第26章 二次函数——二次函数解析式求解与图像变换 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图像与性质，系统梳理解析式（一般式、顶点式、交点式）的特点及图像变换（平移、轴对称、中心对称）规律，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过分类题型演练（含例题与练习）及实际案例（如足球射门、桥拱问题），培养学生模型意识与推理能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

目录 第4讲：二次函数的图像与性质（二） 1 【知识梳理】 1 知识点1：二次函数的解析式 1 知识点2：二次函数的图像变换 1 【题型演练】 2 【题型一：二次函数解析式 —— 一般式】 2 【题型二：二次函数解析式 —— 交点式】 3 【题型三：二次函数解析式 —— 顶点式】 4 【题型四：二次函数的图像变换——平移变换】 6 【题型五：二次函数的图像变换——轴对称变换】 6 【题型六：二次函数的图像变换——中心对称变换】 7 【题型七：二次函数的图像变换——综合演练】 8 【巩固练习】 10 第4讲：二次函数的图像与性质（二） 【知识梳理】 知识点1：二次函数的解析式 ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2：二次函数的图像变换 平移变换：在原有函数的基础上遵循“左加右减（x轴），上加下减（y轴）” 对称变换： （1）关于x轴对称：y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)2+k 关于x轴对称后，得到的解析式是y=﹣a(x-h)2﹣k （2）关于y轴对称：y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x-h)2+k 关于y轴对称后，得到的解析式是y= a(x＋h)2＋k 旋转变换： （1）关于原点对称：y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2＋bx-c；y=a(x-h)2+k 关于原点对称后，得到的解析式是y=﹣a(x＋h)2﹣k （2） 关于顶点对称：先讲y=ax2+bx+c变成顶点式方程y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2＋k 通法： 第一步取原函数上任意一点为P(a，b），则该点符合原函数方程 第二步设P经过平移（或旋转，或对称）后的对应点位Q（x，y） 第三步找出两点之间的坐标关系，用Q点坐标值表示P点坐标值即： a=Ax+B，b=Cy+D 第四步将表达好的式子带入到P点满足的方程中，经过化简之后，即可得到Q点所对应的函数解析式，即为所求。 【题型演练】 【题型一：二次函数解析式 —— 一般式】 【例题1】（1）已知某抛物线与抛物线的形状和开口方向都相同，并且对称轴为，函数的最大值为4，求此抛物线的解析式； （2）已知一个二次函数图像经过，，三点，求它的解析式； 【练习1-1】如图，二次函数图象经过点、、． (1)求此二次函数的解析式； (2)观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 【练习1-2】求满足下列条件的二次函数的解析式： (1) 图象经过点，和； 【题型二：二次函数解析式 —— 交点式】 【例题2】根据二次函数图像上三个点的坐标，求出函数的解析式： 【练习2-1】已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于 (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【练习2-2】已知二次函数的图象经过三点，，三点． (1)求二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； (3)据图象回答：当时，y的取值范围是多少？ 【题型三：二次函数解析式 —— 顶点式】 【例题3】已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【练习3-1】已知二次函数图象经过点，且当时，y有最大值5，求这个函数的解析式． 【练习3-2】抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【练习3-3】二次函数的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 解答下列问题： (1)求这个二次函数的解析式； (2)表格中m的值等于 ； (3)将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 【例题4】2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【练习4-1】如图1是太原漪汾桥实物图，桥拱可以近似看作抛物线，图2是其示意图，以桥面OA所在的直线为x轴，桥墩OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、桥墩米，跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为4米．当桥拱上一点到直线的距离是15米时，则点到地面的距离是______． 【练习4-2】如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为____________________ ． 【题型四：二次函数的图像变换——平移变换】 【例题5】 将抛物线的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图像的函数解析式为，则b、c的值为（   ） A． B． C． D． 【练习5-1】将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【练习5-2】抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【练习5-3】抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为_______． 【题型五：二次函数的图像变换——轴对称变换】 【例题6】已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为____________ 【练习6-1】在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由向右平移个单位长度所得，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【练习6-2】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【练习6-3】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线：与抛物线：是关于直线的对称曲线，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型六：二次函数的图像变换——中心对称变换】 【例题7】将抛物线绕着它的顶点旋转，所得的抛物线的表达式为________． 【练习7-1】将抛物线绕它的顶点A旋转，则旋转后抛物线的表达式为________． 【练习7-2】将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是______． 【例题8】在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点O旋转，再向下平移2个单位，所得到的抛物线表达式是________． 【练习8-1】已知函数和图象关于点对称，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【练习8-2】在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向左平移3个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线，则原抛物线的解析式是______． 【题型七：二次函数的图像变换——综合演练】 【变式拓展1】定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为___________． 【变式拓展2】如图，一段抛物线：（）记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，则的顶点坐标为________． 【变式拓展3】在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是________． 【变式拓展4】如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联．现将抛物线：，绕点旋转得到抛物线，若抛物线与关联，则t的值为_____． 【巩固练习】 1．将抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝﹣2（x﹣3）2+2 B．y＝﹣2（x+3）2+2 C．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2 D．y＝﹣2（x+3）2﹣2 2．如图，抛物线和抛物线，我们可对其中一条抛物线通过平移和对称得到另一条抛物线．则以下变换方式中，错误的是（　　） A．将抛物线向右平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线 B．将抛物线向左平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线 C．将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线 D．将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线 3．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________． 4．将抛物线以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________． 5．如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 6．已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 7．匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 (1)当时， ，这个值表示的实际意义是 ； (2)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； (3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第4讲：二次函数的图像与性质（二） 1 【知识梳理】 1 知识点1：二次函数的解析式 1 知识点2：二次函数的图像变换 1 【题型演练】 2 【题型一：二次函数解析式 —— 一般式】 2 【题型二：二次函数解析式 —— 交点式】 4 【题型三：二次函数解析式 —— 顶点式】 7 【题型四：二次函数的图像变换——平移变换】 11 【题型五：二次函数的图像变换——轴对称变换】 13 【题型六：二次函数的图像变换——中心对称变换】 15 【题型七：二次函数的图像变换——综合演练】 18 【巩固练习】 22 第4讲：二次函数的图像与性质（二） 【知识梳理】 知识点1：二次函数的解析式 ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2：二次函数的图像变换 平移变换：在原有函数的基础上遵循“左加右减（x轴），上加下减（y轴）” 对称变换： （1）关于x轴对称：y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)2+k 关于x轴对称后，得到的解析式是y=﹣a(x-h)2﹣k （2）关于y轴对称：y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x-h)2+k 关于y轴对称后，得到的解析式是y= a(x＋h)2＋k 旋转变换： （1）关于原点对称：y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2＋bx-c；y=a(x-h)2+k 关于原点对称后，得到的解析式是y=﹣a(x＋h)2﹣k （2） 关于顶点对称：先讲y=ax2+bx+c变成顶点式方程y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2＋k 通法： 第一步取原函数上任意一点为P(a，b），则该点符合原函数方程 第二步设P经过平移（或旋转，或对称）后的对应点位Q（x，y） 第三步找出两点之间的坐标关系，用Q点坐标值表示P点坐标值即： a=Ax+B，b=Cy+D 第四步将表达好的式子带入到P点满足的方程中，经过化简之后，即可得到Q点所对应的函数解析式，即为所求。 【题型演练】 【题型一：二次函数解析式 —— 一般式】 【例题1】（1）已知某抛物线与抛物线的形状和开口方向都相同，并且对称轴为，函数的最大值为4，求此抛物线的解析式； （2）已知一个二次函数图像经过，，三点，求它的解析式； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据抛物线与的形状和开口方向都相同，可得，由对称轴为，函数的最大值为4可知抛物线的顶点为，即可求解； （2）设二次函数的解析式为，代入，，得到关于的方程组，解出的值即可得到抛物线的解析式． 【详解】解：（1）抛物线与的形状和开口方向都相同， 设抛物线的解析式为， 又对称轴为，函数的最大值为4， 抛物线的解析式为，即． （2）设二次函数的解析式为， 代入，，得，， 解得：， 二次函数的解析式为． 【练习1-1】如图，二次函数图象经过点、、． (1)求此二次函数的解析式； (2)观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的取值范围为：或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点、、， ， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或． 【练习1-2】求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点，和； 【答案】(1) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题目特点灵活选取二次函数解析式的形式是解题的关键； （1）由题意，设二次函数的表达式，把三点坐标代入函数式中，解方程组即可求解； 【详解】（1）解：由题意，设二次函数的表达式， 把，和代入得：， ． 二次函数的表达式．． 【题型二：二次函数解析式 —— 交点式】 【例题2】根据二次函数图像上三个点的坐标，求出函数的解析式： 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据题意可设解析式为，进而将代入求解即可． 【详解】∵二次函数图像经过， ∴可设解析式为， ∵二次函数图像经过， ∴， 解得， ∴该函数的解析式为． 【练习2-1】已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于 (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在此抛物线上，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）用待定系数法设抛物线的解析式为，把，，代入即可； （2）把代入解析式求出y的值即可判断． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把，，代入得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 点不在此抛物线上． 【练习2-2】已知二次函数的图象经过三点，，三点． (1)求二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； (3)据图象回答：当时，y的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式，描点画图和求函数值， （1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先列表，再描点，再画图即可； （3）根据函数的图象得到当时，y的最大值与最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，则 ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：列表如下： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3 描点并画图， （3）解：根据图象可得当时，最小值为， 当时，， ∴． 【题型三：二次函数解析式 —— 顶点式】 【例题3】已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，不妨设，然后代入，解出答案即可． 【详解】解： ∵抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴不妨设， 代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【练习3-1】已知二次函数图象经过点，且当时，y有最大值5，求这个函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，由二次函数的顶点坐标可设二次函数的关系式为，代入点可求出值，此题得解． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为． ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的解析式为． 【练习3-2】抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 【练习3-3】二次函数的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 解答下列问题： (1)求这个二次函数的解析式； (2)表格中m的值等于 ； (3)将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 【答案】(1) (2)17 (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式，求函数值，二次函数图象的平移； （1）根据表格数据得出顶点坐标为，设该二次函数解析式为，将，代入，求出a的值即可； （2）将代入（1）中解析式即可求出m； （3）根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可知，当和时的函数值为， ∴对称轴是直线，该函数有最小值，即顶点坐标为， ∴设该二次函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 故答案为：17； （3）解：将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，可得：， ∴平移后的二次函数解析式为：． 【例题4】2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 【练习4-1】如图1是太原漪汾桥实物图，桥拱可以近似看作抛物线，图2是其示意图，以桥面OA所在的直线为x轴，桥墩OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、桥墩米，跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为4米．当桥拱上一点到直线的距离是15米时，则点到地面的距离是______． 【答案】7.5米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，二次函数的解析式，解一元二次方程，根据条件解出二次函数的解析式是解题的关键． 根据题意得到抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，之后抛物线过，即可得到抛物线方程，当时，解得即可得到答案． 【详解】解：由题可知，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， 当时，， 点到地面的距离是米． 故答案为：米． 【练习4-2】如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意由待定系数法求解是关键．依据题意得，抛物线的对称轴是y轴，故可设抛物线为，再由，可得方程组，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是y轴， 故可设抛物线为． 又∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 【题型四：二次函数的图像变换——平移变换】 【例题5】 将抛物线的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图像的函数解析式为，则b、c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式形式写出解析式，然后整理成二次函数的一般形式，最后根据对应项系数相等解答． 【详解】解：抛物线的图象的顶点坐标为， ∵先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴所得抛物线的解析式为， ∴． 故选：B． 【练习5-1】将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规则：向右平移个单位，替换为；向上平移个单位，替换为或整个函数加． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是． 故选：A． 【练习5-2】抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移性质，二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后的函数解析式为， 故选：B． 【练习5-3】抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为_______． 【答案】/ 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为． 【题型五：二次函数的图像变换——轴对称变换】 【例题6】已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为____________ 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，根据题意确定顶点坐标关于y轴的对称点为，然后利用顶点式即可求解 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴顶点坐标关于y轴的对称点为，开口方向与原开口方向一致， ∴对应的函数关系式为， 故答案为： 【练习6-1】在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由向右平移个单位长度所得，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】先求出原抛物线的对称轴，再根据平移性质得到的对称轴，直线到两条对称轴的距离相等，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵可看作是由向右平移个单位长度所得，， ∴的对称轴为直线， ∵与关于直线对称， ∴， ∴． 【练习6-2】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 【练习6-3】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线：与抛物线：是关于直线的对称曲线，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．解题的关键是根据题意得到抛物线的顶点坐标是． 根据题意知，抛物线与抛物线的开口方向、大小均一致，且顶点坐标关于直线对称，据此解答． 【详解】解：抛物线与抛物线是关于直线的对称曲线， ， 抛物线，其顶点坐标是． 点关于直线对称的点的坐标为． 抛物线与抛物线是关于直线对称， 抛物线的顶点坐标是，其开口方向与大小均与抛物线一致， 抛物线的表达式为． ，， ． 故选：D． 【题型六：二次函数的图像变换——中心对称变换】 【例题7】将抛物线绕着它的顶点旋转，所得的抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线绕顶点旋转后，开口方向改变，顶点坐标和形状不变，即二次项系数绝对值不变但符号相反，据此可得答案． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，二次项系数，开口向下， 旋转后，顶点坐标不变，开口方向变为向上，因此二次项系数变为， 故所得抛物线的表达式为． 故答案为：． 【练习7-1】将抛物线绕它的顶点A旋转，则旋转后抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】原抛物线可化为顶点式，确定顶点坐标；绕顶点旋转后，顶点不变，开口方向改变，二次项系数符号相反． 【详解】解：原抛物线可化为，顶点为，开口向上， 绕顶点旋转后，顶点不变，开口向下，因此二次项系数变为， 故旋转后的抛物线表达式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，旋转的性质，掌握二次函数图像的顶点式，旋转的性质是解题的关键． 【练习7-2】将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，将一般式转化为顶点式，根据题意，得到新的抛物线的顶点与原抛物线的顶点相同，开口方向相反，求出新的解析式即可． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴将抛物线绕其顶点旋转后，新的抛物线的解析式为：； 故答案为： 【例题8】在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点O旋转，再向下平移2个单位，所得到的抛物线表达式是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，以及几何变换．先将抛物线配方得到顶点式，从而得到顶点坐标，根据旋转的性质可知，抛物线开口向下，顶点坐标为，进而得到旋转后的抛物线表达式，再根据“上加下减”的法则，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 将抛物线先绕原点旋转，则抛物线开口向下，顶点坐标为， 即抛物线为， 再向下平移2个单位，则， 即得到的抛物线的表达式是， 故答案为：． 【练习8-1】已知函数和图象关于点对称，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把函数解析式化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键．两个二次函数的图象关于点P对称，则它们的顶点也关于点P对称，先求出两个函数的顶点坐标，再求其中点即为点P的坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵图象关于点P对称， ∴点P为点和点的中点， ∴点P的横坐标，纵坐标 ， ∴点的坐标为， 故选：B 【练习8-2】在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向左平移3个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线，则原抛物线的解析式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及旋转的性质是解题的关键；逆向进行变换：先对给定抛物线绕原点旋转，得到向左平移后的抛物线，再向右平移3个单位得到原抛物线，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线，配成顶点式为， ∴顶点坐标为，则绕原点旋转后，得到新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线解析式为， 此抛物线为原抛物线向左平移3个单位所得，故将向右平移3个单位，得； 故答案为． 【题型七：二次函数的图像变换——综合演练】 【变式拓展1】定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程． 先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为，设旋转后的图象解析式为，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，即关于x的方程有两个相等的根，进而求解. 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∴当旋转后的图象顶点纵坐标为， 设将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象顶点坐标为 即旋转后的图象解析式为， ∵横、纵坐标相等的点在函数的图象上， ∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点， ∴关于x的方程有两个相等的根， ∴有两个相等的根， ∴， 解得，， 即旋转后的图象顶点坐标为， ∴点的坐标为，即 故答案为：． 【变式拓展2】如图，一段抛物线：（）记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，则的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，抛物线与轴的交点，二次函数的顶点，二次函数与几何变换．找出顶点坐标的变化规律是解答本题的关键． 根据抛物线与轴的交点问题，得到图象与轴交点坐标为：，，此时顶点坐标为，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为：，，顶点坐标为，于是可推出抛物线上的点的横坐标为偶数时，纵坐标为0，横坐标是奇数时，纵坐标为1或，按照上述规律进行解答，即可求解． 【详解】解：一段抛物线， 图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为， 将绕点旋转得， 图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为， 将绕点旋转得， 图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为， ∴当n为奇数时，的顶点坐标为， 当n为偶数时，的顶点坐标为， 当时，的顶点坐标为，即， 故答案为：． 【变式拓展3】在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是________． 【答案】 【分析】先确定旋转后抛物线的开口方向和对称轴，再由题意列出关于k的不等式进行求解． 【详解】解：∵，， ∵原抛物线的开口向上，对称轴是直线， ∵将该抛物线绕点旋转后开口向下， ∵旋转后的对称轴为直线，开口向下， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质的应用能力，关键是掌握二次函数的图象和性质． 【变式拓展4】如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联．现将抛物线：，绕点旋转得到抛物线，若抛物线与关联，则t的值为_____． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，抛物线是由抛物线绕点旋转所得，那么两条抛物线的顶点关于点P对称，据此求出抛物线的顶点坐标，若抛物线、相关联，那么抛物线的顶点必在抛物线的函数图象上，进而求出即可． 【详解】解：抛物线：的顶点； 由于抛物线是抛物线绕点旋转所得，所以抛物线、的顶点关于点P对称， ∴抛物线的顶点坐标； 已知抛物线和抛物线相关联，那么点必在抛物线的函数图象上，即： ， 解得：、， 故答案为：3或． 【巩固练习】 1．将抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝﹣2（x﹣3）2+2 B．y＝﹣2（x+3）2+2 C．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2 D．y＝﹣2（x+3）2﹣2 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，知抛物线顶点不变，a变成相反数，直接写出即可. 【详解】解：抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2顶点坐标为（3，-2），a=2， 抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，则a=-2，顶点坐标为（3，-2）， 所以绕顶点旋转180°后，得：y＝﹣2（x﹣3）2﹣2， 故选C． 【点睛】本题是对抛物线解析式的考查，熟练掌握抛物线旋转的特点是解决本题的关键. 2．如图，抛物线和抛物线，我们可对其中一条抛物线通过平移和对称得到另一条抛物线．则以下变换方式中，错误的是（　　） A．将抛物线向右平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线 B．将抛物线向左平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线 C．将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线 D．将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，观察图象即可判断．掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：观察图象， 将抛物线向右平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线，故正确； 将抛物线向左平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线，故正确； 将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线，故正确； 将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向左平移2个单位得到抛物线，故错误； 故选：． 3．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象平移，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，通过计算新顶点坐标得到新解析式． 【详解】解：原抛物线向上平移3个单位长度，得到： ； 再向右平移5个单位长度，用替换，得到： ． 故答案为：． 4．将抛物线以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求关于原点对称的点的坐标 【分析】求出绕原点旋转180度所得抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，绕原点旋转180度后变为，且开口相反， ∴得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键． 5．如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 【答案】2 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【详解】根据题意，得 C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）； C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）； C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）； C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）； …… C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）． 对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2， 故答案为2． 6．已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 7．匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 (1)当时， ，这个值表示的实际意义是 ； (2)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； (3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】(1)，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； (2)； (3) 解：由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能达到． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了实际问题与二次函数——投球问题，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （）根据表格可以得出答案； （）把，代入，用待定系数法求出函数解析式； （）结合（）根据函数的性质求出最大值与比较即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； 故答案为：，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； （2）解：把，代入， 得， ∴； ∴； （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $