3.2.1 函数的单调性（知识点+7题型+过关检测）讲义-2026年新高一暑假数学自学课

本高中数学讲义聚焦函数的单调性，系统梳理定义（单调递增/递减、单调区间）、证明步骤（取值、作差变形、定号、结论）、应用（求参数范围、解不等式、比较大小）及最值的概念与求法，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过“注意点”强调定义的严谨性（如任意性、区间不可“∪”连接），题型分类细致（含单调性理解、单调区间求解等七类），反思感悟深化数学思维。课中助力教师系统授课，课后学生可通过检测题查漏补缺，提升数学语言表达与逻辑推理能力。

3.2.1 函数的单调性 模块一 筑·知能要点 一、函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 反思感悟　(1)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 二、利用定义证明函数的单调性 反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 三、函数单调性的简单应用 角度1　已知单调性求参数的范围 反思感悟　已知函数单调性求解析式中参数的值(或范围)时，重点在于找到影响函数单调性的因素，具体如下：若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件；若为一次函数，则由一次项系数的正负决定单调性；若为分段函数，则数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件. 角度2　应用单调性解不等式 反思感悟　(1)利用函数的单调性可以比较函数值的大小，此时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. (2)利用函数的单调性可以求解不等式，若不等式的两边具备“同构形式”(如f(a)>f(b))，则可以依据函数单调性的定义，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 四、函数的最大值和最小值 知识梳理　函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 五、利用函数的单调性求函数的最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 单调性的理解 1．已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 【答案】C 【分析】根据单调性的定义和性质逐项分析判断即可. 【详解】对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性， 所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误； 对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确， 对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性. 例如在和上递增，但，故D错误． 故选：C. 2．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 3．设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是___________（填序号）． 【答案】（2）（3） 【详解】由单调函数的性质知（2）（3）正确． 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 【答案】AB 【分析】根据函数的单调性定义可判断A项，根据函数的定义域和基本初等函数的图象即可对B，C，D项分别判断. 【详解】对于A.由题意，任意取若，则，由函数单调性知在上是减函数，故A正确； 对于B，因函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线，故函数在上单调递增，即B正确； 对于C，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递增，但不能说在定义域内单调递增，故C错误； 对于D，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递减，单调递减区间为和，故D错误． 故选：AB. 二、题型二 单调区间的求解 5．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 6．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 7．（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 8．函数的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】利用函数单调性的定义判断在上的单调减区间，即可求解. 【详解】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. 9．（1）函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________. （2）函数的单调递减区间是________. 【答案】 ，. 【分析】（1）作出的图象，利用图象可得单调区间； （2）求得函数，利用函数单调性的定义可证函数在上单调递减，同理可证函数在上单调递减. 【详解】（1），其图象如图所示， 则的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）函数的定义域为， 设，且，则. 因为， 所以，，， 所以，即. 所以函数在上单调递减，同理函数在上单调递减. 综上，函数的单调递减区间是和. 故答案为：（1），；（2）和. 三、题型三 单调性的证明 10．讨论函数在区间上的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ，即， 在内是减函数. ②设 由①知 ， 即， 在内是增函数. 11．判断函数的单调性并证明． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为，证明如下： 对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】的单调递减区间为，单调递增区间为，证明略. 12．根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【答案】单调递增 【分析】根据题意结合单调性的定义分析证明即可. 【详解】任取，则，，，所以 . 故在区间上恒成立，即. 所以函数在区间上单调递增． 13．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 【答案】(1) (2) 设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【详解】（1）由， 故此令，则， 则. （2）略 四、题型四 利用单调性比较大小 14．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再比较自变量的大小，最后根据函数单调性即可得出函数值的大小关系. 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 15．已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【分析】由减函数的性质求解即可； 【详解】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 16．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 17．已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论. 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 18．函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用严格增函数的性质，结合不等式性质解题即可. 【详解】由知且，由在上是严格增函数， 故，，故． 故选：A. 19．已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为_____． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 五、题型五 利用单调性解不等式 20．已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的增函数，且， 所以， 故选：A 21．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 22．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 23．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 24．已知函数，，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用二次函数的顶点性质，将比较函数值转化为比较自变量到顶点的距离，进而解绝对值不等式. 【详解】的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，      由， 因此有，即， 从而有， 即， 即， 即， 即， 所以或． 六、题型六 利用单调性求最值 25．函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】分段去掉绝对值符号，利用单调性求解可得. 【详解】， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 故选：A 26．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得最值. 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值. 故选：B 27．函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【详解】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 28．已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为1. 【分析】（1）在上任取两个数，且，计算与0的大小，利用单调性定义得解； （2）由（1）的结论可知为最小值，为最大值，利用求出和，即得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）在上任取两个数，且， ，，， ， ，，， ，，在区间上单调递增. （2）在区间上单调递增， 在区间上为增函数， 在时，取最小值，且最小值为， 在时，取最大值，且最大值为. 七、题型七 已知单调性求参数 29．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 30．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 31．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 32．若函数在上单调递减，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由复合函数的区间单调性及定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以，故． 故答案为： 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1.设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【详解】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 2.下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【详解】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 3.下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 【答案】C 【分析】据函数单调性的定义，结合常见函数的单调性进行判断即可. 【详解】函数在其定义域上不具有单调性，故A错误； 函数在区间上是减函数，而的单调递减区间是，故B错误； 若函数为R上的减函数，因为，所以，故C正确； 函数，，满足， 而在上单调递增，在上单调递减， 在其定义域R上不是增函数，故D错误. 故选：C 4.函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 5.已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 6.函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 7.定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性，结合函数定义域，列出不等关系，即可求得的范围. 【详解】二次函数的对称轴为，考虑到其定义域为，故. 故选：A. 二、多选题 8.下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增． 9.已知函数在上具有单调性，则可取的值有（   ） A．30 B．80 C．120 D．160 【答案】AD 【分析】由二次函数对称轴与区间的关系即可判断. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 因为函数在上具有单调性， 所以或， 解得：或， 故选：AD 10.已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 【答案】AD 【分析】求得函数的定义域与单调性，进而逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，的定义域为， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 故在上不是单调函数，故B错误； 对于C，由B可得，当时，， 当时，，所以的值域是， 当时，无意义，故C错误； 当且时，， 当且时，， 所以若，则函数有最小值也有最大值，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 11.函数的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 【答案】 【分析】根据二次函数性质直接可得. 【详解】的图象开口向上，对称轴为直线， 则该函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 故答案为：；. 12.函数在上的最大值为______. 【答案】8 【分析】根据题意结合二次函数性质直接求解即可. 【详解】函数对称轴为，函数图象开口向上， 且时，；时，； 所以函数在上的最大值为8. 故答案为：8. 13.函数在上单调递增，则k的取值范围为______________． 【答案】 【分析】分、和三种情况，结合单调性的性质以及对勾函数单调性分析求解. 【详解】若，则在上单调递增， 所以函数在上单调递增，符合题意； 若，则函数在上单调递增，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 综上所述：k的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 14.已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 15.已知二次函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，结合函数图象，进而求得其最值. 【详解】（1）设二次函数为， 因为函数经过点，可得， 解得， 所以函数的解析式. （2）函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小， 又或时，；时，， 函数的最小值，最大值. 16.已知函数 (1)根据定义证明：函数在区间上单调递减； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) 设任意的且， 则 . 因为，所以，，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递减. (2)， 【分析】（1）根据单调性的定义利用作差法证明即可； （2）结合函数的单调性，求出函数的最值. 【详解】（1）略 （2）因为在区间上单调递减， 所以，. 17.已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)解不等式：. 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）任取且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性； （2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式 【详解】（1）函数在区间上是增函数； 任取且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是严格增函数； （2）由（1）可知函数在区间上是严格增函数，且， 因此由可得. 因此，不等式的解集为. 18.函数对任意的，都有，并且当时，． (1)求证：是上的增函数． (2)若，解不等式． 【答案】(1) 证明：设，且，则，∴． 因此 ． ∴．故是上的增函数． (2) 【分析】（1）利用单调性的定义，计算得到，由此证得结论成立. （2）根据函数的单调性化简不等式，进而求得不等式的解集. 【详解】（1）略 （2）∵对任意的，都有， ∴，∴．∵是上的增函数， ∴．∴，解得， 所以不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 函数的单调性 模块一 筑·知能要点 一、函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 反思感悟　(1)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 二、利用定义证明函数的单调性 反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 三、函数单调性的简单应用 角度1　已知单调性求参数的范围 反思感悟　已知函数单调性求解析式中参数的值(或范围)时，重点在于找到影响函数单调性的因素，具体如下：若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件；若为一次函数，则由一次项系数的正负决定单调性；若为分段函数，则数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件. 角度2　应用单调性解不等式 反思感悟　(1)利用函数的单调性可以比较函数值的大小，此时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. (2)利用函数的单调性可以求解不等式，若不等式的两边具备“同构形式”(如f(a)>f(b))，则可以依据函数单调性的定义，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 四、函数的最大值和最小值 知识梳理　函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 五、利用函数的单调性求函数的最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 单调性的理解 1．已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 2．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 3．设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是___________（填序号）． 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 二、题型二 单调区间的求解 5．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 6．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 8．函数的单调递减区间是______. 9．（1）函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________. （2）函数的单调递减区间是________. 三、题型三 单调性的证明 10．讨论函数在区间上的单调性. 11．判断函数的单调性并证明． 12．根据定义，研究函数在区间上的单调性． 13．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 四、题型四 利用单调性比较大小 14．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 15．已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 16．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 17．已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 18．函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 19．已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为_____． 五、题型五 利用单调性解不等式 20．已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是_____． 24．已知函数，，求实数m的取值范围． 六、题型六 利用单调性求最值 25．函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 26．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 27．函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 28．已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 七、题型七 已知单调性求参数 29．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 30．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．若函数在上单调递减，则的取值范围为______． 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1.设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 2.下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3.下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 4.函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5.已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 6.函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 7.定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8.下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 9.已知函数在上具有单调性，则可取的值有（   ） A．30 B．80 C．120 D．160 10.已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 三、填空题 11.函数的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 12.函数在上的最大值为______. 13.函数在上单调递增，则k的取值范围为______________． 四、解答题 14.已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 15.已知二次函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值. 16.已知函数 (1)根据定义证明：函数在区间上单调递减； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 17.已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)解不等式：. 18.函数对任意的，都有，并且当时，． (1)求证：是上的增函数． (2)若，解不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $