专题02 指数函数（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 指数函数 （题型突破·举一反三） 题型01 指数函数的概念 1 题型02 定义约束下的参数求解 2 题型03 指数型函数定点求解 3 题型04 指数型函数的图像形状 4 题型05 定义域与值域的求解 5 题型06 单调性的判定 6 题型07 最值的求解 7 题型08 指数型不等式求解 8 题型09 指数幂比大小 10 题型10 指数型函数性质的综合应用 11 ▌题型01 指数函数的概念 1．概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 2. 知识点诠释 （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． ． 【典例1】（19-20高一上·全国·课后作业）下列函数中，是指数函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中的指数和底数位置不对；B中的指数不符合要求；C中的系数不符合要求. 【详解】A．函数的底数是自变量，指数是常数2，故不是指数函数； B．函数的底数是常数3，指数是，而不是自变量，故不是指数函数； C．函数中的系数是3，不是1，故不是指数函数； D．函数符合指数函数的定义，即是指数函数． 【变式1-1】（19-20高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是指数函数的是 A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22高三上·安徽六安·开学考试）指数函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1-3】（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. ▌题型02 定义约束下的参数求解 如何求参数 当题目给出函数是指数型函数时，需列出限制条件组： · 条件： 系数为1，底数大于0，底数不等于0. · 易错点：解出参数后，一定要检验底数是否满足大于0且不等于1. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 【变式2-1】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【变式2-2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. ▌题型03 指数型函数定点求解 通法： 令指数部分为0，对于，令，解出，此时 结论：图像恒过定点 . 【典例3】（19-20高一上·湖北·期中）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定P的坐标． 【详解】令x+1＝0，解得x＝﹣1，此时f（﹣1）＝1﹣3＝﹣2． ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）. 【变式3-1】（18-19高一上·湖南长沙·期中）函数且的图象恒过定点P，则点P的坐标是______． 【变式3-2】（21-22高一上·四川凉山·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【变式3-3】（25-26高一上·福建福州·期末）函数的图象恒过定点，则的坐标为___________． ▌题型04 指数型函数的图像形状 1. 看单调性： 底数时图像上升（增函数），底数时图像下降（减函数）. 2看特殊点： 图像一定经过 (0,1)( 或变换后的定点. 3.看变换： “左加右减”：向左平移个单位，“上加下减”：向上平移个单位. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． ▌题型05 定义域与值域的求解 1. 定义域： 通常为.若涉及分母或根号，需满足分母不为0、偶次根号下非负. 2.值域： （1）利用的性质. （2）结合复合函数的单调性求最值. （3）换元法：令，转化为二次函数求值域. 【典例5】（19-20高一·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域、值域是（    ） A．定义域是，值域是 B．定义域是，值域是 C．定义域，值域是 D．以上都不对 【答案】C 【分析】函数给出的是指数型的，无论实数取何值函数都有意义；根据指数函数的值域恒大于，可求出原函数的值域． 【详解】因为函数，所以其定义域为， 因为，所以，所以函数的值域为 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·全国·阶段检测）下列各组函数为同一函数的有（    ） A．， B．， C．， D．， ▌题型06 单调性的判定 1.复合函数法则：“同增异减” 若外层函数 与内层函数单调性相同，则复合函数为增函数；若单调性相反，则复合函数为减函数. 2应用 常用于解不等式 ，时，直接去底数：；时，去底数变号：  【典例6】（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知函数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增，所以“”是“”的充要条件. 【变式6-1】（2021·江西萍乡·二模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（19-20高一上·河南·阶段检测）在区间上，下列函数与函数的单调性相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌题型07 最值的求解 1. 闭区间最值： 在区间上，最值通常在端点处取得，若，为增函数，最大值为，最小值为；若，为减函数，最大值为，最小值为. 2. 分类讨论： 若底数未知，必须分和两种情况讨论. 【典例7】（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 【变式7-1】（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（20-21高一上·广西钦州·期中）若函数，(，且)在上的最大值比最小值大，则的值为________. 【变式7-3】（19-20高一上·上海浦东新·期末）已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值. ▌题型08 指数型不等式求解 1. 分离参数法： 将参数分离到不等式一侧，转化为求函数最值问题. 2. 数形结合： 画出左右两边函数的图像，观察上下位置关系. 【典例8】（多选）（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数，若实数m，n满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过指数运算性质，极限思想求解. 【详解】已知，，令， 则，即， 若，则，，，，则，，此时存在实数m，n满足，假设时，则，函数在上单调递增，故，所以，与题设矛盾，故，选项正确； 若，，则满足，但，选项错误； 由可知，则，由解得，因为，故，即，选项正确； 若时，，选项错误. 【变式8-1】（19-20高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，，，，使得，则的取值范围是___________. 【变式8-2】（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为______. 【变式8-3】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. ▌题型09 指数幂比大小 解题方法 1.单调性法（基础方法） 当两个数可以看作同一个函数的函数值时，直接利用函数的单调性进行比较. 同底数，不同指数或同指数，不同底数. 2. 中间值法（最常用技巧） 当底数、指数、真数都不同，难以直接比较时，寻找一个“桥梁”进行过渡. 常用中间值：0 或 1. 操作逻辑：先判断各个数与中间值的大小关系（例如 A>1, B<1，则直接得出 A>B），再在同一个区间内进行细分比较. 3. 作差法与作商法 作差法：计算 A-B，判断其与 0 的大小关系. 作商法：计算 A除以B（通常用于两数均为正数时），判断其与 1 的大小关系. 【典例9】（25-26高二下·天津·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 【变式9-1】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． ▌题型10 指数型函数性质的综合应用 指数型函数性质的综合应用问题求解策略： (1)定义域优先：先确定函数定义域（底数>0且≠1，指数部分使表达式有意义），再研究其他性质. (2)单调性判定：底数a>1时指数函数递增，0<a<1时递减；复合函数遵循“同增异减”法则，判断内层与外层函数单调性. (3)值域与最值：利用单调性求值域，注意指数函数值域为(0,+∞)，若有平移或复合则需结合定义域与单调性求解. (4)奇偶性识别：检查f(x)与f(-x)关系，常见形式如f(x)=a^x ± a^{-x}为奇/偶函数，需验证定义域对称性. (5)图象变换：掌握平移、对称、伸缩对指数型函数图象的影响，辅助分析零点、不等式恒成立问题. (6)参数讨论：涉及参数时，分类讨论底数范围，结合指数函数与二次函数、对数函数等的复合性质，灵活运用换元法. 【典例10】（25-26高一下·广东深圳·期中）设，． (1)证明：； (2)令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论；（2）①先分析单调性及奇偶性定义，利用结论结合函数定义域解不等式； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【详解】（1）由题意可知 ， 故，即； （2）①由题意得，定义域为 ，为奇函数. 当时，易知单调递增，则在单调递减， 为奇函数，在单调递减， ， 又有为奇函数， 在单调递减，由定义域知 当时，，不等式恒成立； 当时， ， ，解得； 当时， ，此时，与题意矛盾，舍去. 综上： ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得，； 当，即时，，解得，； 综上，实数的取值范围为． 【变式10-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【变式10-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【变式10-3】（25-26高一下·云南红河·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)对，恒成立，且，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数函数 （题型突破·举一反三） ▌题型01 指数函数的概念 【典例1】 【答案】D 【分析】A中的指数和底数位置不对；B中的指数不符合要求；C中的系数不符合要求. 【详解】A．函数的底数是自变量，指数是常数2，故不是指数函数； B．函数的底数是常数3，指数是，而不是自变量，故不是指数函数； C．函数中的系数是3，不是1，故不是指数函数； D．函数符合指数函数的定义，即是指数函数． 【变式1-1】 【答案】A 【解析】由指数函数的定义，一一判断，即可得出选项． 【详解】指数函数是形如（且）的函数. 对于A：，系数不是1，所以不是指数函数； 对于B：，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于C：，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于D：，符合指数函数的定义，所以是指数函数. 【变式1-2】 【答案】B 【分析】将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值. 【详解】因为的图象经过点， 所以，解得， 【变式1-3】 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） ▌题型02 定义约束下的参数求解 【典例2】 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 【变式2-1】 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 【变式2-2】 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 【变式2-3】 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. ▌题型03 指数型函数定点求解 【典例3】 【答案】B 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定P的坐标． 【详解】令x+1＝0，解得x＝﹣1，此时f（﹣1）＝1﹣3＝﹣2． ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）. 【变式3-1】 【答案】 【分析】根据a0=1（a≠0），求出对应的x，y的值即可． 【详解】令x﹣1=0，解得：x=1， 此时y=4+2=6， 故函数恒过定点（1，6）. 【变式3-2】 【答案】 【分析】由函数解析式可看到，当x=1时，无论a取何值， ，由此可得定点P的坐标. 【详解】当x=1时，，， 故函数（，且）的图象恒过定点 . 【变式3-3】 【答案】 【分析】根据指数型函数的性质求解即可. 【详解】由函数可知，当时，， 即函数的图象恒过点. ▌题型04 指数型函数的图像形状 【典例4】 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 【变式4-1】 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 【变式4-2】 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 【变式4-3】 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. ▌题型05 定义域与值域的求解 【典例5】 【答案】C 【分析】函数给出的是指数型的，无论实数取何值函数都有意义；根据指数函数的值域恒大于，可求出原函数的值域． 【详解】因为函数，所以其定义域为， 因为，所以，所以函数的值域为 故选：C. 【变式5-1】 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. 【变式5-2】 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式5-3】 【答案】BC 【分析】根据同一函数的对应法则和定义域均相同，依次判断各项是否为同一函数即可. 【详解】A，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，不符合； B，与定义域和对应关系均相同，是同一函数，符合； C，，的定义域、对应关系、值域都相同，是同一函数，符合； D，，定义域不同，不是同一函数，不符合. 故选：BC ▌题型06 单调性的判定 【典例6】 【答案】C 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增，所以“”是“”的充要条件. 【变式6-1】 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质判定A；利用分段函数的图象可以判定B；根据幂函数和对数函数的性质判定C,D． 【详解】A中，的图象关于轴对称，开口向下的抛物线，在上单调递减，故Ａ不对； B中，的图像关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，故排除B； C中，由幂函数的性质可知在上单调递增，故C正确；     D中，根据指数函数的性质可得在上单调递减，故排除D； 故选：C． 【变式6-2】 【答案】D 【分析】分析函数在区间上的单调性，然后再分析各选项中函数在区间上的单调性，可得出正确选项. 【详解】在区间上为减函数，函数在区间上为增函数， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数. 故选：D. 【变式6-3】 【答案】A 【分析】由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围. 【详解】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. ▌题型07 最值的求解 【典例7】 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 【变式7-1】 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在上递增，则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增，所以，解得. 综上所述，． 【变式7-2】 【答案】或 【解析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，根据已知得到关于实数的方程求解即得. 【详解】若，则函数在区间上单调递减， 所以，， 由题意得， 又，故； 若，则函数在区间上单调递增， 所以，， 由题意得， 又，故. 所以的值为或. 【变式7-3】 【答案】 【解析】由题意可知，函数在单调递增，则，解方程，即可. 【详解】函数 函数在单调递增 即， 又函数在区间上的最大值比最小值大. ，解得或（舍去） 综上所述： ▌题型08 指数型不等式求解 【典例8】 【答案】AC 【分析】通过指数运算性质，极限思想求解. 【详解】已知，，令， 则，即， 若，则，，，，则，，此时存在实数m，n满足，假设时，则，函数在上单调递增，故，所以，与题设矛盾，故，选项正确； 若，，则满足，但，选项错误； 由可知，则，由解得，因为，故，即，选项正确； 若时，，选项错误. 【变式8-1】 【答案】 【分析】题干条件，可转化为，借助二次函数的性质和指数型函数的单调性即得解 【详解】由题意，，，使得 可转化为： 当，为对称轴为的开口向上的二次函数，因此 ； 当，单调递增，因此； 故答案为： 【变式8-2】 【答案】 【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 所以，当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 【变式8-3】 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. ▌题型09 指数幂比大小 【典例9】 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 【变式9-1】 【答案】D 【分析】将4个指数式转换成同指数结构，再结合函数单调性即可判断. 【详解】由指数幂的运算可得： ， ， ， ， 对于幂函数，当时是增函数， 又 ， 即. 【变式9-2】 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 因为，且， 所以， 因为幂函数是实数集上的增函数， 所以由， 所以， 即，所以. ▌题型10 指数型函数性质的综合应用 【典例10】 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论；（2）①先分析单调性及奇偶性定义，利用结论结合函数定义域解不等式； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【详解】（1）由题意可知 ， 故，即； （2）①由题意得，定义域为 ，为奇函数. 当时，易知单调递增，则在单调递减， 为奇函数，在单调递减， ， 又有为奇函数， 在单调递减，由定义域知 当时，，不等式恒成立； 当时， ， ，解得； 当时， ，此时，与题意矛盾，舍去. 综上： ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得，； 当，即时，，解得，； 综上，实数的取值范围为． 【变式10-1】 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 【变式10-2】 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇偶函数的定义列式求解. （2）求出函数定义域，结合二次函数、指数函数单调性求出递增区间. （3）由（1）的结论化简不等式，再结合一元二次不等式的解法及指数函数单调性求解. 【详解】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. （2）由（1）得，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. （3）由（1）知，则不等式， 因此，即，解得或， 即或，所以原不等式的解集为. 【变式10-3】 【答案】(1) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可； （2）应用单调性的定义证明单调性； （3）问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得. 【详解】（1） 因为是奇函数，故有，且时，， 当时，，则，所以， 因此函数在时的解析式为； （2）(2)函数在上单调递增，证明如下： 设，则，即， 所以函数在上单调递增； （3）因为，所以， 因为，代入得， 由（2）得在上单调递增，则恒成立， 即恒成立，令，， 令，所以，则的最大值为， 因此，所以的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数函数 （题型突破·举一反三） 题型01 指数函数的概念 1 题型02 定义约束下的参数求解 3 题型03 指数型函数定点求解 4 题型04 指数型函数的图象形状 5 题型05 定义域与值域的求解 8 题型06 单调性的判定 9 题型07 最值的求解 11 题型08 指数型不等式求解 13 题型09 指数幂比大小 15 题型10 指数型函数性质的综合应用 17 ▌题型01 指数函数的概念 1．概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 2. 知识点诠释 （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． ． 【典例1】（19-20高一上·全国·课后作业）下列函数中，是指数函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中的指数和底数位置不对；B中的指数不符合要求；C中的系数不符合要求. 【详解】A．函数的底数是自变量，指数是常数2，故不是指数函数； B．函数的底数是常数3，指数是，而不是自变量，故不是指数函数； C．函数中的系数是3，不是1，故不是指数函数； D．函数符合指数函数的定义，即是指数函数． 【变式1-1】（19-20高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是指数函数的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数的定义，一一判断，即可得出选项． 【详解】指数函数是形如（且）的函数. 对于A：，系数不是1，所以不是指数函数； 对于B：，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于C：，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于D：，符合指数函数的定义，所以是指数函数. 【变式1-2】（21-22高三上·安徽六安·开学考试）指数函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值. 【详解】因为的图象经过点， 所以，解得， 【变式1-3】（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） ▌题型02 定义约束下的参数求解 如何求参数 当题目给出函数是指数型函数时，需列出限制条件组： · 条件： 系数为1，底数大于0，底数不等于0. · 易错点：解出参数后，一定要检验底数是否满足大于0且不等于1. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 【变式2-1】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 【变式2-2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 【变式2-3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. ▌题型03 指数型函数定点求解 通法： 令指数部分为0，对于，令，解出，此时 结论：图象恒过定点 . 【典例3】（19-20高一上·湖北·期中）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定P的坐标． 【详解】令x+1＝0，解得x＝﹣1，此时f（﹣1）＝1﹣3＝﹣2． ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）. 【变式3-1】（18-19高一上·湖南长沙·期中）函数且的图象恒过定点P，则点P的坐标是______． 【答案】 【分析】根据a0=1（a≠0），求出对应的x，y的值即可． 【详解】令x﹣1=0，解得：x=1， 此时y=4+2=6， 故函数恒过定点（1，6）. 【变式3-2】（21-22高一上·四川凉山·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【分析】由函数解析式可看到，当x=1时，无论a取何值， ，由此可得定点P的坐标. 【详解】当x=1时，，， 故函数（，且）的图象恒过定点 . 【变式3-3】（25-26高一上·福建福州·期末）函数的图象恒过定点，则的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据指数型函数的性质求解即可. 【详解】由函数可知，当时，， 即函数的图象恒过点. ▌题型04 指数型函数的图象形状 1. 看单调性： 底数时图象上升（增函数），底数时图象下降（减函数）. 2看特殊点： 图象一定经过 (0,1)( 或变换后的定点. 3.看变换： “左加右减”：向左平移个单位，“上加下减”：向上平移个单位. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. ▌题型05 定义域与值域的求解 1. 定义域： 通常为.若涉及分母或根号，需满足分母不为0、偶次根号下非负. 2.值域： （1）利用的性质. （2）结合复合函数的单调性求最值. （3）换元法：令，转化为二次函数求值域. 【典例5】（19-20高一·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域、值域是（    ） A．定义域是，值域是 B．定义域是，值域是 C．定义域，值域是 D．以上都不对 【答案】C 【分析】函数给出的是指数型的，无论实数取何值函数都有意义；根据指数函数的值域恒大于，可求出原函数的值域． 【详解】因为函数，所以其定义域为， 因为，所以，所以函数的值域为 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·全国·阶段检测）下列各组函数为同一函数的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据同一函数的对应法则和定义域均相同，依次判断各项是否为同一函数即可. 【详解】A，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，不符合； B，与定义域和对应关系均相同，是同一函数，符合； C，，的定义域、对应关系、值域都相同，是同一函数，符合； D，，定义域不同，不是同一函数，不符合. 故选：BC ▌题型06 单调性的判定 1.复合函数法则：“同增异减” 若外层函数 与内层函数单调性相同，则复合函数为增函数；若单调性相反，则复合函数为减函数. 2应用 常用于解不等式 ，时，直接去底数：；时，去底数变号：  【典例6】（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知函数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增，所以“”是“”的充要条件. 【变式6-1】（2021·江西萍乡·二模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质判定A；利用分段函数的图象可以判定B；根据幂函数和对数函数的性质判定C,D． 【详解】A中，的图象关于轴对称，开口向下的抛物线，在上单调递减，故Ａ不对； B中，的图象关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，故排除B； C中，由幂函数的性质可知在上单调递增，故C正确；     D中，根据指数函数的性质可得在上单调递减，故排除D； 故选：C． 【变式6-2】（19-20高一上·河南·阶段检测）在区间上，下列函数与函数的单调性相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数在区间上的单调性，然后再分析各选项中函数在区间上的单调性，可得出正确选项. 【详解】在区间上为减函数，函数在区间上为增函数， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数. 故选：D. 【变式6-3】（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围. 【详解】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. ▌题型07 最值的求解 1. 闭区间最值： 在区间上，最值通常在端点处取得，若，为增函数，最大值为，最小值为；若，为减函数，最大值为，最小值为. 2. 分类讨论： 若底数未知，必须分和两种情况讨论. 【典例7】（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 【变式7-1】（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在上递增，则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增，所以，解得. 综上所述，． 【变式7-2】（20-21高一上·广西钦州·期中）若函数，(，且)在上的最大值比最小值大，则的值为________. 【答案】或 【解析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，根据已知得到关于实数的方程求解即得. 【详解】若，则函数在区间上单调递减， 所以，， 由题意得， 又，故； 若，则函数在区间上单调递增， 所以，， 由题意得， 又，故. 所以的值为或. 【变式7-3】（19-20高一上·上海浦东新·期末）已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值. 【答案】 【解析】由题意可知，函数在单调递增，则，解方程，即可. 【详解】函数 函数在单调递增 即， 又函数在区间上的最大值比最小值大. ，解得或（舍去） 综上所述： ▌题型08 指数型不等式求解 1. 分离参数法： 将参数分离到不等式一侧，转化为求函数最值问题. 2. 数形结合： 画出左右两边函数的图象，观察上下位置关系. 【典例8】（多选）（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数，若实数m，n满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过指数运算性质，极限思想求解. 【详解】已知，，令， 则，即， 若，则，，，，则，，此时存在实数m，n满足，假设时，则，函数在上单调递增，故，所以，与题设矛盾，故，选项正确； 若，，则满足，但，选项错误； 由可知，则，由解得，因为，故，即，选项正确； 若时，，选项错误. 【变式8-1】（19-20高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，，，，使得，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】题干条件，可转化为，借助二次函数的性质和指数型函数的单调性即得解 【详解】由题意，，，使得 可转化为： 当，为对称轴为的开口向上的二次函数，因此 ； 当，单调递增，因此； 故答案为： 【变式8-2】（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为______. 【答案】 【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 所以，当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. ▌题型09 指数幂比大小 解题方法 1.单调性法（基础方法） 当两个数可以看作同一个函数的函数值时，直接利用函数的单调性进行比较. 同底数，不同指数或同指数，不同底数. 2. 中间值法（最常用技巧） 当底数、指数、真数都不同，难以直接比较时，寻找一个“桥梁”进行过渡. 常用中间值：0 或 1. 操作逻辑：先判断各个数与中间值的大小关系（例如 A>1, B<1，则直接得出 A>B），再在同一个区间内进行细分比较. 3. 作差法与作商法 作差法：计算 A-B，判断其与 0 的大小关系. 作商法：计算 A除以B（通常用于两数均为正数时），判断其与 1 的大小关系. 【典例9】（25-26高二下·天津·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 【变式9-1】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将4个指数式转换成同指数结构，再结合函数单调性即可判断. 【详解】由指数幂的运算可得： ， ， ， ， 对于幂函数，当时是增函数， 又 ， 即. 【变式9-2】（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 因为，且， 所以， 因为幂函数是实数集上的增函数， 所以由， 所以， 即，所以. ▌题型10 指数型函数性质的综合应用 指数型函数性质的综合应用问题求解策略： (1)定义域优先：先确定函数定义域（底数>0且≠1，指数部分使表达式有意义），再研究其他性质. (2)单调性判定：底数a>1时指数函数递增，0<a<1时递减；复合函数遵循“同增异减”法则，判断内层与外层函数单调性. (3)值域与最值：利用单调性求值域，注意指数函数值域为(0,+∞)，若有平移或复合则需结合定义域与单调性求解. (4)奇偶性识别：检查f(x)与f(-x)关系，常见形式如f(x)=a^x ± a^{-x}为奇/偶函数，需验证定义域对称性. (5)图象变换：掌握平移、对称、伸缩对指数型函数图象的影响，辅助分析零点、不等式恒成立问题. (6)参数讨论：涉及参数时，分类讨论底数范围，结合指数函数与二次函数、对数函数等的复合性质，灵活运用换元法. 【典例10】（25-26高一下·广东深圳·期中）设，． (1)证明：； (2)令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论；（2）①先分析单调性及奇偶性定义，利用结论结合函数定义域解不等式； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【详解】（1）由题意可知 ， 故，即； （2）①由题意得，定义域为 ，为奇函数. 当时，易知单调递增，则在单调递减， 为奇函数，在单调递减， ， 又有为奇函数， 在单调递减，由定义域知 当时，，不等式恒成立； 当时， ， ，解得； 当时， ，此时，与题意矛盾，舍去. 综上： ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得，； 当，即时，，解得，； 综上，实数的取值范围为． 【变式10-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 【变式10-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇偶函数的定义列式求解. （2）求出函数定义域，结合二次函数、指数函数单调性求出递增区间. （3）由（1）的结论化简不等式，再结合一元二次不等式的解法及指数函数单调性求解. 【详解】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. （2）由（1）得，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. （3）由（1）知，则不等式， 因此，即，解得或， 即或，所以原不等式的解集为. 【变式10-3】（25-26高一下·云南红河·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)对，恒成立，且，求的取值范围. 【答案】(1) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可； （2）应用单调性的定义证明单调性； （3）问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得. 【详解】（1） 因为是奇函数，故有，且时，， 当时，，则，所以， 因此函数在时的解析式为； （2）(2)函数在上单调递增，证明如下： 设，则，即， 所以函数在上单调递增； （3）因为，所以， 因为，代入得， 由（2）得在上单调递增，则恒成立， 即恒成立，令，， 令，所以，则的最大值为， 因此，所以的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $