2.4 应用一元二次方程 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦应用一元二次方程解决销售利润问题，核心等量关系为“总利润=单利润×销售量”。课堂以“商业智慧馆”情境启航，承接上节课直角三角形问题，通过问题链搭建学习支架，引导学生探究商业中的数学应用。 其亮点在于设元方式探究与解题步骤总结，通过冰箱问题两种设元对比培养数学思维（推理能力），总结“审找设列解验答”步骤体现数学眼光（抽象能力），台灯问题实践强化模型意识。学生提升问题解决能力，教师获得结构化教学流程，助力高效教学。

第二章 一元二次方程 第4课 应用一元二次方程 新版北师大数学九年级上册数学 第2课时 销售问题 学习目标 1.通过解决新华商场冰箱销售问题,掌握用一元二次方程解决销售利润问题的基本方法,明确“总利润=单利润×销售量”的核心等量关系. 2.通过更换设元方式列方程的探究活动,体会设元的灵活性,学会从不同角度分析问题. 3.通过对比两种设元方法的异同,总结用一元二次方程解决实际问题的一般步骤,提高分析和解决问题的能力,感受数学在商业活动中的应用价值,增强数学应用意识. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 上节课我们在古代数学馆、现代安全馆和未来海洋馆中,用一元二次方程解决了与直角三角形相关的实际问题.今天,我们将走进全新的商业智慧馆,去探索数学在商业活动中的神奇力量.我们将从现代商场的冰箱销售问题出发,探究不同设元方式的奥秘,再运用所学知识解决台灯销售的实际难题,最终总结出用一元二次方程解决实际问题的通用方法. 如何运用一元二次方程解决商业中的销售利润问题，不同的设元方式会对解题过程产生什么影响？ 问题构建 第一站：商场销售区——冰箱利润问题 例2 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现,当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;销售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元？ ①每台冰箱的进货价是多少元？ ②冰箱原来的销售价是多少元？原来每台冰箱的利润是多少元？ ③原来平均每天能售出多少台冰箱？原来每天的总利润是多少元？ ④销售价每降低50元,平均每天能多售出多少台？ ⑤设每台冰箱的销售价降低x元,那么现在每台冰箱的销售价是多少元？现在每台的利润是多少元？ 2500元 2900元,400元 4台 (2900-x)元,(2900-x-2500)元 8台,3200元 问题构建 ⑥销售价降低x元,相当于降低了多少个50元？平均每天能多售出多少台？现在每天的销售量是多少台？ ⑦销售问题中,总利润等于哪两个量的乘积？ ⑧商场想要每天的销售利润达到5000元,根据什么等量关系可以列出方程？ 个,4×()台,(8+4×)台 每台的利润乘以销售量 每台利润×销售量=5000 ⑨列出的原始方程是什么？ (2900-x-2500)(8+4×)=5000 问题构建 解:设每台冰箱的销售价降低x元,根据题意得 (2900-x-2500)(8+4×)=5000 解这个方程，得:x₁=x₂=150 2900-150=2750 所以,每台冰箱的定价应为2750元. ⑩这个根符合实际意义吗？为什么？ 符合,因为降价150元后,销售价为2750元,仍高于进货价2500元. ⑪从设元的方法来看,你有怎样的思考？你有其他的算法吗？ 可以尝试用其他方式设元试一试，进行对比. 问题构建 第二站：智慧探究区——更换设元的方法 ①在刚才的冰箱问题中,我们设的是降价的金额x元.如果换一种设元方式,设每台冰箱的定价为x元,那么每台冰箱降价了多少元？ (2900-x)元 ②现在每台冰箱的利润是多少元？ (x-2500)元 ③降价了(2900-x)元,相当于降低了多少个50元？平均每天能多售出多少台？现在每天的销售量是多少台？ 个,4×台,(8+4×)台 问题构建 ④根据总利润的等量关系,列出的方程是什么？ (x-2500)(8+4×)=5000 ⑤这个方程和我们之前列出的方程有什么区别？ 设的未知数不同,一个是降价的金额,一个是最终的定价 ⑥这两个方程有什么联系？ 两个方程可以通过“定价=2900-降价金额”互相转化,最终的解是一致的 ⑦对比两种设元方式,你觉得哪种更简单？为什么？ 第一种更简单,因为列出的方程计算量更小,更容易求解 协作破冰 第三站：实践应用区——台灯销售问题 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,当这种台灯的售价在40元至60元范围内时,售价每上涨1元,平均每月就少售出10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ ①每个台灯的进货价是多少元？原来的售价是多少元？原来每个台灯的利润是多少元？ 30元,40元,10元 ②原来平均每月能售出多少个台灯？原来每月的总利润是多少元？ 600个,6000元 协作破冰 ③售价每上涨1元,平均每月就少售出多少个台灯？ 10个 ⑤设每个台灯的售价上涨x元,那么现在每个台灯的售价是多少元？现在每个的利润是多少元？ ④题目中对台灯的售价有什么限制？ 售价在40元至60元范围内 (40+x)元,(40+x-30)元 ⑥售价上涨x元,平均每月能少售出多少个台灯？现在每月的销售量是多少个？ 10x个,(600-10x)个 ⑦想要每月的销售利润达到10000元,列出的方程是什么？ (40+x-30)(600-10x)=10000 协作破冰 解:设每个台灯的售价上涨x元,根据题意得(40+x-30)(600-10x)=10000 整理,得: x²-50x+400=0 解这个方程,得x₁=10,x₂=40 ⑧这两个根都符合实际意义吗？为什么？ 当x=10时,售价为40+10=50元,符合40元至60元的范围,此时销售量为600-10×10=500个. 当x=40时,售价为40+40=80元,不符合40元至60元的范围,舍去. ⑨这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进台灯多少个？ 这种台灯的售价应定为50元,这时应购进台灯500个. 教师示范 第四站：总结反思区——解题方法大梳理 今天我们在商业智慧馆中解决了两个销售利润问题,还探究了不同的设元方式.现在请大家回顾一下我们解决这些问题的过程,想一想：用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？在这个过程中,最关键的环节是什么？我们需要注意哪些问题？ 1.审：认真审题，找出题目中的已知量、未知量 2.找：找已知量、未知量之间的数量关系 3.设：选择合适的未知数,直接设或间接设元 4.列：根据题目中的等量关系,列出一元二次方程 5.解：用适当的方法解这个一元二次方程 6.验：检验方程的根是否符合实际意义 7.答：写出完整的答案 教师示范 最关键的环节是找出题目中的等量关系.等量关系是列方程的依据,只有准确找到等量关系,才能列出正确的方程.在销售利润问题中,核心等量关系就是 “总利润=每件的利润×销售量”. 1.设元要灵活：可以直接设所求的量,也可以间接设中间量,选择能让方程更简单的设元方式 2.单位要统一：题目中所有量的单位要保持一致 3.必须检验根：一元二次方程的两个根不一定都符合实际意义,需要根据实际情况舍去不符合的根（如负数、超出范围的数等） 4.答案要完整：不仅要写出未知数的值,还要回答题目中的所有问题. 巩固拓展 第五站：方程的力量——初中四大方程体系收官 数学时空博物馆・终章：方程--连接现实与数学的桥梁 方程类型 核心特征 典型应用场景 一元一次方程 一个未知数,最高次数1 行程、工程、和差倍分问题 二元一次方程组 两个未知数,最高次数1 鸡兔同笼、配套、方案选择问题 分式方程 分母含未知数 工程、行程、工作效率问题 一元二次方程 一个未知数,最高次数2 增长率、面积、销售利润、动态几何问题 共同核心思想：数学建模把复杂的实际问题→抽象为简单的方程模型 →通过解方程解决实际问题 当堂检测 1.某商店销售一批服装,每件进价100元,售价150元,平均每天可售出20件.为了扩大销售,增加盈利,商店决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件服装每降价1元,平均每天可多售出2件.若商店平均每天要盈利1200元，设每件服装降价x元,则可列方程为（ ） A.(150-x)(20+2x)=1200 B.(150-x-100)(20+2x)=1200 C.(150-x)(20-2x)=1200 D.(150-x-100)(20-2x)=1200 B 当堂检测 2.某商品每件进价20元,售价30元,每天可售出100件.若每件售价每上涨1元,每天就少售出5件.设每件售价上涨x元,每天的利润为 1200元,则可列方程为______. (30+x-20)(100-5x)=1200 当堂检测 3.某商店销售一批文具,每件进价20元,售价25元,平均每天可售出200件.经市场调查发现，每件文具每涨价1元,平均每天就少售出 10件.若商店平均每天要盈利1200元,每件文具的售价应定为多少元？（结果精确到 0.1 元） 解:设每件文具涨价x元,根据题意得 (25+x-20)(200-10x)=1200， 整理得:x²-15x+20=0 解得:x₁≈1.5，x₂≈13.5. 所以售价为25+1.5≈26.5元或25+13.5≈38.5元 答：每件文具的售价应定为26.5元或38.5元. 当堂检测 4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件衬衫每降价1元,平均每天可多售出2件.若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？ 解:设每件衬衫降价x元,根据题意得 (40-x)(20+2x)=1200 整理得:x²-30x+200=0, 解得: x₁=10，x₂=20 因为要尽快减少库存,所以选择降价更多的x=20 答：每件衬衫应降价20元. 反思总结 1.今天我们解决的销售利润问题中,最核心的等量关系是什么？你是如何找到这个等量关系的？ 2.两种不同的设元方式各有什么优缺点？在解决实际问题时，你会如何选择设元方式？ 3.用一元二次方程解决实际问题时,为什么一定要检验方程的根？检验的标准通常有哪些？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第52页 第1题 二、素养类作业 课本第53页 第5题(验证根的方法) 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $