专题03 对数（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-互化-运算-应用-换底”为逻辑主线，通过“核心要点+通法技巧+易错警示”三维度提炼解题方法，典例覆盖基础与应用，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01 对数概念|1典例+3变式|定义域不等式组法|概念生成（定义→性质→特殊对数）| |题型02 指数对数互化|1典例+3变式|未知量转化代数形式|联系转化（指数式与对数式等价关系）| |题型03 对数运算法则|1典例+3变式|同底“积变加、商变减、幂前移”|运算规则（和差积商幂的对数转化）| |题型04 对数运算实际应用|1典例+3变式|对数模型建立与数据代入|实际建模（声强级/生物指数等场景应用）| |题型05 对数换底公式|1典例+3变式|统一为常用/自然对数|工具应用（不同底数对数运算转化）| |题型06 换底公式证明恒成立|1典例+3变式|等式两边换底化简|逻辑证明（换底公式代数变形推理）|

专题03 对数 （题型突破·举一反三） ▌题型01 对数概念 【典例1】 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式1-1】 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 【变式1-2】 【答案】B 【分析】利用具体函数的定义域的求法把集合具体化，再根据集合的运算法则可得答案. 【详解】要使有意义，只需，所以， 又因为,所以. 【变式1-3】 【答案】B 【分析】根据公式直接计算得到答案. 【详解】由题意可得. 故选：B ▌题型02 指数对数式的互化 【典例2】 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【变2-1】 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 【变式2-2】 【答案】9 【分析】利用对数的定义直接求解. 【详解】由，得. 故答案为：9 【变式2-3】 【答案】 【分析】由指数的运算和指数、对数的转化即可求解. 【详解】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. ▌题型03 对数的运算法则 【典例3】 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 【变式3-1】 【答案】C 【分析】利用对数的幂运算性质化简计算即可. 【详解】，故C正确. 【变式3-2】 【答案】/ 【详解】， . 【变式3-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . ▌题型04 对数运算实际应用 【典例4】 【答案】C 【详解】对两边同时取以为底的对数，可得. ∵ 当种群脚趾数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ①. ∵ 当种群眼睛数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ②. 将代入①，得， ∴ ，∴ . 将代入②验证： 左边，符合等式. ∴ . 【变式4-1】 【答案】C 【详解】由题意得，，则， 即， 所以． 【变式4-2】 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的4倍， 则 ， 【变式4-3】 【答案】D 【详解】由题意得，即， 两边取对数得，即， 解得． ▌题型05 对数换底公式 【典例5】 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 【变式5-1】 【答案】D 【详解】由可得， 则. 【变式5-2】 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 【变式5-3】 【答案】 【详解】 ▌题型06 用换底公式证明恒成立问题 【典例6】 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 【变式6-1】 【答案】D 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 【变式6-2】 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 【变式6-3】 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 对数 （题型突破·举一反三） 题型01 对数概念 1 题型02 指数对数式的互化 2 题型03 对数的运算法则 3 题型04 对数运算实际应用 4 题型05 对数换底公式 6 题型06 用换底公式证明恒成立问题 7 ▌题型01 对数概念 1.核心要点 (1)对数的概念:如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)对数（且）具有下列性质： ① 0和负数没有对数，即； ② 1的对数为0，即； ③ 底的对数等于1，即． (3).两种特殊的对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 2.通法/技巧 求参数取值范围时，直接根据“底数>0且≠1，真数>0”列不等式组求解，确保定义域完整. 3.易错点/注意事项 极易忽视真数必须大于0的限制条件，导致求出无效解或定义域错误. 【典例1】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式1-1】对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·江苏·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． ▌题型02 指数对数式的互化 1. 核心要点 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 2. 通法/技巧 遇到含未知指数的方程或求值问题时，优先利用互化关系将未知量转化为可计算的代数形式. 3. 易错点/注意事项 互化时底数、指数、真数的位置对应错误，尤其是将指数错写为真数或底数. 【典例2】（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【变2-1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，则__________. 【变式2-3】（2026高一下·广东汕尾·竞赛）方程的实数解为__________. ▌题型03 对数的运算法则 1. 核心要点 （1）.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）.两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）.正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 2. 通法/技巧 化简复杂对数式时，先统一底数，再按“积变加、商变减、幂前移”的顺序逐步拆解或合并. 3. 易错点/注意事项 (1).忘记“只有同底数才能合并运算”的前提； (2).错误地将 等同于 ，对数没有加法分配律. 【典例3】（多选）（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 【变式3-1】 （25-26高一下·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·山东泰安·期末）已知函数，则______． 【变式3-3】（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． ▌题型04 对数运算实际应用 1. 核心要点 常见应用场景包括声强级公式、生物丰富度指数、放射性衰变、复利增长等.核心解题路径为：建立对数模型 → 代入数据 → 利用运算法则化简求解. 2. 通法/技巧 面对实际背景题，先提取关键变量列出对数方程，常需结合题目给出的参考数据进行近似计算. 3. 易错点/注意事项 从实际情境中抽象数学模型时，变量对应关系搞错，或忽略实际问题中变量的物理意义（如时间、浓度必须为正）. 【典例4】（2025年第七十七届AMC12A国际数学竞赛）在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 【答案】C 【详解】对两边同时取以为底的对数，可得. ∵ 当种群脚趾数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ①. ∵ 当种群眼睛数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ②. 将代入①，得， ∴ ，∴ . 将代入②验证： 左边，符合等式. ∴ . 【变式4-1】（25-26高二下·云南玉溪·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·湖北·开学考试）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（    ）天参考数据：，， A．18 B．30 C．51 D．69 【变式4-3】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（   ）．附． A． B． C． D． ▌题型05 对数换底公式 1.核心要点对数换底公式 2. 通法/技巧 遇到不同底数的对数比较大小或混合运算时，利用换底公式统一为常用对数（）或自然对数（），便于化简与计算. 3. 易错点/注意事项 换底时分子分母写反，误将 写成. 【典例5】（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 【变式5-1】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若，则（    ） A． B． C． D．2 【变式5-2】（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． ▌题型06 用换底公式证明恒成立问题 1.核心要点 证明对数恒等式的核心策略是将所有对数统一换成同一底数（通常换成或），再利用运算法则逐步化简. 2.通法/技巧 对等式两边同时换底，或从较复杂的一侧出发，通过换底和运算法则向另一侧靠拢，验证左右两边相等即完成证明. 3.易错点/注意事项 换底过程中代数变形出错，或在未统一底数的情况下强行合并不同底的对数项. 【典例6】设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 【变式6-1】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（19-20高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【变式6-3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 对数 （题型突破·举一反三） 题型01 对数概念 1 题型02 指数对数式的互化 3 题型03 对数的运算法则 4 题型04 对数运算实际应用 6 题型05 对数换底公式 8 题型06 用换底公式证明恒成立问题 9 ▌题型01 对数概念 1.核心要点 (1)对数的概念:如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)对数（且）具有下列性质： ① 0和负数没有对数，即； ② 1的对数为0，即； ③ 底的对数等于1，即． (3).两种特殊的对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 2.通法/技巧 求参数取值范围时，直接根据“底数>0且≠1，真数>0”列不等式组求解，确保定义域完整. 3.易错点/注意事项 极易忽视真数必须大于0的限制条件，导致求出无效解或定义域错误. 【典例1】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式1-1】对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 【变式1-2】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用具体函数的定义域的求法把集合具体化，再根据集合的运算法则可得答案. 【详解】要使有意义，只需，所以， 又因为,所以. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式直接计算得到答案. 【详解】由题意可得. 故选：B ▌题型02 指数对数式的互化 1. 核心要点 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 2. 通法/技巧 遇到含未知指数的方程或求值问题时，优先利用互化关系将未知量转化为可计算的代数形式. 3. 易错点/注意事项 互化时底数、指数、真数的位置对应错误，尤其是将指数错写为真数或底数. 【典例2】（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【变2-1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，则__________. 【答案】9 【分析】利用对数的定义直接求解. 【详解】由，得. 故答案为：9 【变式2-3】（2026高一下·广东汕尾·竞赛）方程的实数解为__________. 【答案】 【分析】由指数的运算和指数、对数的转化即可求解. 【详解】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. ▌题型03 对数的运算法则 1. 核心要点 （1）.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）.两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）.正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 2. 通法/技巧 化简复杂对数式时，先统一底数，再按“积变加、商变减、幂前移”的顺序逐步拆解或合并. 3. 易错点/注意事项 (1).忘记“只有同底数才能合并运算”的前提； (2).错误地将 等同于 ，对数没有加法分配律. 【典例3】（多选）（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 【变式3-1】 （25-26高一下·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的幂运算性质化简计算即可. 【详解】，故C正确. 【变式3-2】（25-26高二下·山东泰安·期末）已知函数，则______． 【答案】/ 【详解】， . 【变式3-3】（25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . ▌题型04 对数运算实际应用 1. 核心要点 常见应用场景包括声强级公式、生物丰富度指数、放射性衰变、复利增长等.核心解题路径为：建立对数模型 → 代入数据 → 利用运算法则化简求解. 2. 通法/技巧 面对实际背景题，先提取关键变量列出对数方程，常需结合题目给出的参考数据进行近似计算. 3. 易错点/注意事项 从实际情境中抽象数学模型时，变量对应关系搞错，或忽略实际问题中变量的物理意义（如时间、浓度必须为正）. 【典例4】（2025年第七十七届AMC12A国际数学竞赛）在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 【答案】C 【详解】对两边同时取以为底的对数，可得. ∵ 当种群脚趾数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ①. ∵ 当种群眼睛数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ②. 将代入①，得， ∴ ，∴ . 将代入②验证： 左边，符合等式. ∴ . 【变式4-1】（25-26高二下·云南玉溪·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，则， 即， 所以． 【变式4-2】（24-25高一下·湖北·开学考试）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（    ）天参考数据：，， A．18 B．30 C．51 D．69 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的4倍， 则 ， 【变式4-3】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（   ）．附． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 两边取对数得，即， 解得． ▌题型05 对数换底公式 1.核心要点对数换底公式 2. 通法/技巧 遇到不同底数的对数比较大小或混合运算时，利用换底公式统一为常用对数（）或自然对数（），便于化简与计算. 3. 易错点/注意事项 换底时分子分母写反，误将 写成. 【典例5】（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 【变式5-1】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由可得， 则. 【变式5-2】（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 【变式5-3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 【答案】 【详解】 ▌题型06 用换底公式证明恒成立问题 1.核心要点 证明对数恒等式的核心策略是将所有对数统一换成同一底数（通常换成或），再利用运算法则逐步化简. 2.通法/技巧 对等式两边同时换底，或从较复杂的一侧出发，通过换底和运算法则向另一侧靠拢，验证左右两边相等即完成证明. 3.易错点/注意事项 换底过程中代数变形出错，或在未统一底数的情况下强行合并不同底的对数项. 【典例6】设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 【变式6-1】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 【变式6-2】（19-20高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 【变式6-3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $