专题 5.1 方程（举一反三培优讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦等式与方程的概念、一元一次方程的概念和解法，从等式分类、性质切入，到方程定义与解，再到一元一次方程的判断标准和两种形式，构建由基础到应用的递进式学习支架。 特色在于题型设计举一反三，8类题型含例题与变式题强化训练。探究式学习融入数学日记、天平实验等，培养抽象能力与模型意识。课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺，课中辅助教师教学，提升学生数学思维与应用能力。

简一数理 初中专题讲义 专题5.1 方程（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 10 13 16 知识点一：等式和方程的概念 1．等式：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式． 【例】，，，都是等式． 2．等式的分类： （1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母都能成立的等式； （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母才能成立的等式； （3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母都不成立的等式． 【例】①，都是恒等式； ②是条件等式； ③，，都是矛盾等式． 3．等式的性质： （1）若，则． 等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式． （2）若，则；若且，则． 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式． （3）对称性：若，则． （4）传递性：若，，则． 4．方程：含有未知数的等式，叫做方程． 注意：①方程中必须含有未知数； ②方程是等式，但等式不一定是方程，例如是等式而不是方程． 【例】①、、都是方程； ②、、不是方程． 5．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【例】是的解． 6．解方程：求方程的解的过程． 【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 知识点二：一元一次方程的概念和解法 1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程． 2．一元一次方程的判断： Step1：不化简，看是否是整式方程； Step2：化简，看是否满足． 【例】①、、都是方程； ②、、不是方程． 3．一元一次方程的两种形式： 最简形式：方程的形式叫一元一次方程的最简形式． 标准形式：方程的形式叫一元一次方程的标准形式． 【例】，是一元一次方程的最简形式； ，是一元一次方程的标准形式． 【题型1 判断各式是否是方程】 【例1】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A．B． C． D． 【变式1-1】下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【变式1-2】下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【变式1-3】下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【题型2 列方程】 【例2】某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图②，悦悦将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B．0 C．3 D． 【变式2-2】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型3 判断是否是方程的解】 【例3】整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【变式3-1】当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【变式3-2】 已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列说法正确的是（    ） A．近似数3.1和3.10的精确度一样 B．多项式是二次三项式 C．是方程的解 D．代数式表示与的和 【题型4 已知方程的解，求参数】 【例4】关于的方程，下列说法正确的是（      ） A．若，则方程的解为 B．方程的解为 C．当时，则 D．当时，方程的解为任意数 【变式4-1】阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【变式4-2】整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【变式4-3】已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【题型5 判断是否是一元一次方程】 【例5】下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【变式5-2】下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】若关于的方程是一元一次方程，则的值为（    ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【题型6 判断是否是一元一次方程的解】 【例6】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为4或；根据上述材料，则使等式成立的的值为________． 【变式6-2】若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【变式6-3】是方程的解吗？ 【题型7 等式的性质1】 【例7】下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式7-1】下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A． 步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【变式7-2】回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 【变式7-3】在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 【题型8 等式的性质2】 【例8】对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．3 【变式8-1】下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【探究式学习】 1．下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 2023年9月21日    星期四    晴 为什么？ 小学阶段我们知道乘法是多个相同加数求和的简便运算，如，那么引入负数后，，同样可以理解为． 那么则不可以理解为个相加．我们知道在引入负数后，小学学过的加法与乘法的运算律，在有理数加法与乘法中仍然成立，所以我进行了如下思考与探究． 探究1：为什么？ 因为 ………………………………第一步 …………………………………………第二步 ………………………………………………第三步 而，即，…………………………第四步 因为，…………………………………………第五步 所以．…………………………………………第六步 探究2：为什么 因为… (1)上述材料“探究1”中第一步用到的运算律是__________． (2)请你将“探究2”的步骤补充完整． 2．综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 3．综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”(如图2)． 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）把图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”每个数 ，得到一组新的数“，，，，0，1，2，3，4”． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“，，，，0，1，2，3，4”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （3）如图4所示，标注了其中三个数(，，)的位置，请你用含有，的代数式表示出幻方中的数． 4．遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 【课后检测】 1．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 4．下列变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 6．下列等式变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．下列运用等式的性质，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列解方程过程中，变形正确的是（  ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 11．钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 12．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 13．若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为__________． 【技巧归纳】 方程有整数解，需a整除b．若含参数，将解表示为，再根据整除性求参数值．注意参数需使．常利用因数分解，列出a的因数．如有整数解，则为6的因数，可求m．检验解的正负． 14．已知白昼时长（正午时刻－日出时刻）（日落时刻－正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为__________． 15．已知，，( )． 16．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 17．已知，，请利用等式的基本性质求的值． 18．请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 19．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【复盘笔记】 第 2 页 共 35 页 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题5.1 方程（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 3 3 5 8 10 12 14 16 18 20 26 34 知识点一：等式和方程的概念 1．等式：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式． 【例】，，，都是等式． 2．等式的分类： （1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母都能成立的等式； （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母才能成立的等式； （3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母都不成立的等式． 【例】①，都是恒等式； ②是条件等式； ③，，都是矛盾等式． 3．等式的性质： （1）若，则． 等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式． （2）若，则；若且，则． 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式． （3）对称性：若，则． （4）传递性：若，，则． 4．方程：含有未知数的等式，叫做方程． 注意：①方程中必须含有未知数； ②方程是等式，但等式不一定是方程，例如是等式而不是方程． 【例】①、、都是方程； ②、、不是方程． 5．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【例】是的解． 6．解方程：求方程的解的过程． 【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 知识点二：一元一次方程的概念和解法 1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程． 2．一元一次方程的判断： Step1：不化简，看是否是整式方程； Step2：化简，看是否满足． 【例】①、、都是方程； ②、、不是方程． 3．一元一次方程的两种形式： 最简形式：方程的形式叫一元一次方程的最简形式． 标准形式：方程的形式叫一元一次方程的标准形式． 【例】，是一元一次方程的最简形式； ，是一元一次方程的标准形式． 【题型1 判断各式是否是方程】 【例1】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 【变式1-1】下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 【详解】解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 【变式1-2】下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 【变式1-3】下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 【题型2 列方程】 【例2】某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 【变式2-1】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图②，悦悦将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，一元一次方程，根据题意列出方程，利用方程的思想是解题的关键． 由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由第2列可得和为：， ∴，，， 解得，，， ∴． 故选：A． 【变式2-2】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 【变式2-3】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 【题型3 判断是否是方程的解】 【例3】整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 【变式3-1】当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先将所求方程变形，得到对应的值，再结合表格信息找出对应的值即可得到方程的解． 【详解】解：， 方程两边同除以得：， 即， 由表格可知，当时，， ∴的解是． 【变式3-2】 已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 【变式3-3】下列说法正确的是（    ） A．近似数3.1和3.10的精确度一样 B．多项式是二次三项式 C．是方程的解 D．代数式表示与的和 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度、多项式的次数、方程的解以及代数式的含义，根据相关知识逐一判断正误即可． 【详解】解：A．近似数3.1精确到十分位，3.10精确到百分位，精确度不同，该选项说法错误，不合题意； B．多项式中的次数为3，所以是三次三项式，该选项说法错误，不合题意； C．将代入方程，左边，右边，左边=右边，所以是方程的解，该选项说法正确，符合题意； D．代数式表示与的乘积，而不是和，和应为，该选项说法错误，不合题意； 故选：C． 【题型4 已知方程的解，求参数】 【例4】关于的方程，下列说法正确的是（      ） A．若，则方程的解为 B．方程的解为 C．当时，则 D．当时，方程的解为任意数 【答案】D 【分析】本题考查含字母系数的一元一次方程解的分类讨论，需分和两种情况讨论方程的解，再逐一判断选项正误． 【详解】若，分两种情况： ① 时，方程解为； ② 时，方程解为任意实数，并非． 因此该说法不恒成立，A选项错误． 成立的前提是；若，则无意义，方程无解或无数解，不能直接表示为． 因此该说法不严谨，B选项错误． 由，可得； 在时，即，与结论矛盾． 因此C选项错误． 当时，原方程变为，无论取任意实数，等式恒成立，方程的解为任意数． 因此D选项正确． 【变式4-1】阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 【变式4-2】整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 【变式4-3】已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解：， 整理得，即， 方程有无数多个解， ∴，， 解得，， ∴． 【题型5 判断是否是一元一次方程】 【例5】下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断： ∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程． ∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程． ∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程． ∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程． 对化简得， ∵整理后未知数最高次数为2， ∴不是一元一次方程． 综上，一元一次方程只有1个． 【变式5-1】若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且的系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 【变式5-3】若关于的方程是一元一次方程，则的值为（    ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【答案】B 【分析】根据一元一次方程需满足只含有一个未知数，未知数的次数为，且一次项系数不为求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ，， ，， ，或， ． 【题型6 判断是否是一元一次方程的解】 【例6】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 【变式6-1】使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为4或；根据上述材料，则使等式成立的的值为________． 【答案】或 【分析】观察已知等式可得规律：形如的等式，解为或，根据规律求解即可． 【详解】解：整理已知等式找规律： 第一个等式：，解为或； 第二个等式：，解为或； 第三个等式：，解为或； 所以可得规律：的解为或； ∵，， ∴，符合上述规律， 所以可得或， 检验：两个解都满足，代入原等式均成立，因此是原等式的解． 所以成立的的值为或． 【变式6-2】若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． （1）根据一元一次方程的定义解答即可． （2）将，，分别代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）解：由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． 【变式6-3】是方程的解吗？ 【答案】不是方程的解；是方程的解 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 分别将代入方程，看是否符合方程解的定义即可解答． 【详解】解：当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值不相等，所以不是方程的解； 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等，所以是方程的解． 【题型7 等式的性质1】 【例7】下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可． 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 【变式7-1】下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 【变式7-2】回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 【答案】(1)能，根据等式的两边同减去同一个数或式等式仍成立 (2)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (3)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (4)能，等式的两边同时乘以同一个不为零的数仍成立 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【变式7-3】在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立． (2)方程两边除以x时，x可能为0，而0不能作为除数． (3) 正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 【分析】本题考查了利用等式的性质解方程． （1）根据等式的性质1作答即可； （2）根据等式的性质2作答即可； （3）根据等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数； （3）略 【题型8 等式的性质2】 【例8】对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．3 【答案】C 【分析】先根据“相伴数对”的定义列出等式，化简得到，再化简所求代数式，整体代入求值即可． 【详解】∵是“相伴数对” ， ∴， 整理得， 去分母，得， 展开移项得． 化简所求代数式： 把代入得， 原式． 【变式8-1】下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①根据方程的定义，方程的解的定义，等式的性质，即可判断． 【详解】解：①含有未知数的等式才是方程，不含未知数的等式不是方程，故①不正确； ②当时，，故②正确； ③设，则，，则，故③不正确； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，故④不正确； 综上所述，只有1个正确． 【变式8-2】已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，∴，∴，A是正确的，不符合题意； B、当且仅当时成立，当时，，该等式不成立，故该选项不一定成立，符合题意； C、∵，∴，∴，C是正确的，不符合题意； D、∵，∴，D是正确的，不符合题意． 【变式8-3】下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 【探究式学习】 1．下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 2023年9月21日    星期四    晴 为什么？ 小学阶段我们知道乘法是多个相同加数求和的简便运算，如，那么引入负数后，，同样可以理解为． 那么则不可以理解为个相加．我们知道在引入负数后，小学学过的加法与乘法的运算律，在有理数加法与乘法中仍然成立，所以我进行了如下思考与探究． 探究1：为什么？ 因为 ………………………………第一步 …………………………………………第二步 ………………………………………………第三步 而，即，…………………………第四步 因为，…………………………………………第五步 所以．…………………………………………第六步 探究2：为什么 因为… (1)上述材料“探究1”中第一步用到的运算律是__________． (2)请你将“探究2”的步骤补充完整． 【答案】(1)乘法对加法的分配律 (2)6 【分析】本题考查有理数加法，运算律及等式的性质， （1）根据用到的运算律填写即可； （2）利用乘法分配律计算，再根据，再根据等式的性质即可得出的值； 掌握运算律及等式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：“探究1”中第一步用的运算律是：乘法对加法的分配律， 故答案为：乘法对加法的分配律； （2）“探究2”的步骤补充如下： ∵ ， 又∵， ∴， ∵， ∴． 2．综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 【答案】（1）①；②一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克（2）不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可 【分析】此题考查的是等式的性质，列代数式， （1）①由题目中的数量关系可得答案； ②根据题意列出方程，求解可得答案； （2）根据等式的性质可得答案． 【详解】解决问题 解：①根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：； 记录二中的一次性纸杯的总质量为：， 故答案为：；， ②由题意得：， 解得：， ， 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克． 及时迁移 （2）解：将天平左边放置4个乒乓球，天平右边放置2个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡． 故答案为：4个乒乓球，2个一次性纸杯和1个10克的砝码， 理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 故答案为：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 3．综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”(如图2)． 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）把图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”每个数 ，得到一组新的数“，，，，0，1，2，3，4”． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“，，，，0，1，2，3，4”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （3）如图4所示，标注了其中三个数(，，)的位置，请你用含有，的代数式表示出幻方中的数． 【答案】（1）减去(或加上)； （2）填法如图； （3） 【分析】本题考查有理数的加减运算和等式的性质，关键是发现幻方的性质：每行、每列、每条对角线的和相等，且中心数为所有数的平均数(即每行和为中心数的3倍)． （1）观察原数“1，2，3，…，9”与新数“，，…，4”的关系：，因此每个数减去(或加上)可得到新数； （2）将原幻方每个数减5，即可得到新幻方； （3）设幻方中第三行第一个数为，通过对角线和第三行的和的关系，推导出与、的代数式． 【详解】（1）解：∵原数“1”变换后为“”，，同理其他数均满足“原数新数”， ∴每个数减去(或加上)； 故答案为：减去(或加上)； （2）解：原幻方(图2)中各数为8，3，4；1，5，9；6，7，2，将每个数减5，得到新数3，，；，0，4；1，2，，填入幻方后满足每行、每列、对角线和为0． （3）解：设幻方中第三行第一个数为， 则根据题意， 整理得． 4．遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 【答案】(1) (2)6克，5克 【分析】本题主要考查了等式的性质及列代数式，能根据题意用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量是解题的关键． （1）根据题意，用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量即可； （2）根据（1）中的结果建立方程，据此进行求解即可 【详解】（1）解：由记录1可知，7支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 由记录2可知，11支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，解得，， 一枚硬币的质量为克， 由（1）知，一支粉笔的质量为克， 一支粉笔的质量为克， 因此，一枚硬币和一支粉笔的质量分别是6克，5克． 【课后检测】 1．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 2．如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 3．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 4．下列变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一分析判断各选项，即可解题． 【详解】解：根据等式的基本性质： ∵等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，若，则， ∴A正确，不符合题意； ∵等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，如果，那么， ∴B正确，不符合题意； ∵若，时，无意义，等式不成立， ∴C错误，符合题意； ∵中分母为c，可得，等式两边同乘c，得， ∴D正确，不符合题意． 5．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 【答案】B 【分析】根据一元一次方程定义，结合只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，建立式子求解，即可解题． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 且， 解得且， ． 6．下列等式变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质1与等式性质2，逐个判断选项即可． 【详解】解：A．∵，根据等式性质，两边同时加2，可得，变形正确，不符合题意； B．∵，根据等式性质，两边同时乘3，可得，变形正确，不符合题意； C．∵，根据等式性质，两边同时减4，可得，变形正确，不符合题意； D．若，当时，，当时，成立，即，因此变形错误，符合题意． 7．下列运用等式的性质，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据等式的基本性质逐一判断选项，需注意等式两边同乘或同除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：A、∵中分母为，可得，等式两边同乘得，∴A变形正确； B，∵，等式两边同乘得，等式两边同减得，不能推出，∴B变形错误； C、∵当时，恒成立，不能推出，∴C变形错误； D、∵当时，也成立，因此不能推出，∴D变形错误． 8．下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得，再根据等式的性质得到即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． 9．下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A、，等式两边同乘，可得，故选项A正确，不符合题意； 选项B、对任意实数，都有，即，当时，等式两边同除以，可得，故选项B正确，不符合题意； 选项C、若，当时，无论，是否相等，等式都成立，无法推出，故则选项C说法错误，符合题意； 选项D、，等式两边同除以2，得，故选项D正确，不符合题意； 综上可知，只有选项C错误，符合题意． 10．下列解方程过程中，变形正确的是（  ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A，∵，移项得，∴A变形错误； 对于选项B，∵，系数化为1得，∴B变形错误； 对于选项C，∵，两边同乘6，得，∴C变形正确； 对于选项D，∵，将分子分母同乘10得，变形得，∴D变形错误． 11．钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【答案】 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 12．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据等式的基本性质对每个式子逐一判断． 【详解】解：①，等式两边同时加，得，故①正确； ②，等式两边乘不同的数，可得，故②不正确； ③，等式两边乘不同的数，可得，故③不正确； ④，等式两边同时乘，再同时加，根据等式的基本性质，故④正确； ⑤，分母不为零，则有，等式两边乘相同的数可得，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤． 13．若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为__________． 【技巧归纳】 方程有整数解，需a整除b．若含参数，将解表示为，再根据整除性求参数值．注意参数需使．常利用因数分解，列出a的因数．如有整数解，则为6的因数，可求m．检验解的正负． 【答案】，0和1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于x的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴4要为的倍数， 或0或1． 故答案为：，0和1． 14．已知白昼时长（正午时刻－日出时刻）（日落时刻－正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为__________． 【答案】 【分析】根据题目给出的白昼时长的两个相等表达式，推导出正午时刻与日出时刻、日落时刻的关系，代入已知时间计算即可． 【详解】解：设正午时刻为，日出时刻为，日落时刻为， 由题意得：， 等式两边同时除以得：， 移项得：， 所以， 当，时，． 15．已知，，( )． 【答案】108 【分析】已知，，把换成3个，计算出，代入数值，即可解答． 【详解】解：根据题意可得 可得 所以 所以． 16．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 17．已知，，请利用等式的基本性质求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的混合运算． 根据等式的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：由于，， 则，， 即，， 则． 18．请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 【详解】（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 19．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【复盘笔记】 第 2 页 共 35 页 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $