①错误； ② 取，此时出现零项，不符合等比数列定义，因此存在满足条件的，判断②正确； ③由得公比平方大于 1、偶数项均为负，，负数乘大于 1 的正数会更小，不等式不成立；④时公比，时是底数大于的指数型数列，极限趋向正无穷，满足无穷大定义. 【详解】已知时，，且，， 所以，整理得，即， 即是等比数列，公比为， 结合 ，得 ， 进一步得时 . ① 当时，，，数列是 正负交替， ，不是递减数列，①错误； ② 当时，，，数列为 ，不是等比数列，②正确； ③ 当时，，， 因为,，所以，所以，③错误； ④ 当时，，时 ，当时，， 因此对任意大的，总能找到足够大的，使得时，④正确. 三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得： . 令，即，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在处取得极小值，即最小值，为. 又， ， 所以在上的最小值为，最大值为. 17. 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率． （1）估计这批太空辣椒种子发芽的概率； （2）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望； （3）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合． 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号） 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 （3）①③ 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率； （2）分析的所有可能取值，求出对应的概率，列出分布列，求出期望； （3）求出三种方案对应的概率，即可得到答案. 【小问1详解】 这批太空辣椒种子发芽的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 对于方案①，由题可知太空辣椒种子发芽的概率为，普通辣椒种子发芽的概率为， 将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合后发芽的概率为， 同理对于方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合后发芽的概率为 ； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合后发芽的概率为， 故上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是①③ 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 【答案】（1） （2） （3）因为， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 则， 又，且时，故， 欲证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 令，，则， 则在上单调递减，则，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）将问题转化为在上恒成立，令，分、、、四种情况讨论； （3）先求的值域，将问题转化为对任意的，都有，再构造函数求最值即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，即在上恒成立， 则在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令， 若，则在上恒成立，不符合题意； 若，则的对称轴为， 若，则，则， 则在上单调递增，则，不符合题意； 若，则在上单调递减， 若，即，则在上存在一个零点， 则当时，，在上单调递增， 则，不符合题意； 若，即，则，在上恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意， 综上，实数的最小值为； 【小问3详解】 略 19. 已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”. 分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集； 已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列； 集合是“独立的”，求证：存在，使得. 【答案】是关联的，关联子集有；是独立的； 证明见解析； 证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解； （2）根据题意，，，，， ，进而利用反证法求解； （3）不妨设集合，，且. 记，进而利用反证法求解； 【详解】解:是“关联的”关联子集有; 是“独立的” 记集合的含有四个元素的集合分别为: ，，，， . 所以，至多有个“关联子集”. 若为“关联子集”，则不是 “关联子集”，否则 同理可得若为“关联子集”，则不是 “关联子集”. 所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾. 所以一定不是“关联子集” 同理一定不是“关联子集”. 所以集合的“关联子集”至多为. 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 所以都是“关联子集” 所以有，即 ，即. ，即， 所以. 所以是等差数列. 不妨设集合，，且. 记. 因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素. 假设结论错误，即不存在，使得 所以任取，，因为，所以 所以 所以任取， 任取， 所以，且中含有个元素. (i)若，则必有成立. 因为，所以一定有成立.所以. 所以 ，， 所以，所以，有矛盾， (ii)若， 而中含有个元素，所以 所以， 因为，所以. 因为，所以 所以 所以，矛盾. 所以命题成立. 【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题. 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷19道题，共100分；Ⅱ卷10道题，共50分． Ⅰ卷、Ⅱ卷共29题，合计150分，练习时长120分钟，练习日期：2026年7月7日； 请在密封线内填写个人信息． Ⅱ卷（共10道题，满分50分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 20. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为，故. 21. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 22. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，，，根据互斥事件与独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意可得 ，，，，故选项A,B错误； 对于C,，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 23. 正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果. 【详解】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 24. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】已知对任意实数有，则， 两式相减得，因此是周期为2的周期函数. 结合时，可推得时，. 则的图象都是由上的图象左右平移得到的，值域为. 当时，单调递减，由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，单调递增，由图可知，两图像在上分别有一个交点， 要使的图象与曲线（且）恰有6个交点，则，解得. 25. 已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题是一道函数新定义题，核心在于理解集合 的含义，逐一验证给定的三个函数是否满足“若 ，则 ”即可. 【详解】对于①，在上单调递减， ，若，则， 由于与无关， 故，成立， 因此函数是“势函数”； 对于②，，令，得或， 令，得 ； 故函数在上单调递增，在上单调递减， 取，可得 ，， 又， ， 此时，故函数不是“势函数”； 对于③，易知函数在上单调递增， 当时，要使， 那么，若 ，则需 ，且 ； 若 ，则 ，而 ，不等式不可能成立, 故此时； 当 时，要使 ，那么，若 时，； 若 时，，均不成立，故此时； 当 时，要使 ， 那么，若 ，则左边 ，右边为负数，不等式恒成立，此时 ； 若 ，则需 ， 故此时， 若时，存在三种情况，分别为，，； 当时，，，由于， 故； 当时，,，故； 当时,，, 由于，故. 综上所述，函数①③为“势函数”. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 26. 数列满足，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再结合等比数列的定义即可得到的通项公式． 【详解】由， 得，即， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 27. 如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则_________，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设质点向右移动的次数为随机变量，则服从二项分布，建立最终位置与的线性关系，利用方差的性质求解. 【详解】设6次移动中，向右移动了次，则向左移动了次，最终质点对应的数值满足. 当时，代入得，解得，即6次移动里恰好5次向右、1次向左. 每次移动向左/向右的概率均为，总移动情况共种，符合要求的情况数为组合数， 因此. 设向右移动的次数为，则，. 由，根据方差的性质. 28. 直线与函数和的图象分别相切于点和点，则_________（用表示），_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】令，，则，， 则函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 又直线与函数和的图象分别相切于点和点， 则，可得，即， 则，即，所以． 29. 数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为_________，此时的取值范围是_________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】1个m对应范围内的所有整数k，k从小到大取值为，1个k对应一个解集，当这些解集存在交集时，存在此m，当m增大到一定程度后，交集为空，临界状态得，的交集就是q的范围. 【详解】由题干可知，，，由可以解得， 当时，；当时，, 当时，（解为）. 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 即的下限随着k增大先增大后减小，只要考虑下限最大值，在或3时取到数列最大项. 由于，所以数列的最大项是，得到下限最大值， 下面考虑上限情况. 令，则. 令，则， 所以在单调递减，所以，则，在单调递减. 可以发现：的上限随着k增大而减小，有交集的临界情况为上限刚好大于下限最大值， 因此临界需满足的第项大于，第项小于， 即， 注意到，当时，有满足条件， 得到对应的，交集解q的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $