第五周 第1天 函数的单调性 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 1天 函数的单调性今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. (重点) 2. 能够利用定义证明函数的单调性. (重点) 3. 掌握函数单调性的简单应用. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 直观感知函数的单调性 ❓ 问题　观察下面三个函数图象，从升降趋势上看，它们有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 💬提示　函数y=x的图象从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大.从左向右看图象下降，反映了函数值随着自变量的增大而减小. 💡知识梳理 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. ⚠️ 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 🎯例1 某已知函数f(x)=x2-4|x|+3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间. 【解】　f(x)=x2-4|x|+3= 如图. 由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[-2，0)，[2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-2)，[0，2). (1)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 反思 归纳 🎯跟踪练习1 作出函数y=|x|(x-2)的图象，并写出函数的单调区间. 【解】　y=|x|(x-2)= 函数的图象如图中实线部分所示. 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为(0，1). 知识点2 利用定义证明函数的单调性 🎯教材例题 根据定义证明函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增. 证明　∀x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2，有 y1-y2= =(x1-x2)+ =(x1-x2)+(x1x2-1). 由x1，x2∈(1，+∞)，得x1>1，x2>1. 所以x1x2>1，x1x2-1>0. 又由x1<x2，得x1-x2<0. 于是(x1x2-1)<0，即y1<y2. 所以，函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增. 🎯例2 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1，1)上的单调性． 【解】　设x1，x2为(－1，1)上的任意两个数，且x1＜x2， 所以f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为x1，x2∈(－1，1)且x1＜x2， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0. 所以＞0. 所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递减． 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 反思 归纳 🎯跟踪练习2 证明函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 证明　∀x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2， f(x1)-f(x2)= =. 因为2<x1<x2， 所以x2-x1>0，x2+x1>0>4>4， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 知识点3 函数单调性的简单应用 📐角度1　比较大小或解不等式 🎯例3-1 　(1)若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)＞f(2a)　　　　　　　 B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a2) (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)＞f(5x＋6)，则实数x的取值范围是________． 【解】　(1)a与2a的大小无法判定，所以A不正确；同理B不正确；当a＝0时，a2＋a＝a，所以C不正确；因为a2＋1＞a2，且函数y＝f(x)在R上是减函数，所以f(a2＋1)＜f(a2)，所以D正确． (2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)＞f(5x＋6)，所以2x－3＞5x＋6，即x＜－3，所以x的取值范围是(－∞，－3). 【答案】　(1)D　(2)(－∞，－3) 利用单调性比较大小或解不等式的方法： (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 反思 归纳 🎯一题多变 若f(x)是定义在(-1，1)上的增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 【解】　因为f(x)是定义在(-1，1)上的增函数且f(x)>f(1-x)， 所以<x<1， 即x的取值范围是. 🎯跟踪练习3-1 （1）若函数f(x)是定义在R上的增函数，则f与f的大小关系是　　　　　　　. 【解】 ∵a2+2a+=(a+1)2+函数f(x)是定义在R上的增函数， ∴f ≤f . （2）若函数f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 【解】　由f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，得x>1-x⇒x> 即x的取值范围是. 📐角度2　已知单调性求参数的范围 🎯例3-2若函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.[5，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，3] D．(－∞，－5] 【解】　函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2的图象开口向下，对称轴为直线x＝a－1，故该函数的单调递增区间为(－∞，a－1). 又函数f(x)在(－∞，4)上是增函数．所以(－∞，4)⊆(－∞，a－1)，所以a－1≥4，即a≥5.故选A. 【答案】　A 已知函数单调性求解析式中参数的值(或范围)时，重点在于找到影响函数单调性的因素，具体如下：若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件；若为一次函数，则由一次项系数的正负决定单调性；若为分段函数，则数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件. 反思 归纳 🎯跟踪练习3-2 若函数f(x)=为R上的增函数，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 【解】　　∵f(x)为R上的增函数， 则 解得-5≤a≤-4， ∴实数a的取值范围为[-5，-4]. 自学小结 函数的单调性 1.知识清单： (1)函数的单调性与单调区间. (2)利用定义证明函数的单调性. (3)单调性的简单应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区： (1)函数的单调区间不能用“∪”连接. (2)利用函数的单调性求参数的取值范围时忽略函数的定义域. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1　　　　　　　　 B．y＝3x2＋1 C．y＝ D．y＝|x| 【解】借助函数图象可知，y＝2x＋1，y＝3x2＋1，y＝|x|在(0，＋∞)上都是增函数，y＝在(0，＋∞)上为减函数．故选ABD. 2．函数y＝|x|－1的单调递减区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) 【解】当x≥0时，y＝|x|－1＝x－1，此时函数单调递增，当x＜0时，y＝|x|－1＝－x－1，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为(－∞，0).故选B. 3. 若函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，则f(－1)________f(2).(填“＞”“＜”或“＝”) 【解】因为f(x)在区间[－2，2]上单调递减，且－1＜2，所以f(－1)＞f(2).答案：＞ 4．证明函数f(x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． 【证明】设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝. 因为0＜x1＜x2＜1， 所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，则－1＋x1x2＜0， 所以＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 1天 函数的单调性今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. (重点) 2. 能够利用定义证明函数的单调性. (重点) 3. 掌握函数单调性的简单应用. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 直观感知函数的单调性 ❓ 问题　观察下面三个函数图象，从升降趋势上看，它们有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 💡知识梳理 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是_______. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是_______. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)_______，区间I叫做y=f(x)的______________. ⚠️ 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 🎯例1 某已知函数f(x)=x2-4|x|+3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间. (1)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 反思 归纳 🎯跟踪练习1 作出函数y=|x|(x-2)的图象，并写出函数的单调区间. 知识点2 利用定义证明函数的单调性 🎯教材例题 根据定义证明函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增. 🎯例2 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1，1)上的单调性． 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 反思 归纳 🎯跟踪练习2 证明函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 知识点3 函数单调性的简单应用 📐角度1　比较大小或解不等式 🎯例3-1 　(1)若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)＞f(2a)　　　　　　　 B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a2) (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)＞f(5x＋6)，则实数x的取值范围是________． 利用单调性比较大小或解不等式的方法： (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 反思 归纳 🎯一题多变 若f(x)是定义在(-1，1)上的增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 🎯跟踪练习3-1 （1）若函数f(x)是定义在R上的增函数，则f与f的大小关系是　　　　　　　. （2）若函数f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 📐角度2　已知单调性求参数的范围 🎯例3-2若函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.[5，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，3] D．(－∞，－5] 已知函数单调性求解析式中参数的值(或范围)时，重点在于找到影响函数单调性的因素，具体如下：若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件；若为一次函数，则由一次项系数的正负决定单调性；若为分段函数，则数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件. 反思 归纳 🎯跟踪练习3-2 若函数f(x)=为R上的增函数，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 自学小结 函数的单调性 1.知识清单： (1)函数的单调性与单调区间. (2)利用定义证明函数的单调性. (3)单调性的简单应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区： (1)函数的单调区间不能用“∪”连接. (2)利用函数的单调性求参数的取值范围时忽略函数的定义域. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1　　　　　　　　 B．y＝3x2＋1 C．y＝ D．y＝|x| 2．函数y＝|x|－1的单调递减区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) 3. 若函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，则f(－1)________f(2).(填“＞”“＜”或“＝”) 4．证明函数f(x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $