第三章圆单元测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学第三章圆单元测试卷，通过单选、填空、解答题覆盖圆的性质、位置关系及计算，结合铅球测量、筒车等实际与文化情境，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|圆的概念、垂径定理、圆锥展开|辨析易混点，如等弧与等长弧| |填空题|6|切线性质、外接圆半径、弦长计算|结合图形应用，如圆柱水面深度| |解答题|8|实际测量、文化应用、定理证明|分层设计，从切线判定到相交弦定理应用，体现模型意识|

第三章圆单元测试卷 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 2．下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 3．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 4．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 5．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 6．已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质和勾股定理．熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 根据圆的弦长性质，求出经过圆内一点的弦长的取值范围，再据此判断即可． 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 7．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 8．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 9．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 10．如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 二、填空题 11．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 12．如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 13．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 14．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 15．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 16．如图，四边形是菱形，点为边上的一点，与相切于点，与相交于点，连接并延长与相交于、两点，连接．若，，，则的长度为________，的长度为________． 【答案】 4 【分析】连接，，过点作，设半径为，在中，利用勾股定理求得；利用菱形的性质结合解直角三角形求得菱形对角线的长，作于点，利用垂径定理和相似三角形的判定和性质求得，，得到，最后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，设半径为， ∵是的切线，∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， ∴， ∴菱形的边长为， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴． 三、解答题 17．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【答案】(1)3.5 (2)；；两点之间，线段最短；；偏大 【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可； （2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，米，米 ∴（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米； （2）解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴． 在中，（两点之间，线段最短）， ． ∴． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 18．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 19．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其工作原理是利用水流冲击水轮使其旋转，将水从低处提升到高处．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，筒车的中心轴为点，水轮边缘上的盛水筒、、均在上．已知为的直径，点在上方，连接、、．如图1过点作于点，连接，已知，，按照下图解决问题． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求解，再利用正切定义求解即可. 【详解】（1）解： 为的直径，， ． 连接，在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， （负根舍去）． （2）解：∵，， ∴， ∵，， 在中：． 20．如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：连接交于点M， ∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点E是弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)3 【分析】（1）连接交于点M，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理及垂径定理得出，得出四边形是矩形，即可得证； （2）设，则，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为3． 21．【定理呈现】 如图①，在圆中，弦 相交于点，小明经过探究发现如下结论： ，我们称这个结论为相交弦定理， (1)下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程． 证明：如图②，连接 【定理应用】 (2)如图③，在圆中，弦 相交于点，， ，，求线段的长； 【拓展提升】 (3)如图④，在圆中，，，过点作线段与圆交于点 ，直接写出的最小值 ___________． 【答案】(1)∵ ， ∴ ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）连接，由同弧所对圆周角相等得 ，，证，利用相似三角形对应边成比例得 ． （2）设 ，则 ，由相交弦定理 ，代入 得，解得，故． （3）由相交弦定理得为定值，当时，即时最小，由得，故的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：设，由得， 由相交弦定理得，， 代入得，， 化简得： ，即， ， ∴ ， （3）解： ， ， 由相交弦定理得， ，即为定值， 如图，过作垂足为， 则， 为半径是定值， 当最大时，最小， 当点与点重合时，最大， 此时，即 时，最小， 由 且，得： ，解得， 的最小值为 ． 22．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 23．如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 24．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第三章圆单元测试卷 一、单选题 1.下列说法正确的是() A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B.长度相等的弧是等弧 C.对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D.三个点确定一个圆 2.下列说法正确的是() A.三点确定一个圆 B.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C.三角形三条高的交点是三角形的重心 D.直角三角形的外心在斜边上 3.小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）.这个新图形的周长与半 圆周长相比() 半圆 新图形 A.半圆周长更长 B. 新图形的周长更长 C.一样长 D.无法比较 4.如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P,若CD=8,则 △ACD的面积是() P B 试卷第1页，共3页 A.16 B.24 C.32 D.48 5.如图，⊙0中， AB=AC,∠ACB=75° 半径r=l,若将扇形BOC围成一个圆锥，则圆 锥的底面圆的半径为() A 1 1 A.12 B.6 C.d D. 6.已知⊙O的半径为10，P为O0内一点，若OP=8,则经过点P的弦长可能是() A.11 B.9 C.18 D.21 7.如图，A,B,C是⊙O上的三点，△ABC是等边三角形.若AB=3,则OO的半径是 () 4 ·0 3 5 A.2 B.2 C.5 n月 8.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点，且 AB=4,OP=2,连结OA交小圆于点E,则扇形OEP的面积为() B 试卷第2页，共3页 1 1 1 1 A. B.3π C.2π D. C 9.如图，正五边形 ABCDE 内接于o0,P为BC上的一点（点P不与点C重合），则 ∠CPD的度数为() B D A.36° B.45 C.60° D.72 10.如图，点A、B、C、D为⊙0上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是() y B D A.30° B.45° C.50° D.60° 二、填空题 11.如图，⊙0的直径CD⊥弦EF,垂足为点G,∠EOD=58°，则∠DCF= G 12.如图，往半径为5dm的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽AB=8dm,则水的最 大深度为 dm, 试卷第3页，共3页 0 13.如图，点A,B,C在⊙0上，若∠BAC=3∠OCB,则LBAC的度数为 4如图，P以，形是90的两条切线，4“是切点，C是西 ⊙0 上一点，过点C画的 切线，分别交PA,PB于点D,E,PA=12cm,则△PDE的周长是 cm 15.已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为 16.如图，四边形ABCD是菱形，点O为AD边上的一点，AB与⊙O相切于点E,AD与 ⊙O相交于点F,连接BD并延长与OO相交于H、G两点，连接CG.若AF=l1, OD=2,AE=3,则OF的长度为一，CG的长度为 G E 三、解答题 17.投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 试卷第4页，共3页 1.将皮尺的零刻度线拉至铅球落点： 2.将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心： 3.将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩， 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点P，皮尺的另一端拉长 经过投掷区的圆心O,PO交抵趾板内沿于点M,测量落点P到投掷区圆心点O的距离为 12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米. 一铅球落点 一一铅球落点 投掷区 抵趾板 投掷区 抵趾板 图1 图2 (1)投掷区所在圆的半径长为米： (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点N(点N与M不重合)，测量铅球落点P到 点N的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由， 解：连接ON、NP」 :ON和OM都是投掷区所在圆的半径， 在△ONP中，OW+NP> ∴.ON+NP>OM+MP 即这个成绩相较于实际成绩 (填“偏小”或“偏大”) 18.乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物⊙O,如图所示，悬挂绳AB、AC分别切 ⊙0 OA 于点B、C,连接 B 试卷第5页，共3页 (I)求证：OA垂直平分BC (2)当BC为40cm,四边形ABOC为正方形时，求⊙0的面积.（结果保留π） 19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其工作原理是利用水流冲击水轮使其旋转， 将水从低处提升到高处.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原 理.如图，筒车的中心轴为点O,水轮边缘上的盛水筒A、B、C均在⊙O上.已知AB为 ⊙0 C AB AC BC OC CCD⊥AB,D 的直径，点在上方，连接 .如图1过点作 于点，连 接OD,已知AB=8,CD=3,按照下图解决问题. B (1)求OD的长； (2)求tan∠ABC的值. 20.如图，在△ABC中，∠B=∠C,点D是边BC的中点，点O是边AB上的点，以O为 圆心，OA为半径的⊙O交AB,BC,AD于点R,E,G,且点E是弧GF的中点，连接OE. D G (I)求证：BC是⊙O的切线： (2)若BE=4,BF=2,求⊙0的半径. 21.【定理呈现】 试卷第6页，共3页 如图①，在圆O中，弦AB,CD相交于点P,小明经过探究发现如下结论： APPB=CP.DP,我们称这个结论为相交弦定理， A C B 0 图① 图② 图③ 图④ (I)下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程， 证明：如图②，连接AC、BD AP.PB=CP.DP 【定理应用】 (2)如图③，在圆O中，弦AB,CD相交于点P,AP=4,PB=6,PD=3PC,求线段 CD的长； 【拓展提升】 3)如图④，在圆O中，AP=4,BP=6,过点P作线段CD与圆交于点C,D,直接写出 CD的最小值= 22.如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的OO交AB于点D,弦DF⊥BC,垂足 为E. O E (I)求证：AD=BD: 试卷第7页，共3页 (2)若AB=10,DF=8,求⊙0的半径. 23.如图，B是O0的直径，点C,D是O0上的两点，且 BD=B ,过点C作o0的切 线与AB的延长线交于点E,连接AC,OD.若∠ACE=115°，OB=6,求扇形BOD (即阴影部分)的面积（结果保留π）， 24.如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G,H分别在边AF，CD上，且不同 于正六边形的顶点，CH=FG, B D (1)证明：四边形BGEH为平行四边形： (2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部 分，求图中阴影部分的面积. 试卷第8页，共3页