第九章 统计与成对数据的统计分析（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦统计与成对数据分析，整合基础概念与实际应用，覆盖抽样、数字特征、回归分析等核心考点，通过分层题型培养数据观念与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-7、填空12-13|概念辨析与性质应用|从数据数字特征到抽样方法，构建统计量计算与性质的逻辑链| |数据处理|选择2-3、填空10-11、解答16-17|图表分析与分层抽样|频率分布直方图与分位数计算，体现数据收集到分析的完整过程| |统计推断|选择8-9、填空15、解答18-20|独立性检验与回归分析|结合实际情境，通过“新考法”题实现从相关关系判断到统计决策的应用拓展|

第九章 统计与成对数据的统计分析（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ） A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4 2．某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，且成绩为整数，并统计如下，则下列说法不一定正确的是（     ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A．这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B．这100名学生的“综合体能测试”成绩的第50百分位数大于85 C．这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D．这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在85至90之间 3．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ）    A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 4．下列命题中是真命题的是（   ） A．已知，，如果，那么 B．若抛掷一枚质地均匀硬币10次，有6次正面朝上，则根据此实验可得：抛掷一枚质地均匀硬币，正面朝上的概率为0.6 C．若甲组数据4，8，10，14的方差为，乙组数据8，8，10，10的方差为，则 D．一组数据2，1，4，7，10的极差为8 5．下列说法正确的是（     ） A．扇形的半径与面积之间的关系是相关关系 B．若变量和之间的相关系数，则和之间的线性相关关系很弱 C．当样本相关系数满足时，对样本数据，，，落在一条直线上 D．若变量，呈正相关，则变量，的线性相关性较强 6．下列命题正确的是（     ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越大 B．设，且，则 C．线性回归直线不一定经过样本点的中心 D．随机变量，若，，则 7．下列说法中，正确的个数是（    ） ①随机变量X服从正态分布，且，则； ②用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A．1 B．2 C．3 D．4 8．【新考法】下列结论中，正确的选项个数是（    ） ①统计某大型超市连续高温天数与当日瓶装矿泉水闭店剩余库存，得到相关系数，说明连续高温天数与矿泉水剩余库存呈负相关； ②某电商平台分析广告投入（万元）与销售额（万元）的关系，根据历史数据由最小二乘法求得回归方程为，则当广告投入为5万元时，该平台当月的销售额一定是26万元； ③对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； ④设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法中，正确的个数是（   ） ①若随机变量服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强． ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验 （），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好． A．2 B．3 C．4 D．5 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．学校准备举办王者荣耀比赛，从24名最强王者，16名无双王者，8名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取最强王者的人数是________． 11．某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，其中核心区与开发区共有2800人，从所有人员中按照各区采用分层抽样的方法抽取45人进行调研．其中已知从远郊区抽取10人，则远郊区的人数为______． 12．已知一组数据的方差是5，则新数据的方差是__________. 13．对具有线性相关关系的变量，，根据测得的一组数据，，，，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当时，的估计值为___________． 14．某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本以调查学生的身高信息（单位：）．已知男生样本的平均身高为，女生样本的平均身高为，则总样本的平均身高为________． 15．【新考法】下列说法正确的是____________． ①某项测量结果服从正态分布，若，则； ②若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为； ③在回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好； ④根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）为了减轻流感对师生身体健康的影响，某学校建议师生进出学校佩戴口罩，现将该学校1000名师生一周的口罩使用数量统计成下表，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人． 口罩使用数量/只 频率 0.2 0.3 0.1 (1)求m，n的值，根据表中数据，完成上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）． (2)根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的75%分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）． (3)按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，从这6人中随机抽取2人检查其口罩使用情况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这2人恰好来自同一组的概率． 17．（15分）2026年5月25日至5月31日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)若规定成绩在为“良好”等级，成绩在为“优秀”等级，由（2）知被抽取的27名学生中有6名男生，其中4名成绩为“良好”等级，2名成绩为“优秀”等级，随机选取2人进行访谈，求抽到的2人成绩等级相同的概率． 18．（15分）为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表： 性别 身高  低于 不低于 合计 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 (1)从列联表中随机抽取一人，分别用，表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算，，并判断该校高二年级学生的性别和身高的关联性； (2)从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否不低于进行统计，其中女生占，身高低于的学生占，请完成如下列联表： 性别 身高  低于 不低于 合计 女 25 男 合计 100 并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？ (3)在（2）的样本中，根据性别通过分层抽样随机抽取10名学生参加文艺展演，则在这10名学生中，再抽取3名学生做主演，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（15分）国家加大了全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在暑假中对某校高二年级的男生和女生各名进行了调查，了解他们每天的体育锻炼情况，现统计得出样本中每天体育锻炼时间低于的学生占样本总数的，其中每天体育锻炼时间低于的女生有人． (1)完成下面的列联表； 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 (2)试根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否存在差异？ 附： 20．（16分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关. (2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计与成对数据的统计分析（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D A C C D A C A 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．3 11．800 12. 45 13． 11 14． 166 15． ①③④ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）由每周的口罩使用个数在6只 以上（含6）的有700人得： ， 故所求， 频率分布直方图如下： （5分） （2）由（1）知，又因为口罩使用数量在的频率是0.3， ， 所以假设分位数为， 则， 由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为： （只）， 故估计所求分位数为9只，平均数估计为7只.（10分） （3）记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为，可知样本空间： ， 共含有15个样本点，可以认为这个样本点出现的可能性是相等的． 记“这两个人来自同一组”为事件D，则， 样本点有4个，故.（14分） 17．（15分） （1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中（5分） （2）成绩在内的频率为 则人数为，成绩在内的频率为 人数为. 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为（10分） （3）由已知，成绩在记为，成绩在记为， 从中任取2名同学的样本空间为： ，共15个样本点， 设“两人的成绩等级相同”， 则包含7个样本点， 所以抽到的两人成绩相同的概率．（15分） 18．（15分） （1）由表格中的数据可得，， 所以该中学高二年级学生的性别和身高有关联.（5分） （2）由题意，女生人数为，身高低于170cm的学生人数为， 则列联表如下： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 15 40 男 25 35 60 合计 50 50 100 零假设该中学高二年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立，不能认为该校高二年级学生性别与身高有关联；（10分） （3）结合（2）可知抽取的10人中，男生有6人，女生有4人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故的分布列如下表所示： 0 1 2 3 因此.（15分） 19．（15分） （1）样本总数为，每天锻炼时间低于的人数为人， 男生低于的人数为， 男生不低于的人数为， 女生不低于的人数为， 不低于的总人数为， 则列联表如下： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 （10分） （2）零假设该校男生和女生每天锻炼时间无差异， 则, 当时，临界值， 因为，故没有充分证据拒绝零假设， 故不能认为该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面存在差异．（15分） 20．（16分） （1）（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为， 由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率.（5分） （ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 由列联表中数据代入计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过.（10分） （2）因为，， 所以， 故与线性相关性很强.（16分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计与成对数据的统计分析（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ） A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4 【答案】A 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 2．某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，且成绩为整数，并统计如下，则下列说法不一定正确的是（     ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A．这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B．这100名学生的“综合体能测试”成绩的第50百分位数大于85 C．这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D．这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在85至90之间 【答案】C 【详解】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数如下， 为，故A正确； 选项B：成绩不超过85的学生人数为，故B正确； 选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，故C错误； 选项D：由于， 且， 则这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在85至90之间，故D正确. 3．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ）    A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 【答案】A 【详解】由于，解得，故D错误； 由于前三组累计频率为， 前四组累计频率为， 故中位数在第四组内，设中位数为， 则，解得，故A正确； 得分低于80分的频率为， 故样本中低于80分的人数大约为人，故B错误； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，故C错误． 4．下列命题中是真命题的是（   ） A．已知，，如果，那么 B．若抛掷一枚质地均匀硬币10次，有6次正面朝上，则根据此实验可得：抛掷一枚质地均匀硬币，正面朝上的概率为0.6 C．若甲组数据4，8，10，14的方差为，乙组数据8，8，10，10的方差为，则 D．一组数据2，1，4，7，10的极差为8 【答案】C 【详解】已知，，如果，那么，与矛盾，所以不是真命题，故A错误； 抛掷一枚质地均匀硬币10次，有6次正面朝上，只是一次实验的结果，只能说明本次实验正面朝上的频率为0.6， 而抛掷一枚质地均匀硬币，正面朝上的概率为，所以B错误； 若甲组数据4，8，10，14的方差为，乙组数据8，8，10，10的方差为， 因为两组数据的平均数均为，且乙组数据更集中，所以. 所以C正确； 一组数据2，1，4，7，10的极差为，所以D错误. 5．下列说法正确的是（     ） A．扇形的半径与面积之间的关系是相关关系 B．若变量和之间的相关系数，则和之间的线性相关关系很弱 C．当样本相关系数满足时，对样本数据，，，落在一条直线上 D．若变量，呈正相关，则变量，的线性相关性较强 【答案】C 【详解】对于A，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，非相关关系，A错误； 对于B，变量和之间的相关系数，较大，则和之间的线性相关关系很强，B错误； 对于C，当样本相关系数满足时，对样本数据落在一条直线上，C正确； 对于D，变量呈正相关，相关系数为正，变量的线性相关性可能较弱，D错误. 6．下列命题正确的是（     ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越大 B．设，且，则 C．线性回归直线不一定经过样本点的中心 D．随机变量，若，，则 【答案】D 【详解】A：因为两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近， 所以本选项说法不正确； B：因为，且， 所以， 所以，因此本选项说法不正确； C：因为线性回归直线一定经过样本点的中心， 所以本选项说法不正确； D：因为随机变量，，， 所以有，所以本选项说法正确. 7．下列说法中，正确的个数是（    ） ①随机变量X服从正态分布，且，则； ②用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于①，由，且，得，①错误； 对于②，用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r绝对值越大两个变量的相关程度越强，②错误； 对于③，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，③正确； 对于④，决定系数越大，拟合效果越好，因此模型甲的拟合效果更好，④错误. 8．【新考法】下列结论中，正确的选项个数是（    ） ①统计某大型超市连续高温天数与当日瓶装矿泉水闭店剩余库存，得到相关系数，说明连续高温天数与矿泉水剩余库存呈负相关； ②某电商平台分析广告投入（万元）与销售额（万元）的关系，根据历史数据由最小二乘法求得回归方程为，则当广告投入为5万元时，该平台当月的销售额一定是26万元； ③对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； ④设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，因为，故连续高温天数与矿泉水剩余库存呈负相关，①正确； 对于②，线性回归方程的计算结果为预测值，并非确定的实际值， 当广告投入为5万元时，销售额的预测值为万元，不能判定实际销售额一定为26万元，②错误； 对于③，线性回归直线必过样本点的中心， 将样本中心代入回归方程，可得， 化简得，解得，③正确； 对于④，相关系数满足，越接近于1，两个变量的线性相关性越强，越接近于0，线性相关性越弱，故④正确. 综上，正确的结论共3个，答案选C. 9．下列说法中，正确的个数是（   ） ①若随机变量服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强． ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验 （），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】①.正态分布的对称轴为，故, 已知，因此，①错误； ②.相关系数刻画线性相关程度，是越接近，线性相关程度越强； 并非值越大越强，例如的相关程度强于, ②错误; ③.残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明残差波动越小， 回归方程的拟合效果越好，预报精确度越高，③正确; ④.，根据的独立性检验，拒绝 “与独立” 的原假设， 判断与有关联，该推断犯错误的概率不超过,④正确; ⑤.决定系数越接近，模型拟合效果越好,甲模型更接近， 因此甲的拟合效果更好，而非乙,⑤错误; 综上，正确的说法为③④，共个. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．学校准备举办王者荣耀比赛，从24名最强王者，16名无双王者，8名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取最强王者的人数是________． 【答案】3 【详解】抽取最强王者的人数是. 11．某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，其中核心区与开发区共有2800人，从所有人员中按照各区采用分层抽样的方法抽取45人进行调研．其中已知从远郊区抽取10人，则远郊区的人数为______． 【答案】800 【详解】因为一共抽取了45人，其中远郊区抽取10人，则核心区与开发区共抽取35人； 因为核心区与开发区共有2800人，则抽样比为； 故远郊区的人数为人． 12．已知一组数据的方差是5，则新数据的方差是__________. 【答案】45 【详解】因为数据的方差是5， 所以数据的方差是. 13．对具有线性相关关系的变量，，根据测得的一组数据，，，，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当时，的估计值为___________． 【答案】11 【详解】依题意，， 由经验回归方程过点，得， 因此经验回归方程，当时，， 所以据此模型预测当时，的估计值为11. 14．某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本以调查学生的身高信息（单位：）．已知男生样本的平均身高为，女生样本的平均身高为，则总样本的平均身高为________． 【答案】166 【详解】由题意可知：在50的样本中，男生30人，女生20人， 所以总样本的平均身高为. 15．【新考法】下列说法正确的是____________． ①某项测量结果服从正态分布，若，则； ②若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为； ③在回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好； ④根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于． 【答案】①③④ 【详解】已知，正态分布曲线的对称轴为， 和关于对称轴对称， 根据正态分布的对称性，有， 已知，且总概率为， 所以 ， 因此，，①正确； 设原数据的方差为，新数据为， 根据方差的性质， 新数据的方差， 题目中称方差为，与计算结果不符，②错误； 决定系数的计算公式为， 对于给定的样本数据，总平方和是一个定值， 因此，的值越大，意味着的值越小，即残差平方和越小， 残差平方和越小，说明观测值与回归模型的拟合程度越高，回归效果越好，③正确； 已知，临界值，因为， 所以在小概率值的水平上拒绝零假设（即认为与独立）， 从而判断 与有关联（基于），则错误地拒绝它的概率不超过 ， 即推断与有关联时，犯错误的概率不大于，④正确. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）为了减轻流感对师生身体健康的影响，某学校建议师生进出学校佩戴口罩，现将该学校1000名师生一周的口罩使用数量统计成下表，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人． 口罩使用数量/只 频率 0.2 0.3 0.1 (1)求m，n的值，根据表中数据，完成上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）． (2)根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的75%分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）． (3)按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，从这6人中随机抽取2人检查其口罩使用情况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这2人恰好来自同一组的概率． 【答案】(1)； (2)只，只 (3)记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为， ， 这两人恰好来自同一组的概率为. 【详解】（1）由每周的口罩使用个数在6只 以上（含6）的有700人得： ， 故所求， 频率分布直方图如下： （2）由（1）知，又因为口罩使用数量在的频率是0.3， ， 所以假设分位数为， 则， 由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为： （只）， 故估计所求分位数为9只，平均数估计为7只. （3）记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为，可知样本空间： ， 共含有15个样本点，可以认为这个样本点出现的可能性是相等的． 记“这两个人来自同一组”为事件D，则， 样本点有4个，故. 17．（15分）2026年5月25日至5月31日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)若规定成绩在为“良好”等级，成绩在为“优秀”等级，由（2）知被抽取的27名学生中有6名男生，其中4名成绩为“良好”等级，2名成绩为“优秀”等级，随机选取2人进行访谈，求抽到的2人成绩等级相同的概率． 【答案】(1)(2)6(3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中 （2）成绩在内的频率为 则人数为，成绩在内的频率为 人数为. 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为 （3）由已知，成绩在记为，成绩在记为， 从中任取2名同学的样本空间为： ，共15个样本点， 设“两人的成绩等级相同”， 则包含7个样本点， 所以抽到的两人成绩相同的概率． 18．（15分）为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表： 性别 身高  低于 不低于 合计 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 (1)从列联表中随机抽取一人，分别用，表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算，，并判断该校高二年级学生的性别和身高的关联性； (2)从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否不低于进行统计，其中女生占，身高低于的学生占，请完成如下列联表： 性别 身高  低于 不低于 合计 女 25 男 合计 100 并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？ (3)在（2）的样本中，根据性别通过分层抽样随机抽取10名学生参加文艺展演，则在这10名学生中，再抽取3名学生做主演，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，，二者差异显著，可判断该校高二年级学生性别与身高有关联； (2)列联表见解析，依据的独立性检验，不能认为该校高二年级学生性别与身高有关联； (3) 0 1 2 3 数学期望（或）。 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 所以该中学高二年级学生的性别和身高有关联. （2）由题意，女生人数为，身高低于170cm的学生人数为， 则列联表如下： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 15 40 男 25 35 60 合计 50 50 100 零假设该中学高二年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立，不能认为该校高二年级学生性别与身高有关联； （3）结合（2）可知抽取的10人中，男生有6人，女生有4人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故的分布列如下表所示： 0 1 2 3 因此. 19．（15分）国家加大了全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在暑假中对某校高二年级的男生和女生各名进行了调查，了解他们每天的体育锻炼情况，现统计得出样本中每天体育锻炼时间低于的学生占样本总数的，其中每天体育锻炼时间低于的女生有人． (1)完成下面的列联表； 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 (2)试根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否存在差异？ 附： 【答案】(1)补全的列联表如下： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 (2)依据的独立性检验，不能认为该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面存在差异 【详解】（1）样本总数为，每天锻炼时间低于的人数为人， 男生低于的人数为， 男生不低于的人数为， 女生不低于的人数为， 不低于的总人数为， 则列联表如下： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 （2）零假设该校男生和女生每天锻炼时间无差异， 则, 当时，临界值， 因为，故没有充分证据拒绝零假设， 故不能认为该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面存在差异． 20．（16分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关. (2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)（i）（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系 (2)，与线性相关性很强 【详解】（1）（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为， 由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率. （ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 由列联表中数据代入计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过. （2）因为，， 所以， 故与线性相关性很强. 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $