专题5.2 解一元一次方程 培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦解一元一次方程核心知识点，系统梳理去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一般步骤，明确去括号变号、去分母漏乘等易错点，通过合并同类项与移项、去括号等6类题型构建从基础到综合应用的学习支架。 资料以探究式学习为特色，如“颠倒数”概念探究培养抽象能力与创新意识，绝对值方程解法训练推理能力，搭配课后检测与复盘笔记，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化运算能力与应用意识。

简一数理 初中专题讲义 专题5.2 解一元一次方程（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 2 3 3 4 5 5 6 7 9 12 知识点一：解一元一次方程的一般步骤 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1. 【例】解方程 解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点2——去分母：漏乘不含分母的项 易错点3——移项忘记变符号． 知识点二：检验方程的解 将求出的未知数的值，分别代入原方程左右两边，若左边计算结果 = 右边计算结果，则该数值是方程的解；若两边数值不相等，则计算过程存在错误，需要重新解方程。 4个易错点: 易错点 1—— 去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。 易错点 2—— 去分母：漏乘不含分母的常数项。 易错点 3—— 移项忘记变符号；不移项、仅在等式同侧交换位置的项不用变号。 易错点 4—— 系数化为 1：未知数系数为负数时，注意等号右边符号同步变化；分子分母颠倒出错。 【题型1 解一元一次方程---合并同类项与移项】 【例1】现规定一种运算．若，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 【变式1-2】若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【变式1-3】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【题型2 解一元一次方程---去括号】 【例2】已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-1】下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【变式2-2】，若，则的值为（     ） A． B．1 C．1或 D． 【变式2-3】下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（    ） ①    ② ③    ④ A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第④步 D．第③步和第④步 【题型3 解一元一次方程---去分母】 【例3】下列方程变形正确的是（     ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 【变式3-1】下列解方程中变形步骤正确的有（     ） ①由得：；②由去分母得：； ③由去括号得 ：；④由得：． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-2】小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【题型4 已知一元一次方程的解，求参数】 【例4】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式4-3】小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 【题型5 一元一次方程解的关系】 【例5】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【变式5-1】若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 【变式5-3】已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．16 D．24 【题型6 绝对值方程】 【例6】已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【变式6-1】在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且，则所有满足条件的x的和为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式6-2】假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 【变式6-3】已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【探究式学习】 1．（新考法）小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的“颠倒数”是682．请你探究，解决下列问题： (1)请直接写出2025的“颠倒数”为__________； (2)能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式成立？ 请你用下列步骤探究“□”所表示的数字． ①设这个数字为，将自然数“”和“”转化为用含的代数式表示分别为__________和__________； ②列出关于的满足条件的方程，并求出的值； ③经检验，所求的值符合题意吗？__________（填“符合”或“不符合”） 2．阅读与思考． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：， ，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解法一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，得或， 解得：或． 解法二：当时；原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，即，解得， 所以原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究” 【提出问题】三个有理数a、b、c满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个都是非0有理数a，b，c满足，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【课后检测】 1．由得到，这个过程叫作（     ）． A．方程 B．方程的解 C．解方程 2．关于的一元一次方程的解（    ） A．不存在 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于的数 D．是一个大于且小于的数 3．对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程是一元一次方程，则方程的解为（    ） A．－2 B．2或0 C．0 D．1 5．数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．” 给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．若是关于的一元一次方程，且方程中含的项为同类项，则该方程的解为（      ） A． B． C． D． 7．方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．若代数式与代数式的和为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 9．建筑工人有两块相同的砖．她将它们以如图所示的三种不同方式并排放置．形成的三个立体图形的表面积分别为72、96和102．问原来砖块的表面积是多少？（   ） A．36 B．48 C．52 D．54 E．60 10．对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，即，若式子，则x的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 11．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 12．若关于x的方程和有相同的解，则______． 13．已知实数，满足，，则的值为__________． 14．已知，且，那么______． 15．满足的整数____________． 16．解方程． (1) (2) 17．解方程： 18．解下列方程： (1)． (2)． 【复盘笔记】 第 2 页 共 28 页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题5.2 解一元一次方程（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 3 3 5 7 9 11 14 16 20 28 知识点一：解一元一次方程的一般步骤 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1. 【例】解方程 解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点2——去分母：漏乘不含分母的项 易错点3——移项忘记变符号． 知识点二：检验方程的解 将求出的未知数的值，分别代入原方程左右两边，若左边计算结果 = 右边计算结果，则该数值是方程的解；若两边数值不相等，则计算过程存在错误，需要重新解方程。 4个易错点: 易错点 1—— 去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。 易错点 2—— 去分母：漏乘不含分母的常数项。 易错点 3—— 移项忘记变符号；不移项、仅在等式同侧交换位置的项不用变号。 易错点 4—— 系数化为 1：未知数系数为负数时，注意等号右边符号同步变化；分子分母颠倒出错。 【题型1 解一元一次方程---合并同类项与移项】 【例1】现规定一种运算．若，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】正确理解新定义运算规则，将其转化为一元一次方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：． 【变式1-1】下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 【答案】D 【分析】根据一元一次方程变形中的移项、去分母、去括号法则判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，原变形错误； B、由，移项得，原变形错误； C、由，去分母时两边同乘10，得，原变形错误； D、由，去括号得，原变形正确． 【变式1-2】若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 【变式1-3】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 【题型2 解一元一次方程---去括号】 【例2】已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】首先根据自定义运算规则，，先计算括号里面的，得出结果，再将其代入即可求解． 【详解】解： ， 即， ， ， ， ， ， 即等于． 【变式2-1】下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【答案】D 【详解】解：对于A，∵方程，移项时移项要变号，∴正确移项结果为，原变形错误，不符合题意； 对于B，∵方程，去分母时需要给等式两边同时乘分母的最小公倍数6，∴正确去分母结果为，原变形错误，不符合题意； 对于C，∵方程，去括号时需要给括号内每一项都乘括号外的系数，∴正确去括号结果为，原变形错误，不符合题意； 对于D，∵方程，系数化为1需要给等式两边同时除以9，∴得，原变形正确，符合题意． 【变式2-2】，若，则的值为（     ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题为定义新运算题，需根据新运算的分段规则，按和3的大小关系分情况讨论，代入对应公式解方程后，检验解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果． 【详解】解：根据新运算规则，分两种情况讨论： 当，即时， 此时， ∴， 解得， ∵不满足，∴舍去该解； 当，即时， ∵此时， ∴， 整理得， 解得， ∵满足， ∴是符合条件的解． 综上，的值为． 【变式2-3】下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（    ） ①    ② ③    ④ A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第④步 D．第③步和第④步 【答案】C 【详解】解：第①步是去括号，依据去括号法则(乘法分配律)，不属于依据等式性质的变形； 第②步是等式两边同时减去，依据等式的性质1，属于依据等式性质的变形； 第③步是合并同类项，依据合并同类项法则，不属于依据等式性质的变形； 第④步是等式两边同时除以，依据等式的性质2，属于依据等式性质的变形； ∴依据“等式的性质”变形的是第②步和第④步． 【题型3 解一元一次方程---去分母】 【例3】下列方程变形正确的是（     ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质以及解一元一次方程逐项判断即可． 【详解】解∶A．方程，系数化为1，得，即A选项错误； B．方程，移项，得，即B选项正确； C．方程，去括号，得，即C选项错误； D．方程，去分母，得，即D选项错误． 【变式3-1】下列解方程中变形步骤正确的有（     ） ①由得：；②由去分母得：； ③由去括号得 ：；④由得：． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程变形的移项、去分母、去括号、系数化为1的规则，逐一判断每个变形的正确性． 【详解】解：①对移项，正确结果应为，题目变形错误； ②对去分母，两边同乘得 ，整理得 ，题目变形错误； ③对去括号，正确结果应为，题目变形错误； ④ 对系数化为，得，题目变形错误； 综上，正确的变形共有个． 【变式3-2】小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 【变式3-3】小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先按照小明的解法可得：，从而可得的值，再把代入原方程，再解方程即可；掌握解方程的步骤与方法是解本题的关键． 【详解】解：按照小明的解法可得去分母后为： ， 将代入方程后， ， ∴， 解得． 将代入方程，得 ， 去分母得：， 整理得：， 解得：． 【题型4 已知一元一次方程的解，求参数】 【例4】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 【变式4-1】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 【变式4-2】数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先整理原方程，结合一元一次方程有唯一解的条件，代入已知解得到m与n的关系，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：整理原方程，移项得：， ∵ 方程有唯一解， ∴ ，即 ， 将代入化简后的方程，得 ，整理得 ， 验证结论①：若 ，代入得 ，解得，与矛盾， ∴ ，①正确； 验证结论②：根据乙的描述，正整数取最小值时，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最小值为，不是 ， ∴ ②错误； 验证结论③：根据乙的描述，正整数取最大值时 ，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最大值为 ， ∵ 是正整数，且 ， ∴ 满足条件的为 ，共个，③正确； 综上，正确结论为①③． 【变式4-3】小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】解：把，代入方程，得●， ∴●. 【题型5 一元一次方程解的关系】 【例5】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 【变式5-1】若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用换元思想，将待求解的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用已知方程的解求解． 【详解】解：整理待求解方程， 移项得， 将变形为，代入得： ， 移项整理得：， 设，则该方程与已知方程结构相同， ∵已知方程的解为， ∴， 解得． 【变式5-2】王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】先分别求出两个方程的解，再根据两个解相差4分两种情况列方程，即可求出a的值． 【详解】解：对于方程①， ∵两边同乘6得， 整理得， ∴； 对于方程②， 移项得， ∴； ∵两个解相差4，分两种情况讨论： 情况1：方程①的解比方程②的解小4，则， 整理得， 解得； 情况2：方程①的解比方程②的解大4，则， 整理得， 解得， 因此a的值为或． 【变式5-3】已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程解的应用，运用整体代换思想是解题关键，将关于y的方程中的看作整体，与已知方程中的x建立对应关系，进而求解y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， 设，则关于y的方程可化为， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 【题型6 绝对值方程】 【例6】已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 【变式6-1】在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且，则所有满足条件的x的和为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题利用数轴上两点间距离的性质，即两点距离等于两点所表示数的差的绝对值，列出绝对值方程求解x，再计算所有x的和，即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且， ∴，整理得， 分两种情况讨论： 当时，解得， 当时，解得， 则所有满足条件的的和为 ． 【变式6-2】假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 【答案】A 【分析】先把代入，求出，则原方程为，再解方程即可． 【详解】解：把代入，得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴方程的另一个解是． 【变式6-3】已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 【探究式学习】 1．（新考法）小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的“颠倒数”是682．请你探究，解决下列问题： (1)请直接写出2025的“颠倒数”为__________； (2)能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式成立？ 请你用下列步骤探究“□”所表示的数字． ①设这个数字为，将自然数“”和“”转化为用含的代数式表示分别为__________和__________； ②列出关于的满足条件的方程，并求出的值； ③经检验，所求的值符合题意吗？__________（填“符合”或“不符合”） 【答案】(1)5202 (2)①；；②3；③符合 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，方程的解，熟练掌握两位数的表示方法是解题的关键． （1）根据“颠倒数”的定义即可解答； （2）①根据两位数的表示方法即可解答；②把①中所求的代数式代入等式即可得方程，再解一元一次方程可求出x的值；③根据“颠倒数”的定义进行检验即可解答． 【详解】（1）解：由“颠倒数”的定义可得：2025的“颠倒数”为5202， （2）解：①设这个数字为x， 自然数“”用含x的代数式表示为：， 自然数“”用含x的代数式表示为：； ②由题意得： ， 解得：， ∴x的值为3； ③检验：，， ∴， ∴符合题意． 2．阅读与思考． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：， ，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解法一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，得或， 解得：或． 解法二：当时；原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，即，解得， 所以原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和绝对值的意义，熟知解一元一次方程的方法和绝对值的意义是解题的关键． （1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得到或，再根据方程只有1个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∵原方程只有1个解， ∴， ∴， ∴． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究” 【提出问题】三个有理数a、b、c满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个都是非0有理数a，b，c满足，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)或1或 (2)或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，清晰的分类讨论是解决本题的关键． （1）根据题意，可得a，b，c都是负数或其中一个为负数或其中两个为负数，另一个或两个为正数，再分类讨论即可； （2）根据绝对值的意义，结合，先计算出，，再求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴a，b，c都是负数或其中一个为负数或其中两个为负数，另一个或两个为正数， ①当a，b，c都是负数，即，，时， 则：； ②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则． ③a，b，c有两个为负数，另一个为正数时，设，，， 则 ∴的值为或1或． （2）∵，，且， ∴，或， 则或． 【课后检测】 1．由得到，这个过程叫作（     ）． A．方程 B．方程的解 C．解方程 【答案】C 【详解】解： ， ∴得到的这个过程叫做解方程． 2．关于的一元一次方程的解（    ） A．不存在 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于的数 D．是一个大于且小于的数 【答案】D 【分析】通过拆项变形简化原方程，提取公因式后根据系数不为直接求解，再判断的范围得到答案． 【详解】解： ， ， 解得， ，符合选项D的描述， 故选：D． 3．对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的运算规则，分别化简等式左右两侧，再解一元一次方程即可得到的值． 【详解】定义运算 ，且满足 ， 分别化简等式左右两边： 左边：， 右边：， 可得方程 ， 解得． 4．若关于的方程是一元一次方程，则方程的解为（    ） A．－2 B．2或0 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义确定参数的取值，再代入原方程求解未知数. 【详解】解：∵原方程是一元一次方程， ∴满足条件， 解，得或， ∵，即， ∴， 将代入原方程，得， 移项得， 解得. 5．数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．” 给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：方程化简得： ， 由方程有唯一解可知：，即， 将唯一解：，代入化简后的方程，得：， 若，则，与矛盾； ，结论①正确； 根据乙同学的对话可知： 当正整数m取得最大值时：，代入，得：； 当正整数m取得最小值时：，代入，得：； 的最小值是3，不是1， 结论②错误； ，包含四个正整数： 结论③正确． 6．若是关于的一元一次方程，且方程中含的项为同类项，则该方程的解为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义确定参数a的可能取值，代入原方程求解，结合选项得到正确结果，用到一元一次方程的概念：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0的整式方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，且方程中含的项为同类项， ∴， 解得 将代入原方程得： ， 解得：． 7．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先提取公因式x，再利用裂项相消法化简左边的多项式，最后解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解： 解得：． 8．若代数式与代数式的和为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意列出关于x的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算即可得到结果． 【详解】根据题意列方程得， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ∴的值为． 9．建筑工人有两块相同的砖．她将它们以如图所示的三种不同方式并排放置．形成的三个立体图形的表面积分别为72、96和102．问原来砖块的表面积是多少？（   ） A．36 B．48 C．52 D．54 E．60 【答案】D 【分析】设砖块的长、宽、高分别为x、y、z，原来砖块的表面积是S，则，根据题意，得，相加可求解． 【详解】解：设砖块的长、宽、高分别为x、y、z，原来一块砖的表面积是S， 则， 根据题意，得， ∴，即， 解得，故原来砖块的表面积是54． 10．对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，即，若式子，则x的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：由新运算可得，， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得． 11．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 【答案】1 【分析】根据新的运算法则“”，将代入得一个关于x的方程，求解 x的值即可． 【详解】解：根据新运算可得 即如果，那么． 12．若关于x的方程和有相同的解，则______． 【答案】8 【分析】先解不含参数的一元一次方程得到的值，再代入含参数的方程即可求出． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 两个方程有相同的解， 把代入，得． 13．已知实数，满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可求出的值，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：对于， 当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为，无解； 将代入，得 ， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，． 14．已知，且，那么______． 【答案】4 【详解】设，则， ， 解得， ． 15．满足的整数____________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，确定绝对值的零点为和，分三种区间讨论去掉绝对值符号，解一元一次方程后筛选出符合条件的整数解即可． 【详解】解：令，解得；令，解得， 分三种情况讨论：当时，原方程可化为， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为得， ，且是整数，符合要求； 当时，原方程可化为 ， 化简得，等式不成立，此区间无解； 当时，原方程可化为， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为得， ，且是整数，符合要求； 综上所述，整数或． 16．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．解方程： 【答案】 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 两边都除以，得 18．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以6，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以，得． 【复盘笔记】 第 2 页 共 28 页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $