3.2.2函数的奇偶性讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.8、函数性质-奇偶性 引入课题：画出常见函数的图像：观察图的对称性，那我们如何用数学语言去描述这种轴对称和中心对称呢，用镜子和小人作比喻，引奇偶性的定义 1、 函数的奇偶性 定义：一般的，函数定义域为，如果在定义域I内任意， 如果有（喜欢符号，吞负号），那么就叫做偶函数． 如果有（讨厌符号，吐符号），那么就叫做奇函数． 性质：奇函数：1、定义域关于原点对称 2、 几何性质：奇函数关于原点对称，代数表达：偶函数关于Y轴对 3、特有性质：函数在处有意义，且为奇含数 偶函数：1、定义域关于原点对称 2、几何性质：偶函数关于轴对称，代数表达： 【例1】判断下列说法是否正确 （1） 若为奇函数，则（错、） （2） 若，则为奇函数（错、） （3） 若为偶函数，则（（错、）） （4） 若，则为偶函数（错、） （5） 若，则不是奇函数（正确） 【例2】为什么叫奇偶性，不叫对称性呢 解：奇：； 偶： 【例3】关于函数与函数的奇偶性下列说法正确的是（ ） A、两函数均为偶函数 B、两函数都既是奇函数又是偶函数 C、为偶函数，为非奇非偶 D、既是奇函数又是偶函数，为非奇非偶 解：的定义域为，关于原点对称，且为既是奇函数又是偶函数 的定义域为，不关于原点对称，非奇非偶 答案为D 二、奇偶性的判定方法： 【例4】（1） （图像法） （2），（定义域法） （3） （定义法、运算法则） （4） （非奇非偶） （5）-1 （图像法） （6） （运算法则） （7）（奇函数） （8）（非奇非偶，） （9）（非奇非偶，定义域法） （9）（偶函数、狄里克莱函数）（10）（非，定义域） （11）（偶，定义） （12）（偶，定义、运算） 1、定义域法：不关于原点对称为非奇非偶函数 2、图像法：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称！根据图像判断奇偶！ 3、定义法：第一步，求定义域并判断是否关于原点对称； 第二步，用代替、判断和的关系 4、运算性质法： ①-奇=奇，-偶=偶 ，奇奇=奇，偶偶=偶，奇+偶=非奇非偶；（图形变换） ②奇×奇=偶，奇÷奇=偶，偶×偶=偶； 偶÷偶=偶，奇×偶=奇；奇÷偶=奇 奇（偶）数个奇函数的积、商为奇（偶）函数； 记忆：可以根据奇函数为（-），偶函数为（+）来记忆 5、常见的奇函数：第一类：；；； 第二类： 第三类：， ① ②③或或 第四类：或 或（同除得) （证明 6、常见的偶函数：第一类： ； ；；常函数； ； 第二类：；；（自变量加绝对值即为偶函数,不是偶函数） 第三类：， 【例5】下列函数是偶函数但不是奇函数的是( ) A、 B、 C、 D、 解：A为奇函数；B为非奇非偶 ；除C为偶函数； D选项中，，所以即奇又偶函数；答案C 【例6】下列函数在定义域上即是奇函数又是减函数的是( ) A、 B、 C、 D、 解：A为偶函数，B为增函数, C在整个定义域不是减函 D画出图像，答案为D 【例7】设函数与分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A、 是偶函数 B、是奇函数 C、是偶函数 D、是奇函数 解：奇函数和偶函数加绝对值都变为偶函数，奇+奇=奇，偶+偶=偶 答案：A 运算性质的进阶： 多项式函数的判断奇偶性 奇函数：只有奇数次项 偶函数：只有偶函数次项 【例8】已知函数是奇函数，求；如果是偶函数，求 解：奇函数:, 当，为奇偶函数 偶函数： 【例9】（1）已知，函数是奇函数，则_______ 解：奇函数，故，且定义域关于原点对称，所以， （2）函数定义在上的偶函数，则________ 解：，， 【例10】设函数为奇函数，则_______ 解：分母为奇函数，根据运算性质分子为偶函数，故 三、奇偶